Rozwiązywanie nierówności i równań

Nierówności kwadratowe rozwiązujemy podobnie jak równania - przekształcamy je do postaci, gdzie jedna strona jest równa lub większa od zera. Weźmy przykład: $3x^2 - 6x \ge (x - 2)(x - 8)$. Najpierw rozmnażamy nawiasy po prawej stronie, a następnie grupujemy wszystkie wyrazy po lewej.

Po przekształceniach otrzymujemy $x^2 + 2x - 8 \ge 0$. Obliczamy deltę: $\Delta = 4 + 32 = 36$, a następnie miejsca zerowe: $x_1 = -4$ oraz $x_2 = 2$. Dla nierówności z ≥ rozwiązaniem będą przedziały $(-\infty, -4] \cup [2, +\infty)$ - czyli x mniejsze lub równe -4 ORAZ x większe lub równe 2.

💡 Pamiętaj! Przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowych kluczowe jest ustalenie znaków funkcji kwadratowej w poszczególnych przedziałach. Gdy a>0 (współczynnik przy $x^2$), funkcja przyjmuje wartości dodatnie "na zewnątrz" miejsc zerowych.

Przy równaniach, które można rozłożyć na czynniki, korzystamy z własności: iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero. Na przykład dla $(4 - x)(x^2 + 2x - 15) = 0$ rozwiązujemy oddzielnie równania $4 - x = 0$ oraz $x^2 + 2x - 15 = 0$, uzyskując rozwiązania $x \in \{-5, 3, 4\}$.

W przypadku równań wymiernych, jak $\frac{2x + 1}{2x} = \frac{2x + 1}{x + 1}$, kluczowe jest sprawdzenie warunków istnienia (tutaj $x \ne 1$ i $x \ne 0$). Następnie sprowadzamy je do równania wielomianowego i sprawdzamy, czy otrzymane rozwiązania spełniają warunki początkowe.