Geometria płaska: czworokąty sprawdzian 3 liceum PDF - wzory i zadania

zuzka

6.09.2025

Matematyka

Geometria płaska- czworokąty

Matematyka

Rodzaje Czworokątów

Czworokąt

2586

•

6 wrz 2025

•

2 strony

Geometria płaska: czworokąty sprawdzian 3 liceum PDF - wzory i zadania

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

zuzka

@zuzkak

Geometria płaska - czworokątyto kluczowy temat w matematyce licealnej.... Pokaż więcej

GEOMETRIA PŁASKA
CINDROKĄTY
Podział czworokątów wypukłych:
trapezoidy
oxuardngry nie mające
jednej pary
boków nowndegły on
ani
TW.
mianach z

Strona 2: Równoległoboki i warunki dla okręgów

Strona ta koncentruje się na właściwościach równoległoboków, w tym rombu, oraz na warunkach wpisywania i opisywania okręgów na czworokątach.

Definition: Równoległobok to czworokąt, w którym przeciwległe boki są równoległe i równej długości.

Dokument przedstawia kluczowe właściwości równoległoboków, takie jak równość przeciwległych boków i kątów oraz punkt przecięcia przekątnych.

Highlight: Wzory na pole równoległoboku obejmują: P = a * h (gdzie a to bok, h to wysokość) oraz P = ab * sin α (gdzie α to kąt między bokami).

Następnie omówiono warunki, przy których można opisać lub wpisać okrąg w czworokąt:

Vocabulary: Okrąg można opisać na czworokącie, gdy sumy miar przeciwległych kątów czworokąta są równe 180°.

Example: Wzór na pole rombu: P = a² * sin α (gdzie a to bok rombu, α to kąt między bokami) lub P = (d₁ * d₂) / 2 (gdzie d₁ i d₂ to długości przekątnych).

Dokument kończy się twierdzeniem o warunku wpisania okręgu w czworokąt wypukły.

Quote: "Okrąg można wpisać w czworokąt wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków tego czworokąta wypukłego są równe."

Strona 1: Klasyfikacja czworokątów i właściwości trapezów

Strona ta rozpoczyna się od ogólnej klasyfikacji czworokątów wypukłych, dzieląc je na trapezoidy i trapezy. Następnie skupia się na właściwościach deltoidu i trapezów.

Definicja: Czworokąty wypukłe dzielą się na trapezoidy (nie mające żadnej pary boków równoległych) oraz trapezy (mające co najmniej jedną parę boków równoległych).

Dokument przedstawia szczegółowe właściwości deltoidu, w tym prostopadłość przekątnych i symetrię.

Highlight: Suma kątów dowolnego czworokąta wynosi 360°.

W sekcji poświęconej trapezom, przedstawiono kilka ważnych twierdzeń:

Vocabulary: Własności trapezu równoramiennego obejmują równość długości przekątnych i możliwość wpisania w okrąg.

Example: Wzór na pole trapezu: P = 1/2 (a+b) * h, gdzie a i b to długości podstaw, a h to wysokość trapezu.

Dokument zawiera również informacje o środkowej trapezu i jej właściwościach.

Quote: "W dowolnym trapezie suma kątów przy każdym ramieniu jest równa 180°."

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Pola Czworokątów

2904

Planimetria

8136

139

Wzory matematyka

7825

205

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Matematyka

Rodzaje Czworokątów

Czworokąt

Matematyka

•

2586

•

6 wrz 2025

•

2 strony

Geometria płaska: czworokąty sprawdzian 3 liceum PDF - wzory i zadania

zuzka

@zuzkak

Geometria płaska - czworokąty to kluczowy temat w matematyce licealnej. Dokument przedstawia szczegółową klasyfikację i właściwości różnych typów czworokątów, koncentrując się na trapezach, równoległobokach i rombach. Omawia również warunki wpisywania i opisywania okręgów na czworokątach.

Czworokąty dzielą się na trapezoidy... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Strona 2: Równoległoboki i warunki dla okręgów

Strona ta koncentruje się na właściwościach równoległoboków, w tym rombu, oraz na warunkach wpisywania i opisywania okręgów na czworokątach.

Definition: Równoległobok to czworokąt, w którym przeciwległe boki są równoległe i równej długości.

Dokument przedstawia kluczowe właściwości równoległoboków, takie jak równość przeciwległych boków i kątów oraz punkt przecięcia przekątnych.

Highlight: Wzory na pole równoległoboku obejmują: P = a * h (gdzie a to bok, h to wysokość) oraz P = ab * sin α (gdzie α to kąt między bokami).

Następnie omówiono warunki, przy których można opisać lub wpisać okrąg w czworokąt:

Vocabulary: Okrąg można opisać na czworokącie, gdy sumy miar przeciwległych kątów czworokąta są równe 180°.

Example: Wzór na pole rombu: P = a² * sin α (gdzie a to bok rombu, α to kąt między bokami) lub P = (d₁ * d₂) / 2 (gdzie d₁ i d₂ to długości przekątnych).

Dokument kończy się twierdzeniem o warunku wpisania okręgu w czworokąt wypukły.

Quote: "Okrąg można wpisać w czworokąt wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków tego czworokąta wypukłego są równe."

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Strona 1: Klasyfikacja czworokątów i właściwości trapezów

Strona ta rozpoczyna się od ogólnej klasyfikacji czworokątów wypukłych, dzieląc je na trapezoidy i trapezy. Następnie skupia się na właściwościach deltoidu i trapezów.

Definicja: Czworokąty wypukłe dzielą się na trapezoidy (nie mające żadnej pary boków równoległych) oraz trapezy (mające co najmniej jedną parę boków równoległych).

Dokument przedstawia szczegółowe właściwości deltoidu, w tym prostopadłość przekątnych i symetrię.

Highlight: Suma kątów dowolnego czworokąta wynosi 360°.

W sekcji poświęconej trapezom, przedstawiono kilka ważnych twierdzeń:

Vocabulary: Własności trapezu równoramiennego obejmują równość długości przekątnych i możliwość wpisania w okrąg.

Example: Wzór na pole trapezu: P = 1/2 (a+b) * h, gdzie a i b to długości podstaw, a h to wysokość trapezu.

Dokument zawiera również informacje o środkowej trapezu i jej właściwościach.

Quote: "W dowolnym trapezie suma kątów przy każdym ramieniu jest równa 180°."

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Pola Czworokątów

2904

Planimetria

8136

139

Wzory matematyka

7825

205

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS