Równania i nierówności wymierne
Równania wymierne stanowią istotny element algebry, wymagający szczególnego podejścia do rozwiązywania. Są to równania, które można przekształcić do postaci Wx/Px = 0, gdzie Wx i Px są wielomianami, a Px ≠ 0.
Definition: Równanie wymierne to równanie, które można przekształcić do postaci Wx/Px = 0, gdzie Wx i Px są wielomianami, a Px ≠ 0.
Rozwiązując równania wymierne, należy pamiętać o dziedzinie, która wyklucza wartości x, dla których mianownik się zeruje.
Example: Dla równania x−x−6 / 2x+4 = 0, rozwiązaniem są x₁ = -4 i x₂ = 3, przy czym x = -2 jest wykluczone z dziedziny.
Nierówności wymierne to kolejny ważny temat. Rozwiązuje się je często przez przekształcenie do postaci WxPx < 0, gdzie Px ≠ 0.
Highlight: Przy rozwiązywaniu nierówności wymiernych, kluczowe jest mnożenie obu stron przez kwadrat mianownika, co pozwala uniknąć zmiany znaku nierówności.
Example: Dla nierówności x−1 / (x−4x+3) > 0, rozwiązaniem jest x ∈ −∞,−4 ∪ −3,0 ∪ 1,4.
Średnie matematyczne stanowią ważny element w analizie danych i rozwiązywaniu problemów.
Definition: Średnia arytmetyczna to suma wszystkich wartości podzielona przez ich liczbę: Sa = a1+a2+...+an / n.
Definition: Średnia geometryczna to pierwiastek n-tego stopnia z iloczynu n liczb: Sg = ⁿ√a1⋅a2⋅...⋅an.
Definition: Średnia kwadratowa to pierwiastek kwadratowy ze średniej arytmetycznej kwadratów liczb: Sk = √(a12+a22+...+an2 / n).
Highlight: Ważna nierówność między średnimi: Sa ≥ Sg dla dowolnych liczb nieujemnych, z równością zachodzącą tylko gdy wszystkie liczby są równe.
