Otwórz aplikację

Przedmioty

Funkcje Trygonometryczne: Ćwiartki, Wzory Redukcyjne i Tablice dla Dzieci

Otwórz

15

1

user profile picture

Kacper Górny

24.06.2022

Matematyka

Trygonometria

Funkcje Trygonometryczne: Ćwiartki, Wzory Redukcyjne i Tablice dla Dzieci

Kompleksowy przewodnik po funkcjach trygonometrycznych, obejmujący ich definicje, właściwości i zastosowania.

  • Omówienie znaczenia funkcji trygonometrycznych w układzie współrzędnych
  • Przedstawienie wzorów redukcyjnych dla funkcji trygonometrycznych
  • Analiza okresowości i parzystości funkcji trygonometrycznych
  • Wyjaśnienie miary łukowej kąta i konwersji między stopniami a radianami
  • Tabela wartości funkcji trygonometrycznych dla kluczowych kątów
...

24.06.2022

1020

FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
sind
cos=
=
sin
Cos
a
PRZEDZIAŁY ĆWIARTEK
6
с
=
11
I
&
€ (90°, 180°) & € (0°, 90°)
LE
x <0,y>ox>0, y>0
X
r
y
r
tga

Zobacz

Reduction Formulas and Function Signs

This page focuses on wzory redukcyjne reductionformulasreduction formulas and the signs of trigonometric functions in different quadrants. Reduction formulas are essential tools for simplifying trigonometric expressions and solving equations.

The page presents a comprehensive table of reduction formulas for sine, cosine, tangent, and cotangent functions. These formulas show how to express trigonometric functions of angles greater than 90° in terms of functions of acute angles.

Vocabulary: Reduction formulas are trigonometric identities that relate the trigonometric functions of an angle to those of a smaller angle.

A detailed chart illustrates the signs of trigonometric functions in each quadrant, reinforcing the information from the previous page. This visual aid is particularly useful for quickly determining the sign of a function for any given angle.

Highlight: The reduction formulas and sign chart are crucial for solving problems involving funkcje trygonometryczne kąta rozwartego trigonometricfunctionsofobtuseanglestrigonometric functions of obtuse angles.

FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
sind
cos=
=
sin
Cos
a
PRZEDZIAŁY ĆWIARTEK
6
с
=
11
I
&
€ (90°, 180°) & € (0°, 90°)
LE
x <0,y>ox>0, y>0
X
r
y
r
tga

Zobacz

Periodicity and Parity of Trigonometric Functions

This page delves into two important properties of trigonometric functions: periodicity and parity. These properties are fundamental in understanding the behavior of trigonometric functions and are crucial for solving more complex trigonometric equations.

The concept of periodicity is introduced, defining a periodic function and providing the period for each of the main trigonometric functions.

Definition: A function fxx is periodic with period T if fx+Tx + T = fxx for all x in the domain of f.

The periods for sine, cosine, tangent, and cotangent functions are given:

  • Sine and cosine have a period of 2π
  • Tangent and cotangent have a period of π

The parity of trigonometric functions is also explained, distinguishing between even and odd functions.

Vocabulary: An even function is symmetric about the y-axis, while an odd function is symmetric about the origin.

The page provides the parity for each trigonometric function:

  • Cosine is an even function: cosx-x = cosxx
  • Sine, tangent, and cotangent are odd functions: sinx-x = -sinxx, tanx-x = -tanxx, cotx-x = -cotxx

These properties are essential for understanding tożsamości trygonometryczne trigonometricidentitiestrigonometric identities and solving more advanced trigonometric problems.

FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
sind
cos=
=
sin
Cos
a
PRZEDZIAŁY ĆWIARTEK
6
с
=
11
I
&
€ (90°, 180°) & € (0°, 90°)
LE
x <0,y>ox>0, y>0
X
r
y
r
tga

Zobacz

Angle Measurement and Trigonometric Values

This final page covers two crucial aspects of trigonometry: angle measurement and common trigonometric values. It introduces the concept of radian measure and provides conversion formulas between degrees and radians.

Definition: The radian is the standard unit of angular measure in many areas of mathematics. One radian is the angle subtended at the center of a circle by an arc equal in length to the radius.

The page presents formulas for converting between degrees and radians:

  • Degrees to radians: α radrad = α°πα° · π / 180°
  • Radians to degrees: α° = α[rad]180°α [rad] · 180° / π

Highlight: Understanding miara łukowa kąta radianmeasureradian measure is crucial for advanced mathematics and physics applications.

The page concludes with a table of wartości trygonometryczne trigonometricvaluestrigonometric values for common angles 0°,30°,45°,60°,90°0°, 30°, 45°, 60°, 90°. This tabela wartości funkcji trygonometrycznych tableoftrigonometricfunctionvaluestable of trigonometric function values is an essential reference for solving trigonometric problems without a calculator.

Example: At 45°, sin45°45° = cos45°45° = √2/2, and tan45°45° = 1

This information is crucial for obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych calculatingtrigonometricfunctionvaluescalculating trigonometric function values and solving various trigonometric problems.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

21 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

 

Matematyka

1020

24 cze 2022

4 strony

Funkcje Trygonometryczne: Ćwiartki, Wzory Redukcyjne i Tablice dla Dzieci

user profile picture

Kacper Górny

@kacpergrny_fil3

Kompleksowy przewodnik po funkcjach trygonometrycznych, obejmujący ich definicje, właściwości i zastosowania.

  • Omówienie znaczenia funkcji trygonometrycznych w układzie współrzędnych
  • Przedstawienie wzorów redukcyjnych dla funkcji trygonometrycznych
  • Analiza okresowości i parzystości funkcji trygonometrycznych
  • Wyjaśnienie miary łukowej kąta i konwersji między stopniami a radianami... Pokaż więcej

FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
sind
cos=
=
sin
Cos
a
PRZEDZIAŁY ĆWIARTEK
6
с
=
11
I
&
€ (90°, 180°) & € (0°, 90°)
LE
x <0,y>ox>0, y>0
X
r
y
r
tga

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Reduction Formulas and Function Signs

This page focuses on wzory redukcyjne reductionformulasreduction formulas and the signs of trigonometric functions in different quadrants. Reduction formulas are essential tools for simplifying trigonometric expressions and solving equations.

The page presents a comprehensive table of reduction formulas for sine, cosine, tangent, and cotangent functions. These formulas show how to express trigonometric functions of angles greater than 90° in terms of functions of acute angles.

Vocabulary: Reduction formulas are trigonometric identities that relate the trigonometric functions of an angle to those of a smaller angle.

A detailed chart illustrates the signs of trigonometric functions in each quadrant, reinforcing the information from the previous page. This visual aid is particularly useful for quickly determining the sign of a function for any given angle.

Highlight: The reduction formulas and sign chart are crucial for solving problems involving funkcje trygonometryczne kąta rozwartego trigonometricfunctionsofobtuseanglestrigonometric functions of obtuse angles.

FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
sind
cos=
=
sin
Cos
a
PRZEDZIAŁY ĆWIARTEK
6
с
=
11
I
&
€ (90°, 180°) & € (0°, 90°)
LE
x <0,y>ox>0, y>0
X
r
y
r
tga

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Periodicity and Parity of Trigonometric Functions

This page delves into two important properties of trigonometric functions: periodicity and parity. These properties are fundamental in understanding the behavior of trigonometric functions and are crucial for solving more complex trigonometric equations.

The concept of periodicity is introduced, defining a periodic function and providing the period for each of the main trigonometric functions.

Definition: A function fxx is periodic with period T if fx+Tx + T = fxx for all x in the domain of f.

The periods for sine, cosine, tangent, and cotangent functions are given:

  • Sine and cosine have a period of 2π
  • Tangent and cotangent have a period of π

The parity of trigonometric functions is also explained, distinguishing between even and odd functions.

Vocabulary: An even function is symmetric about the y-axis, while an odd function is symmetric about the origin.

The page provides the parity for each trigonometric function:

  • Cosine is an even function: cosx-x = cosxx
  • Sine, tangent, and cotangent are odd functions: sinx-x = -sinxx, tanx-x = -tanxx, cotx-x = -cotxx

These properties are essential for understanding tożsamości trygonometryczne trigonometricidentitiestrigonometric identities and solving more advanced trigonometric problems.

FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
sind
cos=
=
sin
Cos
a
PRZEDZIAŁY ĆWIARTEK
6
с
=
11
I
&
€ (90°, 180°) & € (0°, 90°)
LE
x <0,y>ox>0, y>0
X
r
y
r
tga

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Angle Measurement and Trigonometric Values

This final page covers two crucial aspects of trigonometry: angle measurement and common trigonometric values. It introduces the concept of radian measure and provides conversion formulas between degrees and radians.

Definition: The radian is the standard unit of angular measure in many areas of mathematics. One radian is the angle subtended at the center of a circle by an arc equal in length to the radius.

The page presents formulas for converting between degrees and radians:

  • Degrees to radians: α radrad = α°πα° · π / 180°
  • Radians to degrees: α° = α[rad]180°α [rad] · 180° / π

Highlight: Understanding miara łukowa kąta radianmeasureradian measure is crucial for advanced mathematics and physics applications.

The page concludes with a table of wartości trygonometryczne trigonometricvaluestrigonometric values for common angles 0°,30°,45°,60°,90°0°, 30°, 45°, 60°, 90°. This tabela wartości funkcji trygonometrycznych tableoftrigonometricfunctionvaluestable of trigonometric function values is an essential reference for solving trigonometric problems without a calculator.

Example: At 45°, sin45°45° = cos45°45° = √2/2, and tan45°45° = 1

This information is crucial for obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych calculatingtrigonometricfunctionvaluescalculating trigonometric function values and solving various trigonometric problems.

FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
sind
cos=
=
sin
Cos
a
PRZEDZIAŁY ĆWIARTEK
6
с
=
11
I
&
€ (90°, 180°) & € (0°, 90°)
LE
x <0,y>ox>0, y>0
X
r
y
r
tga

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Trigonometric Functions and Quadrants

This page introduces the fundamental funkcje trygonometryczne trigonometricfunctionstrigonometric functions and their behavior in different quadrants of the coordinate system. The sine, cosine, tangent, and cotangent functions are defined in relation to the unit circle.

Definition: The unit circle is a circle with a radius of 1 centered at the origin of a coordinate system.

The page also presents the quadrant divisions and the signs of trigonometric functions in each quadrant.

Highlight: In the first quadrant, all trigonometric functions are positive. In the second quadrant, only sine is positive. In the third quadrant, tangent and cotangent are positive. In the fourth quadrant, only cosine is positive.

Important trigonometric identities are also provided, including the Pythagorean identity sin2α+cos2α=1sin²α + cos²α = 1 and relationships between tangent, cotangent, sine, and cosine.

Example: The tangent function can be expressed as the ratio of sine to cosine: tan α = sin α / cos α

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS