Zabawy z ułamkami algebraicznymi i hiperbolą: Klasa 3 liceum

zuzka

13.07.2025

Matematyka

Ułamki algebraiczne

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Funkcja f(x) = a/x

Korzystanie ze wzoru do interpretacji zagadnień

820

•

13 lip 2025

•

2 strony

Zabawy z ułamkami algebraicznymi i hiperbolą: Klasa 3 liceum

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

zuzka

@zuzkak

Ułamki algebraiczne i funkcje wymierneto kluczowe zagadnienia w matematyce... Pokaż więcej

UŁAMKI ALGEBRAICZNE
FUNKCJE, RONNANIA I NIERONNOŚCI WYMIERNE
Ułamkiem algebraicznym jednej zmiennej meckywistej x nożywamy wyrażenie
W(x)
li

Funkcje wymierne i homograficzne

Funkcja homograficzna to szczególny rodzaj funkcji wymiernej o wzorze y = $Ax + B$ / $Cx + D$ , gdzie C ≠ 0 i AD - CB ≠ 0. Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola, co czyni ją ważnym tematem w zadaniach z funkcji homograficznej.

Definition: Funkcja wymierna to funkcja postaci F $x$ = W $x$ /Q $x$ , gdzie W $x$ i Q $x$ są wielomianami, a Q $x$ ≠ 0. Dziedziną takiej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych bez pierwiastków mianownika.

Wykres funkcji homograficznej przecina:

Oś OX w punkcie $-D/C, 0$ , jeśli A ≠ 0
Oś OY w punkcie $0, B/D$ , jeśli D ≠ 0

Example: Dla funkcji y = 1/ $x-2$ + 3, asymptotami hiperboli są proste x = 2 $pionowa$ i y = 3 $pozioma$ .

Przesuwanie hiperboli na płaszczyźnie można osiągnąć poprzez modyfikację wzoru funkcji:

y = f $x-p$ + q przesuwa wykres o p jednostek w prawo i q jednostek w górę
y = |f $x$ | odbija część wykresu poniżej osi OX do góry
y = f $|x|$ odbija część wykresu na lewo od osi OY na prawo

Highlight: Zrozumienie transformacji funkcji homograficznych jest kluczowe dla rozwiązywania zaawansowanych zadań maturalnych z ułamków algebraicznych.

Warto zauważyć, że funkcje wymierne i homograficzne mają szerokie zastosowanie w fizyce i inżynierii, co podkreśla ich znaczenie w programie nauczania matematyki w liceum.

Ułamki algebraiczne i równania wymierne

Ułamek algebraiczny to wyrażenie matematyczne, w którym licznik i mianownik są wielomianami. Jest to fundamentalne pojęcie w algebrze, często spotykane w zadaniach z ułamków algebraicznych dla klasy 3 liceum.

Definicja: Ułamek algebraiczny jednej zmiennej rzeczywistej x to wyrażenie postaci W $x$ /P $x$ , gdzie W $x$ jest licznikiem, a P $x$ mianownikiem, przy czym P $x$ ≠ 0.

Równanie wymierne to równanie, które można przekształcić do postaci W $x$ /P $x$ = 0, gdzie W $x$ i P $x$ są wielomianami, a P $x$ ≠ 0. Rozwiązywanie takich równań wymaga specjalnych technik, które są często przedmiotem zadań z równań wymiernych.

Highlight: Przy rozwiązywaniu równań wymiernych kluczowe jest pamiętanie o dziedzinie funkcji, co jest często podkreślane w materiałach matemaks dotyczących równań wymiernych.

Nierówność wymierna to nierówność, którą można przekształcić do jednej z czterech postaci: W $x$ /P $x$ < 0, W $x$ /P $x$ ≤ 0, W $x$ /P $x$ > 0, W $x$ /P $x$ ≥ 0, gdzie W $x$ i P $x$ są wielomianami, a P $x$ ≠ 0.

Example: Przykładem nierówności wymiernej może być: $x^2 - 1$ / $x + 2$ > 0. Rozwiązanie takiej nierówności wymaga analizy znaków licznika i mianownika.

Ważnym twierdzeniem przy rozwiązywaniu nierówności wymiernych jest zasada znaku ilorazu: dla a, b ∈ R i b ≠ 0, a/b > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ab > 0.

Vocabulary: Dziedzina ułamka algebraicznego to zbiór wszystkich wartości zmiennej, dla których mianownik nie przyjmuje wartości zero.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

funkcja wymierna

1201

Podstawowe własności wybranych funkcji

1944

pochodna funkcji

672

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Funkcja f(x) = a/x

Korzystanie ze wzoru do interpretacji zagadnień

Matematyka

•

820

•

13 lip 2025

•

2 strony

Zabawy z ułamkami algebraicznymi i hiperbolą: Klasa 3 liceum

zuzka

@zuzkak

Ułamki algebraiczne i funkcje wymierneto kluczowe zagadnienia w matematyce na poziomie liceum. Obejmują one definicje, właściwości oraz zastosowania ułamków algebraicznych, równań i nierówności wymiernych, a także funkcji homograficznych. Te koncepcje są istotne dla zrozumienia bardziej zaawansowanych tematów matematycznych i... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Funkcje wymierne i homograficzne

Definition: Funkcja wymierna to funkcja postaci F $x$ = W $x$ /Q $x$ , gdzie W $x$ i Q $x$ są wielomianami, a Q $x$ ≠ 0. Dziedziną takiej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych bez pierwiastków mianownika.

Wykres funkcji homograficznej przecina:

Oś OX w punkcie $-D/C, 0$ , jeśli A ≠ 0
Oś OY w punkcie $0, B/D$ , jeśli D ≠ 0

Example: Dla funkcji y = 1/ $x-2$ + 3, asymptotami hiperboli są proste x = 2 $pionowa$ i y = 3 $pozioma$ .

Przesuwanie hiperboli na płaszczyźnie można osiągnąć poprzez modyfikację wzoru funkcji:

y = f $x-p$ + q przesuwa wykres o p jednostek w prawo i q jednostek w górę
y = |f $x$ | odbija część wykresu poniżej osi OX do góry
y = f $|x|$ odbija część wykresu na lewo od osi OY na prawo

Highlight: Zrozumienie transformacji funkcji homograficznych jest kluczowe dla rozwiązywania zaawansowanych zadań maturalnych z ułamków algebraicznych.

Warto zauważyć, że funkcje wymierne i homograficzne mają szerokie zastosowanie w fizyce i inżynierii, co podkreśla ich znaczenie w programie nauczania matematyki w liceum.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Ułamki algebraiczne i równania wymierne

Definicja: Ułamek algebraiczny jednej zmiennej rzeczywistej x to wyrażenie postaci W $x$ /P $x$ , gdzie W $x$ jest licznikiem, a P $x$ mianownikiem, przy czym P $x$ ≠ 0.

Highlight: Przy rozwiązywaniu równań wymiernych kluczowe jest pamiętanie o dziedzinie funkcji, co jest często podkreślane w materiałach matemaks dotyczących równań wymiernych.

Example: Przykładem nierówności wymiernej może być: $x^2 - 1$ / $x + 2$ > 0. Rozwiązanie takiej nierówności wymaga analizy znaków licznika i mianownika.

Ważnym twierdzeniem przy rozwiązywaniu nierówności wymiernych jest zasada znaku ilorazu: dla a, b ∈ R i b ≠ 0, a/b > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ab > 0.

Vocabulary: Dziedzina ułamka algebraicznego to zbiór wszystkich wartości zmiennej, dla których mianownik nie przyjmuje wartości zero.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

funkcja wymierna

1201

Podstawowe własności wybranych funkcji

1944

pochodna funkcji

672

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS