Ułamki algebraiczne i równania wymierne

Ułamek algebraiczny to wyrażenie matematyczne, w którym licznik i mianownik są wielomianami. Jest to fundamentalne pojęcie w algebrze, często spotykane w zadaniach z ułamków algebraicznych dla klasy 3 liceum.

Definicja: Ułamek algebraiczny jednej zmiennej rzeczywistej x to wyrażenie postaci W(x)/P(x), gdzie W(x) jest licznikiem, a P(x) mianownikiem, przy czym P(x) ≠ 0.

Równanie wymierne to równanie, które można przekształcić do postaci W(x)/P(x) = 0, gdzie W(x) i P(x) są wielomianami, a P(x) ≠ 0. Rozwiązywanie takich równań wymaga specjalnych technik, które są często przedmiotem zadań z równań wymiernych.

Highlight: Przy rozwiązywaniu równań wymiernych kluczowe jest pamiętanie o dziedzinie funkcji, co jest często podkreślane w materiałach matemaks dotyczących równań wymiernych.

Nierówność wymierna to nierówność, którą można przekształcić do jednej z czterech postaci: W(x)/P(x) < 0, W(x)/P(x) ≤ 0, W(x)/P(x) > 0, W(x)/P(x) ≥ 0, gdzie W(x) i P(x) są wielomianami, a P(x) ≠ 0.

Example: Przykładem nierówności wymiernej może być: (x^2 - 1)/(x + 2) > 0. Rozwiązanie takiej nierówności wymaga analizy znaków licznika i mianownika.

Ważnym twierdzeniem przy rozwiązywaniu nierówności wymiernych jest zasada znaku ilorazu: dla a, b ∈ R i b ≠ 0, a/b > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ab > 0.

Vocabulary: Dziedzina ułamka algebraicznego to zbiór wszystkich wartości zmiennej, dla których mianownik nie przyjmuje wartości zero.