Egzaminy maturalne z matematyki na poziomie rozszerzonym stanowią kluczowy element... Pokaż więcej
Matematyka1,092 wyświetleń·Zaktualizowano May 23, 2026·12 stronyMatura Matematyka Rozszerzona 2021 - Odpowiedzi i Arkusze
1 / 10
1
of 10
Przygotowanie do Matury Rozszerzonej z Matematyki 2021
Szczegółowa analiza arkusza matura matematyka rozszerzona 2021 czerwiec rozpoczyna się od kluczowych informacji organizacyjnych. Egzamin trwa 180 minut i można uzyskać maksymalnie 50 punktów. Arkusz zawiera 15 zadań, w tym zadania zamknięte (1-4) oraz otwarte (5-15).
Definicja: Arkusz egzaminacyjny składa się z dwóch typów zadań:
- Zadania zamknięte (1-4) - wymagają wybrania jednej poprawnej odpowiedzi
- Zadania otwarte (5-15) - wymagają samodzielnego rozwiązania i zapisania pełnej odpowiedzi
W pierwszej części arkusza znajdują się zadania zamknięte sprawdzające podstawowe umiejętności matematyczne. Zadanie 1 dotyczy wartości wyrażenia ze pierwiastkami, zadanie 2 bada granice ciągów, zadanie 3 koncentruje się na wektorach, a zadanie 4 sprawdza znajomość funkcji trygonometrycznych.
Wskazówka: Podczas rozwiązywania zadań zamkniętych warto:
- Dokładnie przeanalizować wszystkie odpowiedzi
- Sprawdzić obliczenia
- Zaznaczyć odpowiedź na karcie odpowiedzi zgodnie z instrukcją
- W razie pomyłki otoczyć błędne zaznaczenie kółkiem i zaznaczyć właściwą odpowiedź
2
of 10
Rozwiązywanie Zadań Otwartych Matura 2021 Matematyka Rozszerzona
Zadania otwarte wymagają przedstawienia pełnego rozwiązania wraz z obliczeniami i uzasadnieniem. Zadanie 5 dotyczy wielomianów i wymaga znalezienia współczynników wielomianu po dzieleniu przez dwumian.
Przykład: W zadaniu 5 należy:
- Wykonać dzielenie wielomianu 5x³-7x²-4x-4 przez dwumian x-2
- Zapisać wynik w postaci ax²+bx+c
- Wpisać wartości współczynników a, b, c w odpowiednie kratki
Zadanie 6 sprawdza umiejętności z zakresu logarytmów, wymagając przekształceń wyrażeń logarytmicznych i dowodu równości. Zadanie 7 dotyczy geometrii i wymaga wykazania zależności między polami trójkątów.
3
of 10
Strategie Rozwiązywania Arkusze Maturalne Matematyka Rozszerzona
W zadaniach geometrycznych, jak zadanie 7, kluczowe jest:
- Dokładna analiza danych z rysunku
- Wykorzystanie podobieństwa trójkątów
- Zapisanie proporcji
- Systematyczne prowadzenie dowodu
Highlight: Przy rozwiązywaniu zadań z geometrii należy:
- Zaznaczyć na rysunku wszystkie dane
- Wypisać założenia
- Zaplanować kolejność kroków dowodu
- Zapisać wszystkie przekształcenia
Zadanie 8 wymaga rozwiązania równania trygonometrycznego w podanym przedziale. Należy wykorzystać podstawowe tożsamości trygonometryczne oraz metodę rozwiązywania równań przez rozkład na czynniki.
4
of 10
Przygotowanie do MATURA Rozszerzona Matematyka 2022
Analizując arkusze maturalne matematyka rozszerzona PDF, warto zwrócić uwagę na:
- Poprawne stosowanie wzorów matematycznych
- Czytelny zapis rozwiązań
- Logiczne uporządkowanie kolejnych kroków
- Sprawdzenie otrzymanych wyników
Vocabulary: Kluczowe elementy oceny rozwiązań:
- Poprawność matematyczna
- Pełna argumentacja
- Czytelny zapis
- Sprawdzenie warunków zadania
Podczas egzaminu można korzystać z:
- Zestawu wzorów matematycznych
- Cyrkla i linijki
- Kalkulatora prostego Należy pamiętać, że zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.
5
of 10
Strona 6: Zadanie 7
Zadanie 7 dotyczy geometrii. Wymaga ono wykazania zależności między polami trójkątów w bardziej złożonej figurze geometrycznej. To zadanie sprawdza umiejętność rozumowania i argumentacji geometrycznej, co jest istotnym elementem matury rozszerzonej z matematyki.
Highlight: Zadanie wymaga wykazania, że jeżeli pole trójkąta FBH jest równe S, to pole trójkąta ADG jest równe 3S.
6
of 10
Strony 7-8: Zadanie 8
Zadanie 8 obejmuje dwie strony i dotyczy równań trygonometrycznych. Wymaga ono rozwiązania równania zawierającego funkcje trygonometryczne w określonym przedziale. To zadanie sprawdza umiejętność przekształcania wyrażeń trygonometrycznych i rozwiązywania równań, co jest kluczowe w arkuszach maturalnych z matematyki rozszerzonej.
Przykład: Równanie do rozwiązania: 2 cos²x - cos x = sin(2x) - sinx w przedziale (0,2π).
7
of 10
Strona 9: Miejsce na odpowiedź do zadania 8
Ta strona jest przeznaczona na zapisanie odpowiedzi do zadania 8. Zdający powinien tu przedstawić końcowy wynik rozwiązania równania trygonometrycznego z poprzednich stron. Jest to istotna część matury rozszerzonej z matematyki 2021, gdzie ważne jest nie tylko rozwiązanie, ale i poprawne sformułowanie odpowiedzi.
8
of 10
Strona 10: Zadanie 9
Na tej stronie rozpoczyna się zadanie 9, które dotyczy geometrii analitycznej. Zadanie zawiera informacje o prostych na płaszczyźnie i punkcie. To typowe zagadnienie dla arkuszy maturalnych z matematyki rozszerzonej, sprawdzające umiejętność pracy z równaniami prostych i ich wzajemnym położeniem.
Definicja: Geometria analityczna - dział matematyki, w którym figury geometryczne są opisywane za pomocą równań algebraicznych.
9
of 10
Rozwiązanie Zadania z Geometrii na Matura Matematyka Rozszerzona 2021
W tym zadaniu analizujemy czworokąt ABCD wpisany w okrąg, co stanowi klasyczny przykład geometrii okręgów na poziomie rozszerzonym. Zadanie to pojawiło się na Matura matematyka 2021 rozszerzony i wymaga szczegółowego zrozumienia własności czworokątów wpisanych w okrąg.
Definicja: Czworokąt wpisany w okrąg to taki czworokąt, którego wszystkie wierzchołki leżą na okręgu. W takim czworokącie suma przeciwległych kątów wynosi 180°.
Kluczowe elementy zadania to:
- Bok AD jest dwa razy dłuższy od boku AB
- Przekątna BD ma długość 6
- Kąt ABC wynosi 90°
- Bok AB jest dłuższy niż pierwiastek z 15
Rozwiązanie wymaga wykorzystania twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg oraz własności trójkątów prostokątnych. Stosując wzory trygonometryczne i algebraiczne przekształcenia, otrzymujemy równanie kwadratowe: a² - 7a + 12 = 0, gdzie a oznacza długość boku AB.
Przykład: Aby znaleźć długość boku BC, należy najpierw wyznaczyć długość boku AB (oznaczoną jako a). Z równania kwadratowego otrzymujemy a = 4, co pozwala nam obliczyć pozostałe wymiary czworokąta.
10
of 10
Kontynuacja Rozwiązania z Arkusze Maturalne Matematyka Rozszerzona
Po wyznaczeniu długości boku AB = 4, możemy przystąpić do obliczenia długości boku BC. Wykorzystujemy tutaj własności trójkątów prostokątnych oraz twierdzenie cosinusów.
Wskazówka: W czworokącie wpisanym w okrąg iloczyn przekątnych jest równy sumie iloczynów przeciwległych boków.
Stosując twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ABC oraz wykorzystując zależności między bokami, otrzymujemy:
- |BC| = √(14² - 2)
- Długość boku BC jest zatem równa pierwiastkowi z 192
Warto zauważyć, że rozwiązanie tego zadania wymaga nie tylko znajomości wzorów, ale również umiejętności łączenia różnych koncepcji geometrycznych. Jest to typowe zadanie z Matura matematyka rozszerzona odpowiedzi, które sprawdza kompleksowe rozumienie geometrii.
Podsumowanie: Zadanie to jest doskonałym przykładem wykorzystania własności czworokątów wpisanych w okrąg oraz zastosowania trygonometrii w geometrii płaskiej.
Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...
Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
Podobne notatki
Najpopularniejsze notatki: Cosinus
2MatematykaPodstawy Trygonometrii
Zrozumienie podstawowych funkcji trygonometrycznych oraz ich zastosowania w obliczeniach trójkątów prostokątnych. Materiał obejmuje wartości funkcji dla kątów 30°, 45°, 60° oraz zasady rozwiązywania trójkątów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
22,82645
MatematykaTrygonometria Kątów Ostrogich
Zrozumienie funkcji trygonometrycznych kątów ostrogich w kontekście trójkątów prostokątnych. Materiał obejmuje pomiar kątów, stosunki długości boków oraz zastosowanie sinusów i cosinusów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
11,05923
Najpopularniejsze notatki z Matematyka
9MatematykaEgzamin ósmoklasisty: Matematyka
Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.
859,8745,670
MatematykaWzory Matematyczne na Egzamin
Kompleksowe wzory matematyczne na egzamin ósmoklasisty, obejmujące objętości brył, pola powierzchni, kąty, działania na potęgach oraz równania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Zawiera wzory dla ostrosłupów, graniastosłupów, trójkątów i więcej.
855,1015,833
MatematykaGraniastosłupy i Ostrosłupy
Zrozumienie graniastosłupów i ostrosłupów: definicje, właściwości, wzory na objętość i pole powierzchni. Dowiedz się, jak obliczać objętość i pole różnych typów wielościanów, w tym graniastosłupów prostych i ostrosłupów prawdziwych. Idealne dla uczniów klasy 8.
843,4851,374
D
MatematykaDodawanie ułamków o tych samych mianownikach
Ćwiczenia z dodawania prostych ułamków o identycznych mianownikach bez przekraczania całości.
52,9100
W
MatematykaWzory na pola wielokątów
Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.
64,0580
MatematykaWYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE - NOTATKA POWTARZAJĄCA WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
88,970115
T
Matematykatabliczka mnożenia do 100
tabliczka mnożenia do 100
52,9222
P
MatematykaPodstawy tworzenia wyrażeń algebraicznych
Rozpoznawanie składników wyrażeń i zapisywanie prostych zależności liczbowych za pomocą liter i symboli.
73,2390
D
MatematykaDodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych
Wykonywanie obliczeń pamięciowych i pisemnych na ułamkach dziesiętnych z uwzględnieniem poprawnego dopasowania przecinka.
63,1360
Najpopularniejsze notatki
9
Język polskiPrzedwiośnie: Analiza Tematów
Zanurz się w analizę powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego. Odkryj kluczowe motywy, takie jak dojrzewanie, rewolucja i podróż, oraz ich znaczenie w kontekście niepodległej Polski. Notatka zawiera szczegółowe omówienie bohaterów, narracji oraz symboliki, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowania do egzaminów.
1180,9547,271
Język polskiAnaliza Lalki Prusa
Szczegółowa analiza powieści 'Lalka' Bolesława Prusa, obejmująca kompozycję, problematykę, głównych bohaterów oraz kontekst społeczny Warszawy lat 70. i 80. XIX wieku. Zawiera omówienie miłości Wokulskiego do Izabeli Łęckiej, różnorodności narracji oraz otwartości zakończenia. Idealna dla studentów literatury i miłośników polskiej prozy.
4133,7284,299
Język polskiAnaliza 'Lalki' Prusa
Szczegółowa analiza powieści 'Lalka' Bolesława Prusa, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, kluczowych bohaterów, oraz motywy literackie. Zawiera omówienie postaci Stanisława Wokulskiego jako romantyka i pozytywisty oraz realistyczny obraz Warszawy i Paryża. Idealne dla studentów literatury polskiej.
4130,2326,092
Język polskiWesele: Analiza Symboli
Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego. Odkryj kluczowe symbole, takie jak chochoł i złoty róg, oraz ich znaczenie w kontekście polskiego społeczeństwa przełomu XIX i XX wieku. Notatka zawiera omówienie genezy, kompozycji, tematów oraz portretu społecznego, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowań do egzaminów.
1183,5127,867
Język polskiPrzedwiośnie: Kluczowe Motywy
Analiza powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, głównych bohaterów oraz szczegółowy plan wydarzeń. Zawiera omówienie kluczowych motywów literackich, takich jak patriotyzm, rewolucja, miłość i przemiana Cezarego Baryki. Idealne dla studentów przygotowujących się do egzaminów.
494,7933,551
Język polskiMakbet: Analiza Tragedii Szekspira
Odkryj kluczowe cechy dramatu 'Makbet' Williama Szekspira, w tym złamanie zasady decorum, psychologię postaci oraz tematykę zbrodni i ambicji. Zrozum, jak Szekspir przekształca klasyczną tragedię, wprowadzając elementy fantastyki i psychologii. Idealne dla uczniów i studentów literatury. Typ: analiza literacka.
4104,1064,741
Język polskiMłoda Polska: Kluczowe Tematy
Odkryj istotne cechy i motywy epoki Młodej Polski, w tym dekadentyzm, sztukę dla sztuki oraz wpływ filozofii Nietzschego i Schopenhauera. Analiza najważniejszych twórców, ich dzieł oraz typów bohaterów. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.
1115,8494,978
Język polskiWesele: Analiza Społeczeństwa
Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego, który ukazuje podziały między inteligencją a chłopstwem w Polsce na początku XX wieku. Odkryj symbole, narodowe mity oraz kluczowe rozmowy, które ilustrują społeczne napięcia i brak zrozumienia. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.
3107,0994,035
Język polskiMity Narodowe w 'Weselu'
Analiza symboliki i mitów narodowych w dramacie Stanisława Wyspiańskiego 'Wesele'. Odkryj, jak postacie i symbole odzwierciedlają społeczne napięcia i dążenia Polaków na początku XX wieku. Materiał zawiera omówienie głównych tematów, realistycznych bohaterów oraz kontekstu historycznego. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.
478,6903,274
Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.
Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan Sużytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klichużytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Annaużytkownik iOS
Matematyka1,092 wyświetleń·Zaktualizowano May 23, 2026·12 stronyMatura Matematyka Rozszerzona 2021 - Odpowiedzi i Arkusze
Egzaminy maturalne z matematyki na poziomie rozszerzonym stanowią kluczowy element edukacji w polskim systemie szkolnictwa.
Matura matematyka rozszerzonaw latach 2020-2022 charakteryzowała się zróżnicowanym poziomem trudności i szeroko zakrojonym zakresem materiału. Szczególnie istotne były zadania z zakresu analizy matematycznej, geometrii... Pokaż więcej
1
of 10Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Przygotowanie do Matury Rozszerzonej z Matematyki 2021
Szczegółowa analiza arkusza matura matematyka rozszerzona 2021 czerwiec rozpoczyna się od kluczowych informacji organizacyjnych. Egzamin trwa 180 minut i można uzyskać maksymalnie 50 punktów. Arkusz zawiera 15 zadań, w tym zadania zamknięte (1-4) oraz otwarte (5-15).
Definicja: Arkusz egzaminacyjny składa się z dwóch typów zadań:
- Zadania zamknięte (1-4) - wymagają wybrania jednej poprawnej odpowiedzi
- Zadania otwarte (5-15) - wymagają samodzielnego rozwiązania i zapisania pełnej odpowiedzi
W pierwszej części arkusza znajdują się zadania zamknięte sprawdzające podstawowe umiejętności matematyczne. Zadanie 1 dotyczy wartości wyrażenia ze pierwiastkami, zadanie 2 bada granice ciągów, zadanie 3 koncentruje się na wektorach, a zadanie 4 sprawdza znajomość funkcji trygonometrycznych.
Wskazówka: Podczas rozwiązywania zadań zamkniętych warto:
- Dokładnie przeanalizować wszystkie odpowiedzi
- Sprawdzić obliczenia
- Zaznaczyć odpowiedź na karcie odpowiedzi zgodnie z instrukcją
- W razie pomyłki otoczyć błędne zaznaczenie kółkiem i zaznaczyć właściwą odpowiedź
2
of 10Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Rozwiązywanie Zadań Otwartych Matura 2021 Matematyka Rozszerzona
Zadania otwarte wymagają przedstawienia pełnego rozwiązania wraz z obliczeniami i uzasadnieniem. Zadanie 5 dotyczy wielomianów i wymaga znalezienia współczynników wielomianu po dzieleniu przez dwumian.
Przykład: W zadaniu 5 należy:
- Wykonać dzielenie wielomianu 5x³-7x²-4x-4 przez dwumian x-2
- Zapisać wynik w postaci ax²+bx+c
- Wpisać wartości współczynników a, b, c w odpowiednie kratki
Zadanie 6 sprawdza umiejętności z zakresu logarytmów, wymagając przekształceń wyrażeń logarytmicznych i dowodu równości. Zadanie 7 dotyczy geometrii i wymaga wykazania zależności między polami trójkątów.
3
of 10Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Strategie Rozwiązywania Arkusze Maturalne Matematyka Rozszerzona
W zadaniach geometrycznych, jak zadanie 7, kluczowe jest:
- Dokładna analiza danych z rysunku
- Wykorzystanie podobieństwa trójkątów
- Zapisanie proporcji
- Systematyczne prowadzenie dowodu
Highlight: Przy rozwiązywaniu zadań z geometrii należy:
- Zaznaczyć na rysunku wszystkie dane
- Wypisać założenia
- Zaplanować kolejność kroków dowodu
- Zapisać wszystkie przekształcenia
Zadanie 8 wymaga rozwiązania równania trygonometrycznego w podanym przedziale. Należy wykorzystać podstawowe tożsamości trygonometryczne oraz metodę rozwiązywania równań przez rozkład na czynniki.
4
of 10Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Przygotowanie do MATURA Rozszerzona Matematyka 2022
Analizując arkusze maturalne matematyka rozszerzona PDF, warto zwrócić uwagę na:
- Poprawne stosowanie wzorów matematycznych
- Czytelny zapis rozwiązań
- Logiczne uporządkowanie kolejnych kroków
- Sprawdzenie otrzymanych wyników
Vocabulary: Kluczowe elementy oceny rozwiązań:
- Poprawność matematyczna
- Pełna argumentacja
- Czytelny zapis
- Sprawdzenie warunków zadania
Podczas egzaminu można korzystać z:
- Zestawu wzorów matematycznych
- Cyrkla i linijki
- Kalkulatora prostego Należy pamiętać, że zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.
5
of 10Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Strona 6: Zadanie 7
Zadanie 7 dotyczy geometrii. Wymaga ono wykazania zależności między polami trójkątów w bardziej złożonej figurze geometrycznej. To zadanie sprawdza umiejętność rozumowania i argumentacji geometrycznej, co jest istotnym elementem matury rozszerzonej z matematyki.
Highlight: Zadanie wymaga wykazania, że jeżeli pole trójkąta FBH jest równe S, to pole trójkąta ADG jest równe 3S.
6
of 10Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Strony 7-8: Zadanie 8
Zadanie 8 obejmuje dwie strony i dotyczy równań trygonometrycznych. Wymaga ono rozwiązania równania zawierającego funkcje trygonometryczne w określonym przedziale. To zadanie sprawdza umiejętność przekształcania wyrażeń trygonometrycznych i rozwiązywania równań, co jest kluczowe w arkuszach maturalnych z matematyki rozszerzonej.
Przykład: Równanie do rozwiązania: 2 cos²x - cos x = sin(2x) - sinx w przedziale (0,2π).
7
of 10Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Strona 9: Miejsce na odpowiedź do zadania 8
Ta strona jest przeznaczona na zapisanie odpowiedzi do zadania 8. Zdający powinien tu przedstawić końcowy wynik rozwiązania równania trygonometrycznego z poprzednich stron. Jest to istotna część matury rozszerzonej z matematyki 2021, gdzie ważne jest nie tylko rozwiązanie, ale i poprawne sformułowanie odpowiedzi.
8
of 10Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Strona 10: Zadanie 9
Na tej stronie rozpoczyna się zadanie 9, które dotyczy geometrii analitycznej. Zadanie zawiera informacje o prostych na płaszczyźnie i punkcie. To typowe zagadnienie dla arkuszy maturalnych z matematyki rozszerzonej, sprawdzające umiejętność pracy z równaniami prostych i ich wzajemnym położeniem.
Definicja: Geometria analityczna - dział matematyki, w którym figury geometryczne są opisywane za pomocą równań algebraicznych.
9
of 10Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Rozwiązanie Zadania z Geometrii na Matura Matematyka Rozszerzona 2021
W tym zadaniu analizujemy czworokąt ABCD wpisany w okrąg, co stanowi klasyczny przykład geometrii okręgów na poziomie rozszerzonym. Zadanie to pojawiło się na Matura matematyka 2021 rozszerzony i wymaga szczegółowego zrozumienia własności czworokątów wpisanych w okrąg.
Definicja: Czworokąt wpisany w okrąg to taki czworokąt, którego wszystkie wierzchołki leżą na okręgu. W takim czworokącie suma przeciwległych kątów wynosi 180°.
Kluczowe elementy zadania to:
- Bok AD jest dwa razy dłuższy od boku AB
- Przekątna BD ma długość 6
- Kąt ABC wynosi 90°
- Bok AB jest dłuższy niż pierwiastek z 15
Rozwiązanie wymaga wykorzystania twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg oraz własności trójkątów prostokątnych. Stosując wzory trygonometryczne i algebraiczne przekształcenia, otrzymujemy równanie kwadratowe: a² - 7a + 12 = 0, gdzie a oznacza długość boku AB.
Przykład: Aby znaleźć długość boku BC, należy najpierw wyznaczyć długość boku AB (oznaczoną jako a). Z równania kwadratowego otrzymujemy a = 4, co pozwala nam obliczyć pozostałe wymiary czworokąta.
10
of 10Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Kontynuacja Rozwiązania z Arkusze Maturalne Matematyka Rozszerzona
Po wyznaczeniu długości boku AB = 4, możemy przystąpić do obliczenia długości boku BC. Wykorzystujemy tutaj własności trójkątów prostokątnych oraz twierdzenie cosinusów.
Wskazówka: W czworokącie wpisanym w okrąg iloczyn przekątnych jest równy sumie iloczynów przeciwległych boków.
Stosując twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ABC oraz wykorzystując zależności między bokami, otrzymujemy:
- |BC| = √(14² - 2)
- Długość boku BC jest zatem równa pierwiastkowi z 192
Warto zauważyć, że rozwiązanie tego zadania wymaga nie tylko znajomości wzorów, ale również umiejętności łączenia różnych koncepcji geometrycznych. Jest to typowe zadanie z Matura matematyka rozszerzona odpowiedzi, które sprawdza kompleksowe rozumienie geometrii.
Podsumowanie: Zadanie to jest doskonałym przykładem wykorzystania własności czworokątów wpisanych w okrąg oraz zastosowania trygonometrii w geometrii płaskiej.
Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...
Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
Podobne notatki
Najpopularniejsze notatki: Cosinus
2MatematykaPodstawy Trygonometrii
Zrozumienie podstawowych funkcji trygonometrycznych oraz ich zastosowania w obliczeniach trójkątów prostokątnych. Materiał obejmuje wartości funkcji dla kątów 30°, 45°, 60° oraz zasady rozwiązywania trójkątów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
22,82645
MatematykaTrygonometria Kątów Ostrogich
Zrozumienie funkcji trygonometrycznych kątów ostrogich w kontekście trójkątów prostokątnych. Materiał obejmuje pomiar kątów, stosunki długości boków oraz zastosowanie sinusów i cosinusów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
11,05923
Najpopularniejsze notatki z Matematyka
9MatematykaEgzamin ósmoklasisty: Matematyka
Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.
859,8745,670
MatematykaWzory Matematyczne na Egzamin
Kompleksowe wzory matematyczne na egzamin ósmoklasisty, obejmujące objętości brył, pola powierzchni, kąty, działania na potęgach oraz równania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Zawiera wzory dla ostrosłupów, graniastosłupów, trójkątów i więcej.
855,1015,833
MatematykaGraniastosłupy i Ostrosłupy
Zrozumienie graniastosłupów i ostrosłupów: definicje, właściwości, wzory na objętość i pole powierzchni. Dowiedz się, jak obliczać objętość i pole różnych typów wielościanów, w tym graniastosłupów prostych i ostrosłupów prawdziwych. Idealne dla uczniów klasy 8.
843,4851,374
D
MatematykaDodawanie ułamków o tych samych mianownikach
Ćwiczenia z dodawania prostych ułamków o identycznych mianownikach bez przekraczania całości.
52,9100
W
MatematykaWzory na pola wielokątów
Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.
64,0580
MatematykaWYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE - NOTATKA POWTARZAJĄCA WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
88,970115
T
Matematykatabliczka mnożenia do 100
tabliczka mnożenia do 100
52,9222
P
MatematykaPodstawy tworzenia wyrażeń algebraicznych
Rozpoznawanie składników wyrażeń i zapisywanie prostych zależności liczbowych za pomocą liter i symboli.
73,2390
D
MatematykaDodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych
Wykonywanie obliczeń pamięciowych i pisemnych na ułamkach dziesiętnych z uwzględnieniem poprawnego dopasowania przecinka.
63,1360
Najpopularniejsze notatki
9Język polskiPrzedwiośnie: Analiza Tematów
Zanurz się w analizę powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego. Odkryj kluczowe motywy, takie jak dojrzewanie, rewolucja i podróż, oraz ich znaczenie w kontekście niepodległej Polski. Notatka zawiera szczegółowe omówienie bohaterów, narracji oraz symboliki, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowania do egzaminów.
1180,9547,271
Język polskiAnaliza Lalki Prusa
Szczegółowa analiza powieści 'Lalka' Bolesława Prusa, obejmująca kompozycję, problematykę, głównych bohaterów oraz kontekst społeczny Warszawy lat 70. i 80. XIX wieku. Zawiera omówienie miłości Wokulskiego do Izabeli Łęckiej, różnorodności narracji oraz otwartości zakończenia. Idealna dla studentów literatury i miłośników polskiej prozy.
4133,7284,299
Język polskiAnaliza 'Lalki' Prusa
Szczegółowa analiza powieści 'Lalka' Bolesława Prusa, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, kluczowych bohaterów, oraz motywy literackie. Zawiera omówienie postaci Stanisława Wokulskiego jako romantyka i pozytywisty oraz realistyczny obraz Warszawy i Paryża. Idealne dla studentów literatury polskiej.
4130,2326,092
Język polskiWesele: Analiza Symboli
Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego. Odkryj kluczowe symbole, takie jak chochoł i złoty róg, oraz ich znaczenie w kontekście polskiego społeczeństwa przełomu XIX i XX wieku. Notatka zawiera omówienie genezy, kompozycji, tematów oraz portretu społecznego, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowań do egzaminów.
1183,5127,867
Język polskiPrzedwiośnie: Kluczowe Motywy
Analiza powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, głównych bohaterów oraz szczegółowy plan wydarzeń. Zawiera omówienie kluczowych motywów literackich, takich jak patriotyzm, rewolucja, miłość i przemiana Cezarego Baryki. Idealne dla studentów przygotowujących się do egzaminów.
494,7933,551
Język polskiMakbet: Analiza Tragedii Szekspira
Odkryj kluczowe cechy dramatu 'Makbet' Williama Szekspira, w tym złamanie zasady decorum, psychologię postaci oraz tematykę zbrodni i ambicji. Zrozum, jak Szekspir przekształca klasyczną tragedię, wprowadzając elementy fantastyki i psychologii. Idealne dla uczniów i studentów literatury. Typ: analiza literacka.
4104,1064,741
Język polskiMłoda Polska: Kluczowe Tematy
Odkryj istotne cechy i motywy epoki Młodej Polski, w tym dekadentyzm, sztukę dla sztuki oraz wpływ filozofii Nietzschego i Schopenhauera. Analiza najważniejszych twórców, ich dzieł oraz typów bohaterów. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.
1115,8494,978
Język polskiWesele: Analiza Społeczeństwa
Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego, który ukazuje podziały między inteligencją a chłopstwem w Polsce na początku XX wieku. Odkryj symbole, narodowe mity oraz kluczowe rozmowy, które ilustrują społeczne napięcia i brak zrozumienia. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.
3107,0994,035
Język polskiMity Narodowe w 'Weselu'
Analiza symboliki i mitów narodowych w dramacie Stanisława Wyspiańskiego 'Wesele'. Odkryj, jak postacie i symbole odzwierciedlają społeczne napięcia i dążenia Polaków na początku XX wieku. Materiał zawiera omówienie głównych tematów, realistycznych bohaterów oraz kontekstu historycznego. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.
478,6903,274
Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.
Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan Sużytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klichużytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Annaużytkownik iOS