Przedmioty

Przedmioty

Więcej

Szukaj

Knowunity Pro

AI Knowunity

Przedmioty

/

Matematyka

/

Równania i nierówności

/

Graficzna metoda rozwiązywania układów równań z niewiadomymi

/

Liczba rozwiązań układu równań, a położeni dwóch prostych

Układy równań - rozwiązywanie metodą przeciwnych współczynników i podstawiania

Zobacz

Układy równań - rozwiązywanie metodą przeciwnych współczynników i podstawiania
user profile picture

Ku.Karolina

@ku.karolina_rhnk

·

230 Obserwujących

Obserwuj

Układy równań to kluczowy temat w matematyce szkolnej, obejmujący zestaw co najmniej dwóch równań z tyloma niewiadomymi, ile jest równań. Rozróżniamy układy oznaczone, nieoznaczone i sprzeczne. Trzy podstawowe metody rozwiązywania to:

  • Metoda podstawiania
  • Metoda graficzna
  • Metoda przeciwnych współczynników

Każda z tych metod ma swoje zastosowanie w zależności od typu układu równań.

• Układy równań mogą mieć jedno, nieskończenie wiele lub żadnych rozwiązań.
• Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu jednej niewiadomej z jednego równania i podstawieniu jej do drugiego.
• Metoda graficzna wykorzystuje układ współrzędnych do wizualizacji rozwiązania.
• Metoda przeciwnych współczynników opiera się na dodawaniu równań po odpowiednim przekształceniu.

15.05.2022

2720

UKŁADY RÓWNAŃ Układ równań - to połączenie co najmniej dwóch równań, zawierają tyle niewiadomych ile jest równań. Przykładowo układ równań z

Zobacz

Wprowadzenie do układów równań

Układy równań to fundamentalne zagadnienie w matematyce, szczególnie istotne w rozwiązywaniu złożonych problemów algebraicznych. Układ równań składa się z co najmniej dwóch równań, zawierających tyle niewiadomych, ile jest równań w układzie.

Definition: Układ równań to zestaw co najmniej dwóch równań, które muszą być spełnione jednocześnie.

Przykładowy układ równań z dwiema niewiadomymi może wyglądać następująco:

x + 56y = 4985 -2y - x = 4000

Highlight: Warto zauważyć, że klamra łącząca równania nie jest konieczna w zapisie układu równań.

Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników jest jedną z kluczowych umiejętności, które uczniowie nabywają w szkole średniej. Układy równań można sklasyfikować na trzy główne typy:

  1. Oznaczone - posiadające dokładnie jedno rozwiązanie
  2. Nieoznaczone - mające nieskończenie wiele rozwiązań
  3. Sprzeczne - nie posiadające żadnych rozwiązań

Vocabulary:

  • Układ oznaczony: układ z jednym unikalnym rozwiązaniem
  • Układ nieoznaczony: układ z nieskończoną liczbą rozwiązań
  • Układ sprzeczny: układ bez rozwiązań

W szkole średniej uczniowie poznają trzy podstawowe metody rozwiązywania układów równań:

  1. Metoda podstawiania
  2. Metoda graficzna
  3. Metoda przeciwnych współczynników
UKŁADY RÓWNAŃ Układ równań - to połączenie co najmniej dwóch równań, zawierają tyle niewiadomych ile jest równań. Przykładowo układ równań z

Zobacz

Metody rozwiązywania układów równań

Metoda podstawiania

Metoda podstawiania to jedna z podstawowych technik rozwiązywania układów równań. Polega ona na wyznaczeniu jednej niewiadomej z jednego równania i podstawieniu jej do drugiego równania.

Example: Rozważmy układ równań: x + y = 7 67x + 10y = 90

Z pierwszego równania wyznaczamy x = 7 - y, a następnie podstawiamy to wyrażenie do drugiego równania: 67(7-y) + 10y = 90 469 - 67y + 10y = 90 469 - 57y = 90 -57y = -379 y = 379/57 = 6 37/57

Następnie obliczamy x: x = 7 - 6 37/57 = 20/57

Metoda graficzna

Rozwiązywanie układów równań metodą graficzną polega na wizualnym przedstawieniu równań w układzie współrzędnych.

Highlight: Przed rysowaniem, należy przekształcić równania do postaci ogólnej funkcji liniowej: y = ax + b.

Proces rozwiązywania metodą graficzną obejmuje:

  1. Przekształcenie równań do postaci y = ax + b
  2. Narysowanie obu prostych w układzie współrzędnych
  3. Odczytanie punktu lub punktów przecięcia prostych

Definition: Punkt przecięcia prostych reprezentujących równania jest rozwiązaniem układu równań.

Ta metoda jest szczególnie przydatna w graficznym rozwiązywaniu układów równań kwadratowych oraz w zadaniach typu "rozwiąż graficznie układ równań x-3y-9=0".

UKŁADY RÓWNAŃ Układ równań - to połączenie co najmniej dwóch równań, zawierają tyle niewiadomych ile jest równań. Przykładowo układ równań z

Zobacz

Metoda przeciwnych współczynników

Metoda przeciwnych współczynników to skuteczna technika rozwiązywania układów równań, szczególnie przydatna gdy mamy do czynienia z układami liniowymi.

Definition: Metoda przeciwnych współczynników polega na doprowadzeniu układu równań do takiej postaci, w której przy tych samych niewiadomych w różnych równaniach znajdą się przeciwne współczynniki, co umożliwi dodanie równań stronami.

Przykład zastosowania metody przeciwnych współczynników:

Example: Rozważmy układ równań: x + 10y = 47 2x - 4y = 12

Krok 1: Dzielimy drugie równanie przez -2: x + 10y = 47 -x + 2y = -6

Krok 2: Dodajemy równania stronami: 12y = 41

Krok 3: Obliczamy y: y = 41/12

Krok 4: Podstawiamy obliczone y do pierwszego równania: x + 10(41/12) = 47 x = 47 - 410/12 = 77/6

Highlight: Metoda przeciwnych współczynników jest szczególnie efektywna w rozwiązywaniu układów równań, gdzie współczynniki przy niewiadomych są liczbami całkowitymi.

Układy równań - zadania tekstowe często wymagają zastosowania tej metody, gdyż pozwala ona na szybkie i precyzyjne rozwiązanie problemu. Warto ćwiczyć tę metodę na różnorodnych przykładach, aby opanować ją do perfekcji.

Vocabulary:

  • Współczynnik: liczba stojąca przy niewiadomej w równaniu
  • Przeciwne współczynniki: współczynniki o tej samej wartości bezwzględnej, ale przeciwnych znakach

Dla uczniów poszukujących dodatkowych materiałów, polecane są układy równań zadania pdf oraz układy równań metodą przeciwnych współczynników zadania PDF, które oferują szeroki zakres ćwiczeń do samodzielnej pracy.

Podobne notatki

Know Metoda podstawiania thumbnail

42

1254

1/2

Metoda podstawiania

Metoda podstawiania

Know Równania z jedną niewiadomą thumbnail

24

986

3

Równania z jedną niewiadomą

Co to równanie z jedną niewiadomą oraz sposób rozwiązywania równań z jedną nieeiadomą

Know Równania z dwiema niewiadomymi thumbnail

4

312

4/2

Równania z dwiema niewiadomymi

Równania z dwiema niewiadomymi

Know równania wymierne thumbnail

31

1353

1/2

równania wymierne

sposób obliczania równań wymiernych i przykłady

Know Równania i nierówności z wartością bezwzględną thumbnail

76

2795

1/2

Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Wszystko najważniejsze dotyczące wartości bezwzględnej. Jej własności, sposób obliczania odległości między liczbami na osi liczbowej z jej wykorzystaniem a także sposoby rozwiązywania równań i nierówności.

Know Układy rówań thumbnail

315

6780

1/2

Układy rówań

Co to jest układ równań? Metody rozwiązywania

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

/

Matematyka

/

Równania i nierówności

/

Graficzna metoda rozwiązywania układów równań z niewiadomymi

/

Liczba rozwiązań układu równań, a położeni dwóch prostych

Układy równań - rozwiązywanie metodą przeciwnych współczynników i podstawiania

user profile picture

Ku.Karolina

@ku.karolina_rhnk

·

230 Obserwujących

Obserwuj

Układy równań to kluczowy temat w matematyce szkolnej, obejmujący zestaw co najmniej dwóch równań z tyloma niewiadomymi, ile jest równań. Rozróżniamy układy oznaczone, nieoznaczone i sprzeczne. Trzy podstawowe metody rozwiązywania to:

  • Metoda podstawiania
  • Metoda graficzna
  • Metoda przeciwnych współczynników

Każda z tych metod ma swoje zastosowanie w zależności od typu układu równań.

• Układy równań mogą mieć jedno, nieskończenie wiele lub żadnych rozwiązań.
• Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu jednej niewiadomej z jednego równania i podstawieniu jej do drugiego.
• Metoda graficzna wykorzystuje układ współrzędnych do wizualizacji rozwiązania.
• Metoda przeciwnych współczynników opiera się na dodawaniu równań po odpowiednim przekształceniu.

15.05.2022

2720

 

1

 

Matematyka

52

UKŁADY RÓWNAŃ Układ równań - to połączenie co najmniej dwóch równań, zawierają tyle niewiadomych ile jest równań. Przykładowo układ równań z

Wprowadzenie do układów równań

Układy równań to fundamentalne zagadnienie w matematyce, szczególnie istotne w rozwiązywaniu złożonych problemów algebraicznych. Układ równań składa się z co najmniej dwóch równań, zawierających tyle niewiadomych, ile jest równań w układzie.

Definition: Układ równań to zestaw co najmniej dwóch równań, które muszą być spełnione jednocześnie.

Przykładowy układ równań z dwiema niewiadomymi może wyglądać następująco:

x + 56y = 4985 -2y - x = 4000

Highlight: Warto zauważyć, że klamra łącząca równania nie jest konieczna w zapisie układu równań.

Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników jest jedną z kluczowych umiejętności, które uczniowie nabywają w szkole średniej. Układy równań można sklasyfikować na trzy główne typy:

  1. Oznaczone - posiadające dokładnie jedno rozwiązanie
  2. Nieoznaczone - mające nieskończenie wiele rozwiązań
  3. Sprzeczne - nie posiadające żadnych rozwiązań

Vocabulary:

  • Układ oznaczony: układ z jednym unikalnym rozwiązaniem
  • Układ nieoznaczony: układ z nieskończoną liczbą rozwiązań
  • Układ sprzeczny: układ bez rozwiązań

W szkole średniej uczniowie poznają trzy podstawowe metody rozwiązywania układów równań:

  1. Metoda podstawiania
  2. Metoda graficzna
  3. Metoda przeciwnych współczynników
UKŁADY RÓWNAŃ Układ równań - to połączenie co najmniej dwóch równań, zawierają tyle niewiadomych ile jest równań. Przykładowo układ równań z

Metody rozwiązywania układów równań

Metoda podstawiania

Metoda podstawiania to jedna z podstawowych technik rozwiązywania układów równań. Polega ona na wyznaczeniu jednej niewiadomej z jednego równania i podstawieniu jej do drugiego równania.

Example: Rozważmy układ równań: x + y = 7 67x + 10y = 90

Z pierwszego równania wyznaczamy x = 7 - y, a następnie podstawiamy to wyrażenie do drugiego równania: 67(7-y) + 10y = 90 469 - 67y + 10y = 90 469 - 57y = 90 -57y = -379 y = 379/57 = 6 37/57

Następnie obliczamy x: x = 7 - 6 37/57 = 20/57

Metoda graficzna

Rozwiązywanie układów równań metodą graficzną polega na wizualnym przedstawieniu równań w układzie współrzędnych.

Highlight: Przed rysowaniem, należy przekształcić równania do postaci ogólnej funkcji liniowej: y = ax + b.

Proces rozwiązywania metodą graficzną obejmuje:

  1. Przekształcenie równań do postaci y = ax + b
  2. Narysowanie obu prostych w układzie współrzędnych
  3. Odczytanie punktu lub punktów przecięcia prostych

Definition: Punkt przecięcia prostych reprezentujących równania jest rozwiązaniem układu równań.

Ta metoda jest szczególnie przydatna w graficznym rozwiązywaniu układów równań kwadratowych oraz w zadaniach typu "rozwiąż graficznie układ równań x-3y-9=0".

UKŁADY RÓWNAŃ Układ równań - to połączenie co najmniej dwóch równań, zawierają tyle niewiadomych ile jest równań. Przykładowo układ równań z

Metoda przeciwnych współczynników

Metoda przeciwnych współczynników to skuteczna technika rozwiązywania układów równań, szczególnie przydatna gdy mamy do czynienia z układami liniowymi.

Definition: Metoda przeciwnych współczynników polega na doprowadzeniu układu równań do takiej postaci, w której przy tych samych niewiadomych w różnych równaniach znajdą się przeciwne współczynniki, co umożliwi dodanie równań stronami.

Przykład zastosowania metody przeciwnych współczynników:

Example: Rozważmy układ równań: x + 10y = 47 2x - 4y = 12

Krok 1: Dzielimy drugie równanie przez -2: x + 10y = 47 -x + 2y = -6

Krok 2: Dodajemy równania stronami: 12y = 41

Krok 3: Obliczamy y: y = 41/12

Krok 4: Podstawiamy obliczone y do pierwszego równania: x + 10(41/12) = 47 x = 47 - 410/12 = 77/6

Highlight: Metoda przeciwnych współczynników jest szczególnie efektywna w rozwiązywaniu układów równań, gdzie współczynniki przy niewiadomych są liczbami całkowitymi.

Układy równań - zadania tekstowe często wymagają zastosowania tej metody, gdyż pozwala ona na szybkie i precyzyjne rozwiązanie problemu. Warto ćwiczyć tę metodę na różnorodnych przykładach, aby opanować ją do perfekcji.

Vocabulary:

  • Współczynnik: liczba stojąca przy niewiadomej w równaniu
  • Przeciwne współczynniki: współczynniki o tej samej wartości bezwzględnej, ale przeciwnych znakach

Dla uczniów poszukujących dodatkowych materiałów, polecane są układy równań zadania pdf oraz układy równań metodą przeciwnych współczynników zadania PDF, które oferują szeroki zakres ćwiczeń do samodzielnej pracy.

Podobne notatki

Matematyka - Metoda podstawiania

Metoda podstawiania

42

1254

0

Know Metoda podstawiania thumbnail

Matematyka - Równania z jedną niewiadomą

Co to równanie z jedną niewiadomą oraz sposób rozwiązywania równań z jedną nieeiadomą

24

986

1

Know Równania z jedną niewiadomą thumbnail

Matematyka - Równania z dwiema niewiadomymi

Równania z dwiema niewiadomymi

4

312

0

Know Równania z dwiema niewiadomymi thumbnail

Matematyka - równania wymierne

sposób obliczania równań wymiernych i przykłady

31

1353

0

Know równania wymierne thumbnail

Matematyka - Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Wszystko najważniejsze dotyczące wartości bezwzględnej. Jej własności, sposób obliczania odległości między liczbami na osi liczbowej z jej wykorzystaniem a także sposoby rozwiązywania równań i nierówności.

76

2795

0

Know Równania i nierówności z wartością bezwzględną thumbnail

Matematyka - Układy rówań

Co to jest układ równań? Metody rozwiązywania

315

6780

3

Know Układy rówań thumbnail

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.