Matematyka

Pierwiastki i miejsca zerowe wielomianów

Zero/Pierwiastek wielomianu

2,141

•

Zaktualizowano Mar 21, 2026

•

3 strony

Jak Wyznaczyć Pierwiastki Całkowite i Wymierne Wielomianu

Elwira Drzonek

@elwiradrzonek_matmaonline

Wielomian trzeciego stopnia o współczynnikach całkowitych i jego pierwiastki całkowite... Pokaż więcej

1 / 3

$# PIERWIASTICI CAŁKOWITE # WIELOMIANU ## TWIERDZENIE O PIERWIASTLACK CAŁKOWITY CH Jeżeli wielomion $W(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+....+C_1$

Page 2: Solving Polynomial Equations

This page expands on the process of finding pierwiastki całkowite i wymierne wielomianu (integer and rational roots of polynomials) through a detailed example.

The problem presented is to solve the equation x^3 - 6x^2 + 9x - 4 = 0.

Step 1: Find integer roots

List divisors of -4: ±1, ±2, ±4
Test each divisor in the polynomial

Highlight: After testing, we find that x = 1 and x = 4 are integer roots of the polynomial.

Step 2: Factor the polynomial

Since x = 1 and x = 4 are roots, the polynomial is divisible by $x-1$ and $x-4$
Perform polynomial long division to find the remaining factor

Example: $x^3 - 6x^2 + 9x - 4$ = $x^2 - 5x + 4$ $x - 1$

This factorization helps in further analysis of the polynomial and its roots, demonstrating how to wyznacz pierwiastki wielomianu systematically.

$# PIERWIASTICI CAŁKOWITE # WIELOMIANU ## TWIERDZENIE O PIERWIASTLACK CAŁKOWITY CH Jeżeli wielomion $W(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+....+C_1$

Page 3: Completing the Solution

This final page focuses on solving the remaining quadratic equation to find all roots of the polynomial.

After factoring out $x-1$ , we're left with the quadratic equation x^2 - 5x + 4 = 0.

Vocabulary: The quadratic formula is used to solve equations in the form ax^2 + bx + c = 0, where a ≠ 0.

Steps to solve the quadratic equation:

Calculate the discriminant: Δ = b^2 - 4ac = 25 - 16 = 9
Apply the quadratic formula: x = $-b ± √Δ$ / (2a)

Example: x1 = (5 + √9) / 2 = 4, x2 = (5 - √9) / 2 = 1

The solution verifies our earlier findings that x = 1 and x = 4 are the only roots of the polynomial.

Highlight: This method demonstrates how to find pierwiastki wymierne wielomianu (rational roots of polynomials) by combining factoring and the quadratic formula.

This comprehensive approach showcases the Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych (Theorem on Rational Roots) in action, providing a thorough understanding of how to wyznacz pierwiastki wielomianu in various scenarios.

$# PIERWIASTICI CAŁKOWITE # WIELOMIANU ## TWIERDZENIE O PIERWIASTLACK CAŁKOWITY CH Jeżeli wielomion $W(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+....+C_1$

Page 1: Theorem on Integer Roots of Polynomials

This page introduces the fundamental theorem for finding pierwiastki całkowite wielomianu (integer roots of polynomials).

The theorem states that if a polynomial w(x) = anx^n + an-1x^n-1 + ... + a1x + a0 (a0 ≠ 0) with integer coefficients has integer roots, they will be divisors of the constant term a0.

Definition: Integer roots of a polynomial are whole number solutions that make the polynomial equal to zero when substituted for x.

An example is provided to demonstrate the application of this theorem:

Find the integer roots of w(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 3

The process involves two main steps:

List the divisors of the constant term $-3 in this case$ : ±1, ±3
Test each divisor by evaluating the polynomial

Example: Evaluating w(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 4(1) - 3 = 2 - 3 + 4 - 3 = 0, confirming that 1 is a root.

This systematic approach efficiently narrows down potential integer roots, making it easier to wyznacz całkowite pierwiastki wielomianu.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Funkcja wymierna dziedzina i działania

2409

mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

2268

Wielomiany

4025

Więcej

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Geometria Figur Płaszczyzny

Zgłębiaj podstawowe pojęcia geometrii płaskiej, w tym rodzaje figur, miary kątów, przystawanie trójkątów oraz wzory na pola. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Obejmuje proste, kąty, trójkąty, czworokąty i wielokąty foremne.

Jak Wyznaczyć Pierwiastki Całkowite i Wymierne Wielomianu

Page 2: Solving Polynomial Equations

Page 3: Completing the Solution

Page 1: Theorem on Integer Roots of Polynomials

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Funkcja wymierna dziedzina i działania

mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

Wielomiany

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Geometria Figur Płaszczyzny

Graniastosłupy i Ostrosłupy

Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

Obliczenia Wyrażeń Algebraicznych

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Wzory Graniastosłupów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Wzory Matematyczne na Egzamin

Najpopularniejsze notatki

Przedwiośnie: Kluczowe Motywy

Przedwiośnie: Analiza Tematów

Przedwiośnie: Analiza i Interpretacja

Młoda Polska: Kluczowe Tematy

Wesele: Analiza Symboli

Analiza Dziadów III

Analiza 'Lalki' Prusa

Wesele Wyspiańskiego

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5

4.7/5

Jak Wyznaczyć Pierwiastki Całkowite i Wymierne Wielomianu

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Page 2: Solving Polynomial Equations

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Page 3: Completing the Solution

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Page 1: Theorem on Integer Roots of Polynomials

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Analiza Funkcji Wymiernej

Mnożenie i Dzielenie Ułamków

Teoria Wielomianów

Bézouta i Wielomiany

Równania z parametrem: Rozwiązania

Operacje na Pierwiastkach

Podobne notatki

Funkcja wymierna dziedzina i działania

mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

Wielomiany

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Geometria Figur Płaszczyzny

Graniastosłupy i Ostrosłupy

Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

Obliczenia Wyrażeń Algebraicznych

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Wzory Graniastosłupów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Wzory Matematyczne na Egzamin

Najpopularniejsze notatki

Przedwiośnie: Kluczowe Motywy

Przedwiośnie: Analiza Tematów

Przedwiośnie: Analiza i Interpretacja

Młoda Polska: Kluczowe Tematy

Wesele: Analiza Symboli

Analiza Dziadów III

Analiza 'Lalki' Prusa

Wesele Wyspiańskiego

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.