Schemat Hornera - Rozszerzenie i Przykłady Dzielenia Wielomianów

Martyna Kramer

26.10.2025

Matematyka

Wielomiany rozszerzenie schemat hornera

Matematyka

Techniki Rozkładu Wielomianów na Czynniki

Faktoryzacja wielomianów wyższego stopnia

432

•

26 paź 2025

•

2 strony

Schemat Hornera - Rozszerzenie i Przykłady Dzielenia Wielomianów

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Martyna Kramer

@martynakramer

Schemat Hornera to skuteczna metoda dzielenia wielomianów i znajdowania ich... Pokaż więcej

Wielomiany - Schemat Hornera

G(x)
W(x): (x-c)

X
W(x)=G(x)-F(x)+R(x)
R
C
F(x)
stopria (ローイ)
reszta z dzielenia

(x²+5x-1):(x-1)

X|1|5|-1|

Schemat Hornera - podstawy i przykłady

Schemat Hornera to sprytny sposób dzielenia wielomianów przez dwumian postaci $x-c$ . Pozwala on na szybkie obliczenie zarówno ilorazu, jak i reszty z dzielenia. Zamiast stosować długie dzielenie, możesz po prostu ułożyć współczynniki wielomianu w tabelce i wykonać kilka prostych obliczeń.

Aby zastosować Schemat Hornera, zapisujesz współczynniki wielomianu w górnym wierszu tabeli. Pod pierwszym współczynnikiem zapisujesz tę samą wartość. Następnie mnożysz ją przez c $z dwumianu x-c$ i dodajesz do następnego współczynnika. Kontynuujesz ten proces do końca. Ostatnia liczba to reszta z dzielenia, a pozostałe liczby w dolnym wierszu to współczynniki ilorazu.

Przykładowo, dla wielomianu $x²+5x-1$ dzielonego przez $x-1$ , schemat wygląda tak: zapisujemy $1|5|-1$ , a pod spodem obliczamy $1|6|5$ . Oznacza to, że iloraz to $x+6$ , a reszta wynosi 5. Zatem W $x$ = $x-1$ $x+6$ +5.

Wskazówka: Schemat Hornera można wykorzystać nie tylko do dzielenia wielomianów, ale także do szybkiego obliczania wartości wielomianu dla konkretnej liczby. Jest to dużo efektywniejsze niż podstawianie wartości do pełnego wzoru!

Zastosowania Schematu Hornera i pierwiastki wielomianów

Schemat Hornera jest niezwykle przydatny przy znajdowaniu wartości wielomianu dla danej liczby. Możesz to wykorzystać do sprawdzenia, czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu. Jeśli reszta z dzielenia wielomianu przez $x-a$ wynosi 0, to a jest pierwiastkiem tego wielomianu.

W zadaniach znajdziesz różne typy problemów, na przykład obliczanie reszty z dzielenia wielomianu W $x$ = 6x⁵-2x³-8 przez dwumian $x-2$ . Stosując metodę Hornera, otrzymujemy resztę R=173. To oznacza, że W $2$ =173, więc 2 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Szczególnie przydatny jest schemat Hornera przy rozkładaniu wielomianu na czynniki. Jeśli znasz jeden pierwiastek wielomianu $np. H(2$ =0), możesz użyć schematu, aby podzielić wielomian przez $x-2$ i znaleźć pozostałe czynniki. Takie dzielenie wielomianu przez wielomian pierwszego stopnia jest dużo prostsze niż tradycyjne metody.

Zapamiętaj! Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W $x$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W $x$ jest podzielny przez dwumian $x-a$ . Sprawdzenie tego faktu za pomocą schematu Hornera zajmuje tylko chwilę!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

matematyka rozszerzenie matura 2021

973

Wielomiany

12597

672

Wielomiany

5291

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Matematyka

Techniki Rozkładu Wielomianów na Czynniki

Faktoryzacja wielomianów wyższego stopnia

Matematyka

•

432

•

26 paź 2025

•

2 strony

Schemat Hornera - Rozszerzenie i Przykłady Dzielenia Wielomianów

Martyna Kramer

@martynakramer

Schemat Hornera to skuteczna metoda dzielenia wielomianów i znajdowania ich wartości. Jest to algorytm, który znacznie ułatwia rozwiązywanie zadań matematycznych związanych z wielomianami. Poznanie tej techniki pomoże Ci nie tylko na sprawdzianach, ale także w rozwiązywaniu złożonych problemów matematycznych.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Schemat Hornera - podstawy i przykłady

Wskazówka: Schemat Hornera można wykorzystać nie tylko do dzielenia wielomianów, ale także do szybkiego obliczania wartości wielomianu dla konkretnej liczby. Jest to dużo efektywniejsze niż podstawianie wartości do pełnego wzoru!

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Zastosowania Schematu Hornera i pierwiastki wielomianów

Zapamiętaj! Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W $x$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W $x$ jest podzielny przez dwumian $x-a$ . Sprawdzenie tego faktu za pomocą schematu Hornera zajmuje tylko chwilę!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Matura Matematyka 2021

Rozwiązywanie zadań z arkusza maturalnego z matematyki na poziomie rozszerzonym z 2021 roku. Zawiera kluczowe koncepcje, takie jak funkcje, równania, geometria trójkątów oraz obliczenia pól. Idealne dla uczniów przygotowujących się do matury.

Matematyka

Wielomiany: Teoria i Działania

Zgłębiaj teorię wielomianów, ich działania, oraz kluczowe pojęcia takie jak pierwiastki, rozkładanie na czynniki, i twierdzenie Bézouta. Dowiedz się, jak dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić wielomiany, a także jak przekształcać je do postaci iloczynowej. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Wielomiany i ich Właściwości

Zrozumienie wielomianów: definicje, operacje, wzory skróconego mnożenia oraz metody rozkładu. Dowiedz się, jak rysować wykresy funkcji wielomianowych i rozwiązywać równania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Rozkładanie Wielomianów

Zrozumienie metod rozkładu wielomianów na czynniki, w tym wzory skróconego mnożenia, wyciąganie wspólnego czynnika oraz metodę delty. Praktyczne przykłady i techniki ułatwiające rozwiązywanie równań kwadratowych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki rozszerzonej.

Matematyka

Wielomiany i ich Właściwości

Zgłębiaj temat wielomianów jednej zmiennej rzeczywistej, ich równości, dzielenia oraz pierwiastków. Dowiedz się o twierdzeniu Bézouta, wzorach Viete'a oraz sposobach rozkładu wielomianów na czynniki. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Typ: Podsumowanie.

Matematyka

Podobne notatki

matematyka rozszerzenie matura 2021

973

Wielomiany

12597

672

Wielomiany

5291

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS