Otwórz aplikację

Przedmioty

Co to jest koło i okrąg? Zadania i wzory dla klasy 4

99

1

user profile picture

Pacia

11.07.2025

Matematyka

Okręgi i koła

6040

11 lip 2025

5 strony

Co to jest koło i okrąg? Zadania i wzory dla klasy 4

user profile picture

Pacia

@paciazostawmn

Okrąg i koło to fundamentalne pojęcia w geometrii płaskiej, kluczowe... Pokaż więcej

ING
099
Matematyka
Okrąg i koło
Koło - zbiór wszystkich punktów, których odległość od środka jest mniejsza lub
równa długości promienia.
Okr

Łuki, wycinki i odcinki koła

Strona druga rozszerza wiedzę o okręgach i kołach, wprowadzając pojęcia łuków, wycinków i odcinków koła. Prezentuje ona zaawansowane wzory, które są niezbędne do rozwiązywania bardziej skomplikowanych zadań z geometrii płaskiej - okręgi i koła sprawdzian pazdro.

Definition:

  • Długość łuku okręgu: L = α/360° * 2πr
  • Pole wycinka koła wzór: P = α/360° * πr²
  • Pole odcinka koła wzór: P = α/360° * πr² - r2sinαr² * sin α/2

Gdzie α oznacza miarę kąta środkowego w stopniach, a r to promień okręgu.

Strona wprowadza również kluczowe pojęcia kątów w okręgu:

Vocabulary:

  • Kąt środkowy - kąt, który ma wierzchołek w środku okręgu, a ramionami są promienie okręgu.
  • Kąt wpisany - kąt, który ma wierzchołek na okręgu, a ramionami są cięciwy okręgu.

Te definicje są fundamentalne dla zrozumienia relacji między kątami w okręgu i rozwiązywania zadań typu kąty w okręgu - zadania.

Highlight: Znajomość wzorów na pole wycinka koła i pole odcinka koła jest kluczowa dla uczniów przygotowujących się do zaawansowanych zadań z geometrii płaskiej.

Example: Dla koła o promieniu 10 cm i kąta środkowego 60°, pole wycinka koła wyniesie: P = 60/360 * π * 10² ≈ 52,36 cm².

ING
099
Matematyka
Okrąg i koło
Koło - zbiór wszystkich punktów, których odległość od środka jest mniejsza lub
równa długości promienia.
Okr

Twierdzenia o kątach w okręgu

Strona trzecia dokumentu przedstawia kluczowe twierdzenia dotyczące kątów w okręgu, które są niezbędne do rozwiązywania zadań typu kąty w okręgu zadania pdf oraz kąty w okręgu zadania maturalne.

Definition:

  1. Kąt środkowy w okręgu ma miarę 2 razy większą od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.
  2. Kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku mają równe miary.
  3. Kąt wpisany oparty na łuku będącym średnicą jest kątem prostym.

Te twierdzenia są fundamentalne dla zrozumienia relacji między kąt wpisany i środkowy oraz rozwiązywania zadań związanych z kątami w okręgu.

Example: Jeśli kąt wpisany oparty na pewnym łuku ma miarę 30°, to kąt środkowy oparty na tym samym łuku będzie miał miarę 60°.

Highlight: Zrozumienie zależności między kątem środkowym a wpisanym pozwala na efektywne rozwiązywanie wielu zadań geometrycznych związanych z okręgami.

Quote: "Kąt wpisany w okrąg oparty na średnicy jest kątem prostym."

Ta zasada, znana jako twierdzenie o kącie wpisanym opartym na średnicy, jest często wykorzystywana w zadaniach maturalnych i olimpiadach matematycznych.

Vocabulary: Łuk - część okręgu ograniczona dwoma punktami.

Zrozumienie pojęcia łuku jest kluczowe dla prawidłowej interpretacji twierdzeń o kątach w okręgu.

ING
099
Matematyka
Okrąg i koło
Koło - zbiór wszystkich punktów, których odległość od środka jest mniejsza lub
równa długości promienia.
Okr

Przypomnienie ważnych wzorów z geometrii płaskiej

Strona czwarta dokumentu stanowi cenne przypomnienie kluczowych wzorów z geometrii płaskiej, które są często wykorzystywane w zadaniach związanych z okręgami i kołami. Te wzory są niezbędne do rozwiązywania kompleksowych zadań, w których figury płaskie łączą się z elementami okręgu.

Definition:

  • Pole trójkąta: P = 1/2 * a * h
  • Pole równoległoboku: P = a * h
  • Pole rombu: P = d1d2d1 * d2 / 2 lub P = a * h
  • Pole trapezu: P = (a+b(a + b / 2) * h

Gdzie a, b to długości boków, h to wysokość, a d1 i d2 to długości przekątnych.

Strona zawiera również graficzne przedstawienie własności trójkątów, w tym trójkątów 30-60-90 i 45-45-90, które są często wykorzystywane w zadaniach z geometrii płaskiej - okręgi i koła sprawdzian pazdro.

Highlight: Znajomość tych podstawowych wzorów jest kluczowa dla efektywnego rozwiązywania złożonych zadań geometrycznych, szczególnie tych łączących różne figury płaskie z okręgami.

Example: W trójkącie prostokątnym o kątach 30° i 60°, jeśli przyprostokątna przyległa do kąta 30° ma długość a, to przeciwprostokątna ma długość 2a, a druga przyprostokątna ma długość a√3.

Vocabulary: Wysokość figury - odcinek prostopadły do podstawy, łączący ją z przeciwległym wierzchołkiem lub bokiem.

Zrozumienie pojęcia wysokości jest kluczowe dla prawidłowego stosowania wzorów na pola figur płaskich.

ING
099
Matematyka
Okrąg i koło
Koło - zbiór wszystkich punktów, których odległość od środka jest mniejsza lub
równa długości promienia.
Okr

Funkcje trygonometryczne w kontekście okręgu jednostkowego

Strona piąta dokumentu wprowadza funkcje trygonometryczne w kontekście okręgu jednostkowego, co jest kluczowe dla zrozumienia związku między trygonometrią a geometrią okręgu. Ta wiedza jest niezbędna do rozwiązywania zaawansowanych zadań z geometrii płaskiej - okręgi i koła sprawdzian pazdro oraz przygotowania do matury z matematyki.

Dokument przedstawia tabelę wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 0°, 30°, 45°, 60° i 90°, które są często wykorzystywane w zadaniach maturalnych.

Definition:

  • Sinus kąta α: sin α = przeciwprostokątna / przeciwprostokątna
  • Cosinus kąta α: cos α = przyległa / przeciwprostokątna
  • Tangens kąta α: tg α = przeciwprostokątna / przyległa

Highlight: Znajomość wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów charakterystycznych jest kluczowa dla efektywnego rozwiązywania zadań z trygonometrii i geometrii analitycznej.

Example: Dla kąta 30°, sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tg 30° = 1/√3.

Vocabulary: Okrąg jednostkowy - okrąg o promieniu 1 i środku w początku układu współrzędnych.

Zrozumienie koncepcji okręgu jednostkowego jest fundamentalne dla głębszego zrozumienia funkcji trygonometrycznych i ich związku z geometrią.

Quote: "Funkcje trygonometryczne są kluczowym narzędziem w analizie kątów i relacji w trójkątach, co ma szerokie zastosowanie w geometrii okręgu."

Ta strona stanowi doskonałe połączenie wiedzy o okręgach z trygonometrią, co jest często wymagane w zadaniach maturalnych i na olimpiadach matematycznych.

ING
099
Matematyka
Okrąg i koło
Koło - zbiór wszystkich punktów, których odległość od środka jest mniejsza lub
równa długości promienia.
Okr

Podstawowe pojęcia okręgu i koła

Strona pierwsza dokumentu wprowadza fundamentalne pojęcia związane z okręgiem i kołem, które są kluczowe dla zrozumienia geometrii płaskiej. Koło zostaje zdefiniowane jako zbiór wszystkich punktów, których odległość od środka jest mniejsza lub równa długości promienia. Z kolei okrąg definicja przedstawia go jako zbiór wszystkich punktów, których odległość od środka jest dokładnie równa długości promienia. Warto zauważyć, że okrąg stanowi brzeg koła, co pomaga zrozumieć czym się różni koło od okręgu.

Dokument przedstawia również kluczowe elementy okręgu:

  • Cięciwa: odcinek łączący dwa punkty leżące na okręgu
  • Średnica okręgu: cięciwa przechodząca przez środek okręgu
  • Promień: odcinek zaczynający się na środku i kończący na punkcie okręgu
  • Styczna: prosta mająca z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny

Vocabulary: Punkt styczności - miejsce, w którym styczna dotyka okręgu.

Strona zawiera także dwa fundamentalne wzory, które są niezbędne przy rozwiązywaniu zadań z geometrii płaskiej okręgi i koła wzory:

Definition:

  • Wzór na pole koła: P = πr²
  • Wzór na obwód koła: L = 2πr

Te wzory są kluczowe dla uczniów przygotowujących się do sprawdzianów i zadań maturalnych z geometrii płaskiej.

Example: Jeśli promień koła wynosi 5 cm, jego pole będzie równe P = π * 5² = 25π cm², a obwód L = 2π * 5 = 10π cm.

Highlight: Zrozumienie różnicy między kołem a okręgiem oraz znajomość podstawowych elementów okręgu jest fundamentem do rozwiązywania bardziej złożonych zadań geometrycznych.



Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

 

Matematyka

6040

11 lip 2025

5 strony

Co to jest koło i okrąg? Zadania i wzory dla klasy 4

user profile picture

Pacia

@paciazostawmn

Okrąg i koło to fundamentalne pojęcia w geometrii płaskiej, kluczowe dla zrozumienia wielu zagadnień matematycznych. Koło i okrąg zadania Klasa 4 często wprowadzają te koncepcje, pokazując czym się różni koło od okręgu. Okrąg definicjato zbiór punktów równo oddalonych... Pokaż więcej

ING
099
Matematyka
Okrąg i koło
Koło - zbiór wszystkich punktów, których odległość od środka jest mniejsza lub
równa długości promienia.
Okr

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Łuki, wycinki i odcinki koła

Strona druga rozszerza wiedzę o okręgach i kołach, wprowadzając pojęcia łuków, wycinków i odcinków koła. Prezentuje ona zaawansowane wzory, które są niezbędne do rozwiązywania bardziej skomplikowanych zadań z geometrii płaskiej - okręgi i koła sprawdzian pazdro.

Definition:

  • Długość łuku okręgu: L = α/360° * 2πr
  • Pole wycinka koła wzór: P = α/360° * πr²
  • Pole odcinka koła wzór: P = α/360° * πr² - r2sinαr² * sin α/2

Gdzie α oznacza miarę kąta środkowego w stopniach, a r to promień okręgu.

Strona wprowadza również kluczowe pojęcia kątów w okręgu:

Vocabulary:

  • Kąt środkowy - kąt, który ma wierzchołek w środku okręgu, a ramionami są promienie okręgu.
  • Kąt wpisany - kąt, który ma wierzchołek na okręgu, a ramionami są cięciwy okręgu.

Te definicje są fundamentalne dla zrozumienia relacji między kątami w okręgu i rozwiązywania zadań typu kąty w okręgu - zadania.

Highlight: Znajomość wzorów na pole wycinka koła i pole odcinka koła jest kluczowa dla uczniów przygotowujących się do zaawansowanych zadań z geometrii płaskiej.

Example: Dla koła o promieniu 10 cm i kąta środkowego 60°, pole wycinka koła wyniesie: P = 60/360 * π * 10² ≈ 52,36 cm².

ING
099
Matematyka
Okrąg i koło
Koło - zbiór wszystkich punktów, których odległość od środka jest mniejsza lub
równa długości promienia.
Okr

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Twierdzenia o kątach w okręgu

Strona trzecia dokumentu przedstawia kluczowe twierdzenia dotyczące kątów w okręgu, które są niezbędne do rozwiązywania zadań typu kąty w okręgu zadania pdf oraz kąty w okręgu zadania maturalne.

Definition:

  1. Kąt środkowy w okręgu ma miarę 2 razy większą od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.
  2. Kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku mają równe miary.
  3. Kąt wpisany oparty na łuku będącym średnicą jest kątem prostym.

Te twierdzenia są fundamentalne dla zrozumienia relacji między kąt wpisany i środkowy oraz rozwiązywania zadań związanych z kątami w okręgu.

Example: Jeśli kąt wpisany oparty na pewnym łuku ma miarę 30°, to kąt środkowy oparty na tym samym łuku będzie miał miarę 60°.

Highlight: Zrozumienie zależności między kątem środkowym a wpisanym pozwala na efektywne rozwiązywanie wielu zadań geometrycznych związanych z okręgami.

Quote: "Kąt wpisany w okrąg oparty na średnicy jest kątem prostym."

Ta zasada, znana jako twierdzenie o kącie wpisanym opartym na średnicy, jest często wykorzystywana w zadaniach maturalnych i olimpiadach matematycznych.

Vocabulary: Łuk - część okręgu ograniczona dwoma punktami.

Zrozumienie pojęcia łuku jest kluczowe dla prawidłowej interpretacji twierdzeń o kątach w okręgu.

ING
099
Matematyka
Okrąg i koło
Koło - zbiór wszystkich punktów, których odległość od środka jest mniejsza lub
równa długości promienia.
Okr

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Przypomnienie ważnych wzorów z geometrii płaskiej

Strona czwarta dokumentu stanowi cenne przypomnienie kluczowych wzorów z geometrii płaskiej, które są często wykorzystywane w zadaniach związanych z okręgami i kołami. Te wzory są niezbędne do rozwiązywania kompleksowych zadań, w których figury płaskie łączą się z elementami okręgu.

Definition:

  • Pole trójkąta: P = 1/2 * a * h
  • Pole równoległoboku: P = a * h
  • Pole rombu: P = d1d2d1 * d2 / 2 lub P = a * h
  • Pole trapezu: P = (a+b(a + b / 2) * h

Gdzie a, b to długości boków, h to wysokość, a d1 i d2 to długości przekątnych.

Strona zawiera również graficzne przedstawienie własności trójkątów, w tym trójkątów 30-60-90 i 45-45-90, które są często wykorzystywane w zadaniach z geometrii płaskiej - okręgi i koła sprawdzian pazdro.

Highlight: Znajomość tych podstawowych wzorów jest kluczowa dla efektywnego rozwiązywania złożonych zadań geometrycznych, szczególnie tych łączących różne figury płaskie z okręgami.

Example: W trójkącie prostokątnym o kątach 30° i 60°, jeśli przyprostokątna przyległa do kąta 30° ma długość a, to przeciwprostokątna ma długość 2a, a druga przyprostokątna ma długość a√3.

Vocabulary: Wysokość figury - odcinek prostopadły do podstawy, łączący ją z przeciwległym wierzchołkiem lub bokiem.

Zrozumienie pojęcia wysokości jest kluczowe dla prawidłowego stosowania wzorów na pola figur płaskich.

ING
099
Matematyka
Okrąg i koło
Koło - zbiór wszystkich punktów, których odległość od środka jest mniejsza lub
równa długości promienia.
Okr

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Funkcje trygonometryczne w kontekście okręgu jednostkowego

Strona piąta dokumentu wprowadza funkcje trygonometryczne w kontekście okręgu jednostkowego, co jest kluczowe dla zrozumienia związku między trygonometrią a geometrią okręgu. Ta wiedza jest niezbędna do rozwiązywania zaawansowanych zadań z geometrii płaskiej - okręgi i koła sprawdzian pazdro oraz przygotowania do matury z matematyki.

Dokument przedstawia tabelę wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 0°, 30°, 45°, 60° i 90°, które są często wykorzystywane w zadaniach maturalnych.

Definition:

  • Sinus kąta α: sin α = przeciwprostokątna / przeciwprostokątna
  • Cosinus kąta α: cos α = przyległa / przeciwprostokątna
  • Tangens kąta α: tg α = przeciwprostokątna / przyległa

Highlight: Znajomość wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów charakterystycznych jest kluczowa dla efektywnego rozwiązywania zadań z trygonometrii i geometrii analitycznej.

Example: Dla kąta 30°, sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tg 30° = 1/√3.

Vocabulary: Okrąg jednostkowy - okrąg o promieniu 1 i środku w początku układu współrzędnych.

Zrozumienie koncepcji okręgu jednostkowego jest fundamentalne dla głębszego zrozumienia funkcji trygonometrycznych i ich związku z geometrią.

Quote: "Funkcje trygonometryczne są kluczowym narzędziem w analizie kątów i relacji w trójkątach, co ma szerokie zastosowanie w geometrii okręgu."

Ta strona stanowi doskonałe połączenie wiedzy o okręgach z trygonometrią, co jest często wymagane w zadaniach maturalnych i na olimpiadach matematycznych.

ING
099
Matematyka
Okrąg i koło
Koło - zbiór wszystkich punktów, których odległość od środka jest mniejsza lub
równa długości promienia.
Okr

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawowe pojęcia okręgu i koła

Strona pierwsza dokumentu wprowadza fundamentalne pojęcia związane z okręgiem i kołem, które są kluczowe dla zrozumienia geometrii płaskiej. Koło zostaje zdefiniowane jako zbiór wszystkich punktów, których odległość od środka jest mniejsza lub równa długości promienia. Z kolei okrąg definicja przedstawia go jako zbiór wszystkich punktów, których odległość od środka jest dokładnie równa długości promienia. Warto zauważyć, że okrąg stanowi brzeg koła, co pomaga zrozumieć czym się różni koło od okręgu.

Dokument przedstawia również kluczowe elementy okręgu:

  • Cięciwa: odcinek łączący dwa punkty leżące na okręgu
  • Średnica okręgu: cięciwa przechodząca przez środek okręgu
  • Promień: odcinek zaczynający się na środku i kończący na punkcie okręgu
  • Styczna: prosta mająca z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny

Vocabulary: Punkt styczności - miejsce, w którym styczna dotyka okręgu.

Strona zawiera także dwa fundamentalne wzory, które są niezbędne przy rozwiązywaniu zadań z geometrii płaskiej okręgi i koła wzory:

Definition:

  • Wzór na pole koła: P = πr²
  • Wzór na obwód koła: L = 2πr

Te wzory są kluczowe dla uczniów przygotowujących się do sprawdzianów i zadań maturalnych z geometrii płaskiej.

Example: Jeśli promień koła wynosi 5 cm, jego pole będzie równe P = π * 5² = 25π cm², a obwód L = 2π * 5 = 10π cm.

Highlight: Zrozumienie różnicy między kołem a okręgiem oraz znajomość podstawowych elementów okręgu jest fundamentem do rozwiązywania bardziej złożonych zadań geometrycznych.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS