Knowunity AI

Więcej

Kariera

Program dla Twórców

Otwórz aplikację

Przedmioty

Matematyka

Rozwiązania i Układy Równań

MatematykaMatematyka1,445 wyświetleń·Zaktualizowano May 28, 2026·2 strony

Wyrażenia i rozwiązywanie nierówności wymiernych

A
Amelia Zięba@amelkacx

Nierówności wymierne mogą wydawać się trudne, ale z odpowiednim podejściem...

1
of 2
# nierówności wymierne Przyutad.1 → a) $\frac{5-x}{6+x}>0/(6+x)^2$ galy nie wiemy azy micinownie jest dodatni czy ujemny, mnożymy obustro

Proste nierówności wymierne

Nierówności wymierne to takie, w których występują ułamki zawierające zmienne. Przy ich rozwiązywaniu kluczowe jest ustalenie dziedziny nierówności - czyli wartości, dla których mianownik nie jest równy zero.

Rozwiązując nierówność typu 5−x6+x>0\frac{5-x}{6+x} > 0, najpierw mnożymy obie strony przez kwadrat mianownika (6+x)2(6+x)^2, co zachowuje znak nierówności. Następnie otrzymujemy (5−x)(6+x)>0(5-x)(6+x)>0, czyli iloczyn dwóch nawiasów musi być dodatni.

Aby rozwiązać taką nierówność, znajdujemy miejsca zerowe: $5-x=0daje daje x=5oraz oraz 6+x=0daje daje x=-6.Tepunktydzieląosˊliczbowąnaprzedziały.Sprawdzającznakwkaz˙dymprzedziale,otrzymujemyodpowiedzˊ:. Te punkty dzielą oś liczbową na przedziały. Sprawdzając znak w każdym przedziale, otrzymujemy odpowiedź: x \in (-6,5)$.

💡 Pamiętaj! Zawsze sprawdź dziedzinę nierówności wymiernej. Punkty, w których mianownik się zeruje, nie należą do rozwiązania.

Podobnie rozwiązujemy nierówność 49−x2>0\frac{4}{9-x^2} > 0. Dziedzina to R∖−3,3\mathbb{R}\setminus{-3,3}. Po przekształceniu otrzymujemy $43−x3-x3+x3+x>0.Miejscazeroweto. Miejsca zerowe to x=-3i i x=3,arozwiązaniemjestprzedział, a rozwiązaniem jest przedział x \in (-3,3)$.

2
of 2
# nierówności wymierne Przyutad.1 → a) $\frac{5-x}{6+x}>0/(6+x)^2$ galy nie wiemy azy micinownie jest dodatni czy ujemny, mnożymy obustro

Złożone nierówności wymierne

Przy bardziej skomplikowanych nierównościach, takich jak 3xx−2≤2x−35x+1\frac{3x}{x-2} \leq \frac{2x-3}{5x+1}, zaczynamy od ustalenia dziedziny, która wynosi R∖−15,2\mathbb{R}\setminus{-\frac{1}{5}, 2}.

Przekształcamy nierówność do postaci 3xx−2−2x−35x+1≤0\frac{3x}{x-2} - \frac{2x-3}{5x+1} \leq 0. Aby odjąć ułamki, sprowadzamy je do wspólnego mianownika: 3x⋅(5x+1)−(2x−3)(x−2)(x−2)(5x+1)≤0\frac{3x \cdot (5x+1) - (2x-3)(x-2)}{(x-2)(5x+1)} \leq 0. Po rozmnożeniu nawiasów w liczniku i uproszczeniu otrzymujemy 13x2+10x−6(x−2)(5x+1)≤0\frac{13x^2 + 10x - 6}{(x-2)(5x+1)} \leq 0.

Znak ułamka zależy od znaku licznika i mianownika. Wyznaczamy miejsca zerowe licznika rozwiązując równanie kwadratowe $13x^2 + 10x - 6 = 0.Obliczającdeltę. Obliczając deltę \Delta = 100 - 4 \cdot 13 \cdot (-6) = 412,znajdujemymiejscazerowe:, znajdujemy miejsca zerowe: x_1 = \frac{-5 - \sqrt{103}}{13}i i x_2 = \frac{-5 + \sqrt{103}}{13}$.

🔍 Przy rozwiązywaniu złożonych nierówności wymiernych, zwróć uwagę na każdy etap - szczególnie na znaki przy przekształceniach!

Po przeanalizowaniu znaków w odpowiednich przedziałach, otrzymujemy rozwiązanie: x∈(−5−10313,−15)∪(−5+10313,2)x \in \left(\frac{-5 - \sqrt{103}}{13}, -\frac{1}{5}\right) \cup \left(\frac{-5 + \sqrt{103}}{13}, 2\right).

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Więcej

Najpopularniejsze notatki: Rozwiązanie nierówności

6

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

9

Najpopularniejsze notatki

9

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan Sużytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klichużytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Annaużytkownik iOS

Matematyka

Rozwiązania i Układy Równań

MatematykaMatematyka1,445 wyświetleń·Zaktualizowano May 28, 2026·2 strony

Wyrażenia i rozwiązywanie nierówności wymiernych

A
Amelia Zięba@amelkacx

Nierówności wymierne mogą wydawać się trudne, ale z odpowiednim podejściem staną się prostsze. W tych notatkach nauczysz się rozwiązywać różne typy nierówności wymiernych oraz zrozumiesz kluczowe kroki potrzebne do znalezienia prawidłowych odpowiedzi.

1
of 2
# nierówności wymierne Przyutad.1 → a) $\frac{5-x}{6+x}>0/(6+x)^2$ galy nie wiemy azy micinownie jest dodatni czy ujemny, mnożymy obustro

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Proste nierówności wymierne

Nierówności wymierne to takie, w których występują ułamki zawierające zmienne. Przy ich rozwiązywaniu kluczowe jest ustalenie dziedziny nierówności - czyli wartości, dla których mianownik nie jest równy zero.

Rozwiązując nierówność typu 5−x6+x>0\frac{5-x}{6+x} > 0, najpierw mnożymy obie strony przez kwadrat mianownika (6+x)2(6+x)^2, co zachowuje znak nierówności. Następnie otrzymujemy (5−x)(6+x)>0(5-x)(6+x)>0, czyli iloczyn dwóch nawiasów musi być dodatni.

Aby rozwiązać taką nierówność, znajdujemy miejsca zerowe: $5-x=0daje daje x=5oraz oraz 6+x=0daje daje x=-6.Tepunktydzieląosˊliczbowąnaprzedziały.Sprawdzającznakwkaz˙dymprzedziale,otrzymujemyodpowiedzˊ:. Te punkty dzielą oś liczbową na przedziały. Sprawdzając znak w każdym przedziale, otrzymujemy odpowiedź: x \in (-6,5)$.

💡 Pamiętaj! Zawsze sprawdź dziedzinę nierówności wymiernej. Punkty, w których mianownik się zeruje, nie należą do rozwiązania.

Podobnie rozwiązujemy nierówność 49−x2>0\frac{4}{9-x^2} > 0. Dziedzina to R∖−3,3\mathbb{R}\setminus{-3,3}. Po przekształceniu otrzymujemy $43−x3-x3+x3+x>0.Miejscazeroweto. Miejsca zerowe to x=-3i i x=3,arozwiązaniemjestprzedział, a rozwiązaniem jest przedział x \in (-3,3)$.

2
of 2
# nierówności wymierne Przyutad.1 → a) $\frac{5-x}{6+x}>0/(6+x)^2$ galy nie wiemy azy micinownie jest dodatni czy ujemny, mnożymy obustro

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Złożone nierówności wymierne

Przy bardziej skomplikowanych nierównościach, takich jak 3xx−2≤2x−35x+1\frac{3x}{x-2} \leq \frac{2x-3}{5x+1}, zaczynamy od ustalenia dziedziny, która wynosi R∖−15,2\mathbb{R}\setminus{-\frac{1}{5}, 2}.

Przekształcamy nierówność do postaci 3xx−2−2x−35x+1≤0\frac{3x}{x-2} - \frac{2x-3}{5x+1} \leq 0. Aby odjąć ułamki, sprowadzamy je do wspólnego mianownika: 3x⋅(5x+1)−(2x−3)(x−2)(x−2)(5x+1)≤0\frac{3x \cdot (5x+1) - (2x-3)(x-2)}{(x-2)(5x+1)} \leq 0. Po rozmnożeniu nawiasów w liczniku i uproszczeniu otrzymujemy 13x2+10x−6(x−2)(5x+1)≤0\frac{13x^2 + 10x - 6}{(x-2)(5x+1)} \leq 0.

Znak ułamka zależy od znaku licznika i mianownika. Wyznaczamy miejsca zerowe licznika rozwiązując równanie kwadratowe $13x^2 + 10x - 6 = 0.Obliczającdeltę. Obliczając deltę \Delta = 100 - 4 \cdot 13 \cdot (-6) = 412,znajdujemymiejscazerowe:, znajdujemy miejsca zerowe: x_1 = \frac{-5 - \sqrt{103}}{13}i i x_2 = \frac{-5 + \sqrt{103}}{13}$.

🔍 Przy rozwiązywaniu złożonych nierówności wymiernych, zwróć uwagę na każdy etap - szczególnie na znaki przy przekształceniach!

Po przeanalizowaniu znaków w odpowiednich przedziałach, otrzymujemy rozwiązanie: x∈(−5−10313,−15)∪(−5+10313,2)x \in \left(\frac{-5 - \sqrt{103}}{13}, -\frac{1}{5}\right) \cup \left(\frac{-5 + \sqrt{103}}{13}, 2\right).

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Więcej

Najpopularniejsze notatki: Rozwiązanie nierówności

6

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

9

Najpopularniejsze notatki

9

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan Sużytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klichużytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Annaużytkownik iOS