Przedmioty
Język polski
Biologia
Chemia
Historia
Geografia
Aparat ruchu
Układ wydalniczy
Komórka
Bakterie i wirusy. organizmy beztkankowe
Genetyka klasyczna
Badania przyrodnicze
Ekologia
Organizm człowieka jako funkcjonalna całość
Metabolizm
Genetyka molekularna
Układ pokarmowy
Proste zwierzęta bezkręgowe
Genetyka
Rozmnażanie i rozwój człowieka
Chemiczne podstawy życia
Pokaż wszystkie tematy
Systematyka związków nieorganicznych
Węglowodory
Układ okresowy pierwiastków chemicznych
Świat substancji
Pochodne węglowodorów
Efekty energetyczne i szybkość reakcji chemicznych
Reakcje chemiczne w roztworach wodnych
Stechiometria
Gazy i ich mieszaniny
Budowa atomu a układ okresowy pierwiastków chemicznych
Kwasy
Sole
Wodorotlenki a zasady
Roztwory
Reakcje utleniania-redukcji. elektrochemia
Pokaż wszystkie tematy
82
0
Julia
2.12.2025
Matematyka
Równania i nierówności
8162
•
2 gru 2025
•
Równania i nierówności to podstawowe narzędzia matematyczne, które pozwalają rozwiązywać... Pokaż więcej
Równania liniowe to najproste równania matematyczne, jak 2x = 6 czy x + 5 = 8. Rozwiązujesz je przenosząc wszystkie liczby na jedną stronę, a niewiadomą na drugą.
Możesz natknąć się na trzy rodzaje równań liniowych. Równania oznaczone mają jedno konkretne rozwiązanie . Równania tożsamościowe są zawsze prawdziwe i mają nieskończenie wiele rozwiązań. Równania sprzeczne nie mają żadnego rozwiązania, bo prowadzą do nonsensów typu 4 = 5.
💡 Wskazówka: Gdy mnożysz lub dzielisz przez liczbę ujemną w nierównościach, pamiętaj o zmianie znaku!
Równania kwadratowe zawierają x², jak 2x² - 3x + 6 = 0. Najczęściej mają dwa rozwiązania, które znajdziesz używając delty (Δ).
Procedura jest prosta: doprowadź równanie do postaci ax² + bx + c = 0, odczytaj współczynniki a, b, c, oblicz deltę ze wzoru Δ = b² - 4ac. Następnie użyj wzorów na x₁ i x₂. Pamiętaj - gdy Δ > 0, masz 2 rozwiązania, gdy Δ = 0 - jedno rozwiązanie, a gdy Δ < 0 - brak rozwiązań.
Nierówności liniowe rozwiązujesz podobnie jak równania, ale wynikiem jest przedział, nie konkretna liczba. Przykład: -2x + 5 > 3 prowadzi do x < 1, czyli x ∈ (-∞; 1).
Nierówności kwadratowe wymagają narysowania paraboli. Gdy a > 0, ramiona idą w górę, gdy a < 0 - w dół. Rozwiązania to przedziały nad lub pod osią x, w zależności od znaku nierówności.
Równania wymierne mają x w mianowniku, jak x+1/x+3 = 3. Kluczowe jest zapisanie założeń - musisz wykluczyć wartości, które zerują mianownik.
Rozwiązujesz je mnożąc obie strony przez wyrażenie z mianownika. Pamiętaj, że rozwiązanie musi spełniać założenia - jeśli nie, to znaczy, że równanie nie ma rozwiązania.
💡 Ważne: Zawsze sprawdź, czy otrzymane rozwiązanie nie przeczy założeniom!
Równania trzeciego lub wyższego stopnia zawierają x³, x⁴ itd. Rozwiązujesz je przez spierwiastkowanie obie strony równania.
Tutaj musisz pamiętać o ważnej zasadzie: przy nieparzystej potędze (x³, x⁵) masz jedno rozwiązanie, przy parzystej potędze (x², x⁴) - dwa rozwiązania (dodatnie i ujemne). Na przykład x⁴ = 16 daje x = 2 lub x = -2.
Czasami musisz rozkładać wyrażenia na czynniki, co pozwala znaleźć wszystkie rozwiązania. To wymaga trochę więcej pracy, ale zasada pozostaje ta sama.
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Równania i nierówności to podstawowe narzędzia matematyczne, które pozwalają rozwiązywać problemy z niewiadomymi. Dowiesz się, jak krok po kroku rozwiązywać różne typy równań - od prostych liniowych po bardziej skomplikowane kwadratowe i wymierne.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Równania liniowe to najproste równania matematyczne, jak 2x = 6 czy x + 5 = 8. Rozwiązujesz je przenosząc wszystkie liczby na jedną stronę, a niewiadomą na drugą.
Możesz natknąć się na trzy rodzaje równań liniowych. Równania oznaczone mają jedno konkretne rozwiązanie . Równania tożsamościowe są zawsze prawdziwe i mają nieskończenie wiele rozwiązań. Równania sprzeczne nie mają żadnego rozwiązania, bo prowadzą do nonsensów typu 4 = 5.
💡 Wskazówka: Gdy mnożysz lub dzielisz przez liczbę ujemną w nierównościach, pamiętaj o zmianie znaku!
Równania kwadratowe zawierają x², jak 2x² - 3x + 6 = 0. Najczęściej mają dwa rozwiązania, które znajdziesz używając delty (Δ).
Procedura jest prosta: doprowadź równanie do postaci ax² + bx + c = 0, odczytaj współczynniki a, b, c, oblicz deltę ze wzoru Δ = b² - 4ac. Następnie użyj wzorów na x₁ i x₂. Pamiętaj - gdy Δ > 0, masz 2 rozwiązania, gdy Δ = 0 - jedno rozwiązanie, a gdy Δ < 0 - brak rozwiązań.
Nierówności liniowe rozwiązujesz podobnie jak równania, ale wynikiem jest przedział, nie konkretna liczba. Przykład: -2x + 5 > 3 prowadzi do x < 1, czyli x ∈ (-∞; 1).
Nierówności kwadratowe wymagają narysowania paraboli. Gdy a > 0, ramiona idą w górę, gdy a < 0 - w dół. Rozwiązania to przedziały nad lub pod osią x, w zależności od znaku nierówności.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Równania wymierne mają x w mianowniku, jak x+1/x+3 = 3. Kluczowe jest zapisanie założeń - musisz wykluczyć wartości, które zerują mianownik.
Rozwiązujesz je mnożąc obie strony przez wyrażenie z mianownika. Pamiętaj, że rozwiązanie musi spełniać założenia - jeśli nie, to znaczy, że równanie nie ma rozwiązania.
💡 Ważne: Zawsze sprawdź, czy otrzymane rozwiązanie nie przeczy założeniom!
Równania trzeciego lub wyższego stopnia zawierają x³, x⁴ itd. Rozwiązujesz je przez spierwiastkowanie obie strony równania.
Tutaj musisz pamiętać o ważnej zasadzie: przy nieparzystej potędze (x³, x⁵) masz jedno rozwiązanie, przy parzystej potędze (x², x⁴) - dwa rozwiązania (dodatnie i ujemne). Na przykład x⁴ = 16 daje x = 2 lub x = -2.
Czasami musisz rozkładać wyrażenia na czynniki, co pozwala znaleźć wszystkie rozwiązania. To wymaga trochę więcej pracy, ale zasada pozostaje ta sama.
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
82
Inteligentne Narzędzia NOWE
Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju
Zrozumienie równań liniowych z jedną niewiadomą, ich rodzaje oraz metody rozwiązywania. Dowiedz się, jak przekształcać równania i znajdować rozwiązania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
MatematykaZrozumienie układów równań liniowych: definicje, rodzaje (oznaczone, nieoznaczone, sprzeczne) oraz metody rozwiązywania (podstawianie, przeciwnych współczynników). Przykłady ilustrujące każdy krok. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
MatematykaPraktyczne metody rozwiązywania układów równań, w tym podstawianie, przeciwnych współczynników oraz metoda graficzna. Zawiera przykłady i szczegółowe rozwiązania dla różnych typów równań. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
MatematykaZrozumienie równań kwadratowych i nierówności. Dowiedz się, jak obliczać deltę, miejsca zerowe oraz różne formy równań. Przykłady rozwiązań i analiza nierówności kwadratowych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
MatematykaPrzewodnik po metodach rozwiązywania równań wymiernych z przykładami. Dowiedz się, jak sprowadzać równania do wspólnego mianownika oraz stosować odpowiednie działania algebraiczne. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
MatematykaPrzewodnik po metodach rozwiązywania układów równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. Zawiera szczegółowe omówienie metody graficznej, podstawiania oraz przeciwnych współczynników. Dowiedz się, jak interpretować wykresy i identyfikować rodzaje układów: oznaczone, nieoznaczone i sprzeczne. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
MatematykaApp Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
