Planimetria - Wzory i Twierdzenia Geometryczne

Trójkąty to podstawa geometrii płaskiej i warto dobrze poznać ich właściwości. Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku, a punkt przecięcia wszystkich środkowych dzieli każdą z nich w stosunku 2:1.

Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów to potężne narzędzia do obliczania boków i kątów. Wzór sinusowy: $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$, a cosinusowy: $a² = b² + c² - 2bc\cos\alpha$.

Do obliczania pola trójkąta masz kilka opcji: podstawowy wzór $P = \frac{1}{2}ah$, wzór Herona z półobwodem, czy wzór z sinusem $P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$. Twierdzenie Talesa pokazuje, jak proporcjonalne są odcinki na przecinających się prostych.

Wskazówka: W trójkącie równobocznym wysokość równa się sumie promieni okręgu wpisanego i opisanego: h = r + R.

Kąty w okręgu mają specjalne właściwości - kąt wpisany ma miarę dwukrotnie mniejszą od kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Długość łuku obliczasz wzorem $L = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r$, a pole wycinka $P = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r²$.