Przedmioty
Kariera
Język polski
Biologia
Chemia
Geografia
Historia
Stechiometria
Systematyka związków nieorganicznych
Węglowodory
Reakcje chemiczne w roztworach wodnych
Układ okresowy pierwiastków chemicznych
Pochodne węglowodorów
Budowa atomu a układ okresowy pierwiastków chemicznych
Świat substancji
Gazy i ich mieszaniny
Efekty energetyczne i szybkość reakcji chemicznych
Kwasy
Sole
Roztwory
Reakcje utleniania-redukcji. elektrochemia
Łączenie się atomów
Pokaż wszystkie tematy
12
0
zuzka
8.09.2022
Matematyka
Ułamki algebraiczne
822
•
8 wrz 2022
•
zuzka
@zuzkak
Ułamki algebraiczne i funkcje wymierneto kluczowe zagadnienia w matematyce... Pokaż więcej
Funkcja homograficzna to szczególny rodzaj funkcji wymiernej o wzorze y = (Ax + B)/(Cx + D), gdzie C ≠ 0 i AD - CB ≠ 0. Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola, co czyni ją ważnym tematem w zadaniach z funkcji homograficznej.
Definition: Funkcja wymierna to funkcja postaci F(x) = W(x)/Q(x), gdzie W(x) i Q(x) są wielomianami, a Q(x) ≠ 0. Dziedziną takiej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych bez pierwiastków mianownika.
Wykres funkcji homograficznej przecina:
Example: Dla funkcji y = 1/(x-2) + 3, asymptotami hiperboli są proste x = 2 (pionowa) i y = 3 (pozioma).
Przesuwanie hiperboli na płaszczyźnie można osiągnąć poprzez modyfikację wzoru funkcji:
Highlight: Zrozumienie transformacji funkcji homograficznych jest kluczowe dla rozwiązywania zaawansowanych zadań maturalnych z ułamków algebraicznych.
Warto zauważyć, że funkcje wymierne i homograficzne mają szerokie zastosowanie w fizyce i inżynierii, co podkreśla ich znaczenie w programie nauczania matematyki w liceum.
Ułamek algebraiczny to wyrażenie matematyczne, w którym licznik i mianownik są wielomianami. Jest to fundamentalne pojęcie w algebrze, często spotykane w zadaniach z ułamków algebraicznych dla klasy 3 liceum.
Definicja: Ułamek algebraiczny jednej zmiennej rzeczywistej x to wyrażenie postaci W(x)/P(x), gdzie W(x) jest licznikiem, a P(x) mianownikiem, przy czym P(x) ≠ 0.
Równanie wymierne to równanie, które można przekształcić do postaci W(x)/P(x) = 0, gdzie W(x) i P(x) są wielomianami, a P(x) ≠ 0. Rozwiązywanie takich równań wymaga specjalnych technik, które są często przedmiotem zadań z równań wymiernych.
Highlight: Przy rozwiązywaniu równań wymiernych kluczowe jest pamiętanie o dziedzinie funkcji, co jest często podkreślane w materiałach matemaks dotyczących równań wymiernych.
Nierówność wymierna to nierówność, którą można przekształcić do jednej z czterech postaci: W(x)/P(x) < 0, W(x)/P(x) ≤ 0, W(x)/P(x) > 0, W(x)/P(x) ≥ 0, gdzie W(x) i P(x) są wielomianami, a P(x) ≠ 0.
Example: Przykładem nierówności wymiernej może być: (x^2 - 1)/(x + 2) > 0. Rozwiązanie takiej nierówności wymaga analizy znaków licznika i mianownika.
Ważnym twierdzeniem przy rozwiązywaniu nierówności wymiernych jest zasada znaku ilorazu: dla a, b ∈ R i b ≠ 0, a/b > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ab > 0.
Vocabulary: Dziedzina ułamka algebraicznego to zbiór wszystkich wartości zmiennej, dla których mianownik nie przyjmuje wartości zero.
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
zuzka
@zuzkak
Ułamki algebraiczne i funkcje wymierneto kluczowe zagadnienia w matematyce na poziomie liceum. Obejmują one definicje, właściwości oraz zastosowania ułamków algebraicznych, równań i nierówności wymiernych, a także funkcji homograficznych. Te koncepcje są istotne dla zrozumienia bardziej zaawansowanych tematów matematycznych i... Pokaż więcej
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Funkcja homograficzna to szczególny rodzaj funkcji wymiernej o wzorze y = (Ax + B)/(Cx + D), gdzie C ≠ 0 i AD - CB ≠ 0. Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola, co czyni ją ważnym tematem w zadaniach z funkcji homograficznej.
Definition: Funkcja wymierna to funkcja postaci F(x) = W(x)/Q(x), gdzie W(x) i Q(x) są wielomianami, a Q(x) ≠ 0. Dziedziną takiej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych bez pierwiastków mianownika.
Wykres funkcji homograficznej przecina:
Example: Dla funkcji y = 1/(x-2) + 3, asymptotami hiperboli są proste x = 2 (pionowa) i y = 3 (pozioma).
Przesuwanie hiperboli na płaszczyźnie można osiągnąć poprzez modyfikację wzoru funkcji:
Highlight: Zrozumienie transformacji funkcji homograficznych jest kluczowe dla rozwiązywania zaawansowanych zadań maturalnych z ułamków algebraicznych.
Warto zauważyć, że funkcje wymierne i homograficzne mają szerokie zastosowanie w fizyce i inżynierii, co podkreśla ich znaczenie w programie nauczania matematyki w liceum.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Ułamek algebraiczny to wyrażenie matematyczne, w którym licznik i mianownik są wielomianami. Jest to fundamentalne pojęcie w algebrze, często spotykane w zadaniach z ułamków algebraicznych dla klasy 3 liceum.
Definicja: Ułamek algebraiczny jednej zmiennej rzeczywistej x to wyrażenie postaci W(x)/P(x), gdzie W(x) jest licznikiem, a P(x) mianownikiem, przy czym P(x) ≠ 0.
Równanie wymierne to równanie, które można przekształcić do postaci W(x)/P(x) = 0, gdzie W(x) i P(x) są wielomianami, a P(x) ≠ 0. Rozwiązywanie takich równań wymaga specjalnych technik, które są często przedmiotem zadań z równań wymiernych.
Highlight: Przy rozwiązywaniu równań wymiernych kluczowe jest pamiętanie o dziedzinie funkcji, co jest często podkreślane w materiałach matemaks dotyczących równań wymiernych.
Nierówność wymierna to nierówność, którą można przekształcić do jednej z czterech postaci: W(x)/P(x) < 0, W(x)/P(x) ≤ 0, W(x)/P(x) > 0, W(x)/P(x) ≥ 0, gdzie W(x) i P(x) są wielomianami, a P(x) ≠ 0.
Example: Przykładem nierówności wymiernej może być: (x^2 - 1)/(x + 2) > 0. Rozwiązanie takiej nierówności wymaga analizy znaków licznika i mianownika.
Ważnym twierdzeniem przy rozwiązywaniu nierówności wymiernych jest zasada znaku ilorazu: dla a, b ∈ R i b ≠ 0, a/b > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ab > 0.
Vocabulary: Dziedzina ułamka algebraicznego to zbiór wszystkich wartości zmiennej, dla których mianownik nie przyjmuje wartości zero.
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
