Otwórz aplikację

Przedmioty

Równania i Nierówności Wymierne, Funkcja Homograficzna — Proste Przykłady i Zadania

Otwórz

130

0

user profile picture

Małgorzata Pietrzak

25.09.2022

Matematyka

ułamki algebraiczne i funkcja wymierna

Równania i Nierówności Wymierne, Funkcja Homograficzna — Proste Przykłady i Zadania

Kluczowe zagadnienia matematyczne: równania i nierówności wymierne, funkcje homograficzne oraz średnie.

  • Równania wymierne to równania przekształcalne do postaci W(x)/P(x) = 0, gdzie W(x) i P(x) to wielomiany.
  • Nierówności wymierne można rozwiązać przez przekształcenie do postaci W(x)P(x) < 0.
  • Średnie: arytmetyczna, geometryczna i kwadratowa - każda ma swoje zastosowania i właściwości.
  • Funkcja homograficzna to funkcja postaci y = (Ax + B) / (Cx + D), gdzie C ≠ 0 i AD - CB ≠ 0.
  • Funkcje wymierne to ilorazy wielomianów, z dziedziną określoną przez mianownik.
...

25.09.2022

7341

Ulamki algebraiczne
1. Równania wymierne
Równaniem wymiernym z niewiadomą x nazywamy równanie, które mozna pmekształcić
qdzie W(x) oraz P(x)

Zobacz

Funkcje homograficzne i wymierne

Funkcja homograficzna to szczególny rodzaj funkcji wymiernej, która ma szerokie zastosowanie w matematyce i fizyce.

Definition: Funkcja homograficzna to funkcja postaci y = (Ax + B) / (Cx + D), gdzie C ≠ 0 i AD - CB ≠ 0.

Dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem wartości, dla której mianownik się zeruje.

Highlight: Wykres funkcji homograficznej to hiperbola, która może przecinać osie układu współrzędnych w charakterystycznych punktach.

Example: Jeśli A = 0, funkcja homograficzna przecina oś OX w punkcie (0, -B/D). Jeśli D = 0, funkcja przecina oś OY w punkcie (0, B/C).

Funkcje wymierne stanowią szerszą klasę funkcji, obejmującą funkcje homograficzne.

Definition: Funkcja wymierna to funkcja postaci y = W₁(x) / W₂(x), gdzie W₁(x) i W₂(x) są wielomianami, a W₂(x) ≠ 0.

Dziedzina funkcji wymiernej obejmuje wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem tych, które są pierwiastkami wielomianu w mianowniku.

Highlight: Analiza funkcji wymiernych wymaga szczególnej uwagi przy określaniu dziedziny i badaniu zachowania funkcji w otoczeniu punktów, gdzie mianownik się zeruje.

Vocabulary: Asymptoty to linie proste, do których wykres funkcji zbliża się w nieskończoności lub w punktach nieciągłości.

Zrozumienie funkcji homograficznych i wymiernych jest kluczowe dla dalszych studiów matematycznych, szczególnie w analizie matematycznej i algebrze.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

20 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

 

Matematyka

7341

25 wrz 2022

2 strony

Równania i Nierówności Wymierne, Funkcja Homograficzna — Proste Przykłady i Zadania

user profile picture

Małgorzata Pietrzak

@magorzatapietrzak_rffo

Kluczowe zagadnienia matematyczne: równania i nierówności wymierne, funkcje homograficzne oraz średnie.

  • Równania wymierne to równania przekształcalne do postaci W(x)/P(x) = 0, gdzie W(x) i P(x) to wielomiany.
  • Nierówności wymierne można rozwiązać przez przekształcenie do postaci W(x)P(x) < 0.
  • Średnie: arytmetyczna,... Pokaż więcej
Ulamki algebraiczne
1. Równania wymierne
Równaniem wymiernym z niewiadomą x nazywamy równanie, które mozna pmekształcić
qdzie W(x) oraz P(x)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Funkcje homograficzne i wymierne

Funkcja homograficzna to szczególny rodzaj funkcji wymiernej, która ma szerokie zastosowanie w matematyce i fizyce.

Definition: Funkcja homograficzna to funkcja postaci y = (Ax + B) / (Cx + D), gdzie C ≠ 0 i AD - CB ≠ 0.

Dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem wartości, dla której mianownik się zeruje.

Highlight: Wykres funkcji homograficznej to hiperbola, która może przecinać osie układu współrzędnych w charakterystycznych punktach.

Example: Jeśli A = 0, funkcja homograficzna przecina oś OX w punkcie (0, -B/D). Jeśli D = 0, funkcja przecina oś OY w punkcie (0, B/C).

Funkcje wymierne stanowią szerszą klasę funkcji, obejmującą funkcje homograficzne.

Definition: Funkcja wymierna to funkcja postaci y = W₁(x) / W₂(x), gdzie W₁(x) i W₂(x) są wielomianami, a W₂(x) ≠ 0.

Dziedzina funkcji wymiernej obejmuje wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem tych, które są pierwiastkami wielomianu w mianowniku.

Highlight: Analiza funkcji wymiernych wymaga szczególnej uwagi przy określaniu dziedziny i badaniu zachowania funkcji w otoczeniu punktów, gdzie mianownik się zeruje.

Vocabulary: Asymptoty to linie proste, do których wykres funkcji zbliża się w nieskończoności lub w punktach nieciągłości.

Zrozumienie funkcji homograficznych i wymiernych jest kluczowe dla dalszych studiów matematycznych, szczególnie w analizie matematycznej i algebrze.

Ulamki algebraiczne
1. Równania wymierne
Równaniem wymiernym z niewiadomą x nazywamy równanie, które mozna pmekształcić
qdzie W(x) oraz P(x)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Równania i nierówności wymierne

Równania wymierne stanowią istotny element algebry, wymagający szczególnego podejścia do rozwiązywania. Są to równania, które można przekształcić do postaci W(x)/P(x) = 0, gdzie W(x) i P(x) są wielomianami, a P(x) ≠ 0.

Definition: Równanie wymierne to równanie, które można przekształcić do postaci W(x)/P(x) = 0, gdzie W(x) i P(x) są wielomianami, a P(x) ≠ 0.

Rozwiązując równania wymierne, należy pamiętać o dziedzinie, która wyklucza wartości x, dla których mianownik się zeruje.

Example: Dla równania (x - x - 6) / (2x + 4) = 0, rozwiązaniem są x₁ = -4 i x₂ = 3, przy czym x = -2 jest wykluczone z dziedziny.

Nierówności wymierne to kolejny ważny temat. Rozwiązuje się je często przez przekształcenie do postaci W(x)P(x) < 0, gdzie P(x) ≠ 0.

Highlight: Przy rozwiązywaniu nierówności wymiernych, kluczowe jest mnożenie obu stron przez kwadrat mianownika, co pozwala uniknąć zmiany znaku nierówności.

Example: Dla nierówności (x - 1) / ((x - 4)(x + 3)) > 0, rozwiązaniem jest x ∈ (-∞, -4) ∪ (-3, 0) ∪ (1, 4).

Średnie matematyczne stanowią ważny element w analizie danych i rozwiązywaniu problemów.

Definition: Średnia arytmetyczna to suma wszystkich wartości podzielona przez ich liczbę: Sa = (a₁ + a₂ + ... + an) / n.

Definition: Średnia geometryczna to pierwiastek n-tego stopnia z iloczynu n liczb: Sg = ⁿ√(a₁ · a₂ · ... · an).

Definition: Średnia kwadratowa to pierwiastek kwadratowy ze średniej arytmetycznej kwadratów liczb: Sk = √((a₁² + a₂² + ... + an²) / n).

Highlight: Ważna nierówność między średnimi: Sa ≥ Sg dla dowolnych liczb nieujemnych, z równością zachodzącą tylko gdy wszystkie liczby są równe.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS