Otwórz aplikację

Przedmioty

Jak Wyznaczyć Pierwiastki Całkowite i Wymierne Wielomianu

Otwórz

60

1

user profile picture

Elwira Drzonek

28.04.2022

Matematyka

pierwiastki całkowite wielomianu

Jak Wyznaczyć Pierwiastki Całkowite i Wymierne Wielomianu

Wielomian trzeciego stopnia o współczynnikach całkowitych i jego pierwiastki całkowite są tematem tego materiału. Omówiono metody dzielenia wielomianów przez dwumiany oraz zastosowano twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu.

  • Przedstawiono krok po kroku proces znajdowania pierwiastków całkowitych wielomianu
  • Zaprezentowano przykłady rozwiązywania równań wielomianowych
  • Wyjaśniono, jak wykorzystać znalezione pierwiastki do rozkładu wielomianu na czynniki
...

28.04.2022

1999

PIERWIASTICI CAŁKOWITE
VITE
WIELOMIANU
TWIERDZENIE O PIERWIASTIACH
CAŁKOWITY CH
Jeżeli wielomian w(x) = a₁x^² + a₁-₁x^-^+...+C₁x + ao (ao+0)

Zobacz

Page 2: Solving Polynomial Equations

This page expands on the process of finding pierwiastki całkowite i wymierne wielomianu integerandrationalrootsofpolynomialsinteger and rational roots of polynomials through a detailed example.

The problem presented is to solve the equation x^3 - 6x^2 + 9x - 4 = 0.

Step 1: Find integer roots

  • List divisors of -4: ±1, ±2, ±4
  • Test each divisor in the polynomial

Highlight: After testing, we find that x = 1 and x = 4 are integer roots of the polynomial.

Step 2: Factor the polynomial

  • Since x = 1 and x = 4 are roots, the polynomial is divisible by x1x-1 and x4x-4
  • Perform polynomial long division to find the remaining factor

Example: x36x2+9x4x^3 - 6x^2 + 9x - 4 = x25x+4x^2 - 5x + 4x1x - 1

This factorization helps in further analysis of the polynomial and its roots, demonstrating how to wyznacz pierwiastki wielomianu systematically.

PIERWIASTICI CAŁKOWITE
VITE
WIELOMIANU
TWIERDZENIE O PIERWIASTIACH
CAŁKOWITY CH
Jeżeli wielomian w(x) = a₁x^² + a₁-₁x^-^+...+C₁x + ao (ao+0)

Zobacz

Page 3: Completing the Solution

This final page focuses on solving the remaining quadratic equation to find all roots of the polynomial.

After factoring out x1x-1, we're left with the quadratic equation x^2 - 5x + 4 = 0.

Vocabulary: The quadratic formula is used to solve equations in the form ax^2 + bx + c = 0, where a ≠ 0.

Steps to solve the quadratic equation:

  1. Calculate the discriminant: Δ = b^2 - 4ac = 25 - 16 = 9
  2. Apply the quadratic formula: x = b±Δ-b ± √Δ / 2a2a

Example: x1 = 5+95 + √9 / 2 = 4, x2 = 595 - √9 / 2 = 1

The solution verifies our earlier findings that x = 1 and x = 4 are the only roots of the polynomial.

Highlight: This method demonstrates how to find pierwiastki wymierne wielomianu rationalrootsofpolynomialsrational roots of polynomials by combining factoring and the quadratic formula.

This comprehensive approach showcases the Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych TheoremonRationalRootsTheorem on Rational Roots in action, providing a thorough understanding of how to wyznacz pierwiastki wielomianu in various scenarios.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

21 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

 

Matematyka

1999

28 kwi 2022

3 strony

Jak Wyznaczyć Pierwiastki Całkowite i Wymierne Wielomianu

Wielomian trzeciego stopnia o współczynnikach całkowitych i jego pierwiastki całkowite są tematem tego materiału. Omówiono metody dzielenia wielomianów przez dwumiany oraz zastosowano twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu.

  • Przedstawiono krok po kroku proces znajdowania pierwiastków całkowitych wielomianu
  • Zaprezentowano przykłady rozwiązywania... Pokaż więcej

PIERWIASTICI CAŁKOWITE
VITE
WIELOMIANU
TWIERDZENIE O PIERWIASTIACH
CAŁKOWITY CH
Jeżeli wielomian w(x) = a₁x^² + a₁-₁x^-^+...+C₁x + ao (ao+0)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 2: Solving Polynomial Equations

This page expands on the process of finding pierwiastki całkowite i wymierne wielomianu integerandrationalrootsofpolynomialsinteger and rational roots of polynomials through a detailed example.

The problem presented is to solve the equation x^3 - 6x^2 + 9x - 4 = 0.

Step 1: Find integer roots

  • List divisors of -4: ±1, ±2, ±4
  • Test each divisor in the polynomial

Highlight: After testing, we find that x = 1 and x = 4 are integer roots of the polynomial.

Step 2: Factor the polynomial

  • Since x = 1 and x = 4 are roots, the polynomial is divisible by x1x-1 and x4x-4
  • Perform polynomial long division to find the remaining factor

Example: x36x2+9x4x^3 - 6x^2 + 9x - 4 = x25x+4x^2 - 5x + 4x1x - 1

This factorization helps in further analysis of the polynomial and its roots, demonstrating how to wyznacz pierwiastki wielomianu systematically.

PIERWIASTICI CAŁKOWITE
VITE
WIELOMIANU
TWIERDZENIE O PIERWIASTIACH
CAŁKOWITY CH
Jeżeli wielomian w(x) = a₁x^² + a₁-₁x^-^+...+C₁x + ao (ao+0)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 3: Completing the Solution

This final page focuses on solving the remaining quadratic equation to find all roots of the polynomial.

After factoring out x1x-1, we're left with the quadratic equation x^2 - 5x + 4 = 0.

Vocabulary: The quadratic formula is used to solve equations in the form ax^2 + bx + c = 0, where a ≠ 0.

Steps to solve the quadratic equation:

  1. Calculate the discriminant: Δ = b^2 - 4ac = 25 - 16 = 9
  2. Apply the quadratic formula: x = b±Δ-b ± √Δ / 2a2a

Example: x1 = 5+95 + √9 / 2 = 4, x2 = 595 - √9 / 2 = 1

The solution verifies our earlier findings that x = 1 and x = 4 are the only roots of the polynomial.

Highlight: This method demonstrates how to find pierwiastki wymierne wielomianu rationalrootsofpolynomialsrational roots of polynomials by combining factoring and the quadratic formula.

This comprehensive approach showcases the Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych TheoremonRationalRootsTheorem on Rational Roots in action, providing a thorough understanding of how to wyznacz pierwiastki wielomianu in various scenarios.

PIERWIASTICI CAŁKOWITE
VITE
WIELOMIANU
TWIERDZENIE O PIERWIASTIACH
CAŁKOWITY CH
Jeżeli wielomian w(x) = a₁x^² + a₁-₁x^-^+...+C₁x + ao (ao+0)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 1: Theorem on Integer Roots of Polynomials

This page introduces the fundamental theorem for finding pierwiastki całkowite wielomianu integerrootsofpolynomialsinteger roots of polynomials.

The theorem states that if a polynomial wxx = anx^n + an-1x^n-1 + ... + a1x + a0 a00a0 ≠ 0 with integer coefficients has integer roots, they will be divisors of the constant term a0.

Definition: Integer roots of a polynomial are whole number solutions that make the polynomial equal to zero when substituted for x.

An example is provided to demonstrate the application of this theorem:

  1. Find the integer roots of wxx = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 3

The process involves two main steps:

  1. List the divisors of the constant term 3inthiscase-3 in this case: ±1, ±3
  2. Test each divisor by evaluating the polynomial

Example: Evaluating w11 = 211^3 - 311^2 + 411 - 3 = 2 - 3 + 4 - 3 = 0, confirming that 1 is a root.

This systematic approach efficiently narrows down potential integer roots, making it easier to wyznacz całkowite pierwiastki wielomianu.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS