Schemat Hornera: Rozszerzenie i Przykłady

Martyna Kramer

6.10.2025

Matematyka

Wielomiany rozszerzenie schemat hornera

Przedmioty

Matematyka

Wielomiany

Rozkład wielomianu na czynniki

Sposoby rozkładu wielomianu na czynniki

417

•

6 paź 2025

•

2 strony

Schemat Hornera: Rozszerzenie i Przykłady

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Martyna Kramer

@martynakramer

Schemat Hornera to potężne narzędzie matematyczne, które pomoże Ci w... Pokaż więcej

Wielomiany - Schemat Hornera

G(x)
W(x): (x-c)

X
W(x)=G(x)-F(x)+R(x)
R
C
F(x)
stopria (ローイ)
reszta z dzielenia

(x²+5x-1):(x-1)

X|1|5|-1|

Dzielenie wielomianów metodą Hornera

Schemat Hornera pozwala podzielić wielomian W $x$ przez dwumian postaci $x-c$ . Wynik zapisujemy jako W $x$ = G $x$ · F $x$ + R, gdzie G(x) to dzielnik, F(x) to iloraz, a R to reszta z dzielenia.

Aby zastosować schemat Hornera, zapisujemy współczynniki wielomianu w rzędzie, a pod spodem przepisujemy pierwszy współczynnik. Następnie mnożymy go przez c i dodajemy do kolejnego współczynnika. Powtarzamy proces aż do końca. Ostatnia liczba to reszta z dzielenia.

Spójrzmy na przykład: $x²+5x-4$ : $x-1$ . Zapisujemy współczynniki $1, 5, -4$ i wykonujemy działania. Otrzymujemy W $x$ = $x-1$ $x+6$ + 5, gdzie x+6 to iloraz, a 5 to reszta.

💡 Wskazówka: Pamiętaj, że jeśli reszta z dzielenia wynosi 0, oznacza to, że dwumian $x-c$ jest dzielnikiem wielomianu, a c jest pierwiastkiem wielomianu!

W trudniejszych przykładach, jak $-3x³+x²-5x+1$ : $x-1$ , postępujemy analogicznie. Schemat Hornera upraszcza dzielenie wielomianów i pozwala uniknąć skomplikowanych przekształceń algebraicznych.

Zastosowania schematu Hornera

Schemat Hornera ma wiele zastosowań. Jednym z najważniejszych jest znajdowanie pierwiastków wielomianu. Jeśli W $x₀$ =0, to x₀ jest pierwiastkiem wielomianu, a $x-x₀$ jest jego dzielnikiem.

Wykorzystując metodę Hornera możemy również obliczać wartość wielomianu dla konkretnej wartości x. To znacznie szybsze niż tradycyjne podstawianie do wzoru. Na przykład, aby obliczyć W $2$ dla wielomianu, wystarczy przeprowadzić schemat Hornera dla x=2.

Przy rozwiązywaniu równań wielomianowych, schemat Hornera pozwala rozkładać wielomian na czynniki. Jeśli znamy jeden pierwiastek, możemy znaleźć wielomian niższego stopnia i kontynuować proces, znajdując wszystkie pierwiastki.

🔑 Kluczowa informacja: Algorytm Hornera jest bardzo wydajny obliczeniowo i często używany w programowaniu $np. w C++$ do szybkiej ewaluacji wielomianów i znajdowania ich pierwiastków.

W matematyce wyższej i informatyce metoda Hornera jest nieoceniona przy analizie numerycznej i algorytmach obliczeniowych. Warto opanować ten schemat, ponieważ przyspieszy rozwiązywanie wielu zadań z wielomianami i będzie przydatny w dalszej edukacji.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Matura z matematyki 2023 - cały arkusz

3936

116

Rozkładanie wielomianów

2420

matematyka rozszerzenie matura 2021

969

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Wielomiany

Rozkład wielomianu na czynniki

Sposoby rozkładu wielomianu na czynniki

Matematyka

•

417

•

6 paź 2025

•

2 strony

Schemat Hornera: Rozszerzenie i Przykłady

Martyna Kramer

@martynakramer

Schemat Hornera to potężne narzędzie matematyczne, które pomoże Ci w dzieleniu wielomianów i znajdowaniu ich pierwiastków. Jest to szybka metoda obliczeniowa, która oszczędza czas i zmniejsza ryzyko popełnienia błędów przy działaniach na wielomianach.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Dzielenie wielomianów metodą Hornera

Spójrzmy na przykład: $x²+5x-4$ : $x-1$ . Zapisujemy współczynniki $1, 5, -4$ i wykonujemy działania. Otrzymujemy W $x$ = $x-1$ $x+6$ + 5, gdzie x+6 to iloraz, a 5 to reszta.

💡 Wskazówka: Pamiętaj, że jeśli reszta z dzielenia wynosi 0, oznacza to, że dwumian $x-c$ jest dzielnikiem wielomianu, a c jest pierwiastkiem wielomianu!

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Zastosowania schematu Hornera

🔑 Kluczowa informacja: Algorytm Hornera jest bardzo wydajny obliczeniowo i często używany w programowaniu $np. w C++$ do szybkiej ewaluacji wielomianów i znajdowania ich pierwiastków.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Matura Matematyka 2023

Kompletny arkusz maturalny z matematyki na poziomie podstawowym. Zawiera zadania dotyczące funkcji, geometrii, równań, prawdopodobieństwa oraz statystyki. Idealne materiały do nauki i przygotowania do egzaminu.

Matematyka

Rozkładanie Wielomianów

Zrozumienie metod rozkładu wielomianów na czynniki, w tym wzory skróconego mnożenia, wyciąganie wspólnego czynnika oraz metodę delty. Praktyczne przykłady i techniki ułatwiające rozwiązywanie równań kwadratowych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki rozszerzonej.

Matematyka

Matura Matematyka 2021

Rozwiązywanie zadań z arkusza maturalnego z matematyki na poziomie rozszerzonym z 2021 roku. Zawiera kluczowe koncepcje, takie jak funkcje, równania, geometria trójkątów oraz obliczenia pól. Idealne dla uczniów przygotowujących się do matury.

Matematyka

Wielomiany i ich Właściwości

Zrozumienie wielomianów: definicje, operacje, wzory skróconego mnożenia oraz metody rozkładu. Dowiedz się, jak rysować wykresy funkcji wielomianowych i rozwiązywać równania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Wielomiany: Teoria i Działania

Zgłębiaj teorię wielomianów, ich działania, oraz kluczowe pojęcia takie jak pierwiastki, rozkładanie na czynniki, i twierdzenie Bézouta. Dowiedz się, jak dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić wielomiany, a także jak przekształcać je do postaci iloczynowej. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Wielomiany i ich Właściwości

Zgłębiaj temat wielomianów jednej zmiennej rzeczywistej, ich równości, dzielenia oraz pierwiastków. Dowiedz się o twierdzeniu Bézouta, wzorach Viete'a oraz sposobach rozkładu wielomianów na czynniki. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Typ: Podsumowanie.

Matematyka

Podobne notatki

Matura z matematyki 2023 - cały arkusz

3936

116

Rozkładanie wielomianów

2420

matematyka rozszerzenie matura 2021

969

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS