Przedmioty
Kariera
Język polski
Biologia
Chemia
Geografia
Historia
Gazy i ich mieszaniny
Budowa atomu a układ okresowy pierwiastków chemicznych
Węglowodory
Reakcje chemiczne w roztworach wodnych
Stechiometria
Efekty energetyczne i szybkość reakcji chemicznych
Układ okresowy pierwiastków chemicznych
Systematyka związków nieorganicznych
Pochodne węglowodorów
Świat substancji
Kwasy
Sole
Roztwory
Reakcje utleniania-redukcji. elektrochemia
Łączenie się atomów
Pokaż wszystkie tematy
71
0
Ku.Karolina
3.08.2025
Matematyka
Układy równań
5081
•
3 sie 2025
•
Układy równań to kluczowy temat w matematyce szkolnej, obejmujący zestaw... Pokaż więcej
Metoda podstawiania to jedna z podstawowych technik rozwiązywania układów równań. Polega ona na wyznaczeniu jednej niewiadomej z jednego równania i podstawieniu jej do drugiego równania.
Example: Rozważmy układ równań: x + y = 7 67x + 10y = 90
Z pierwszego równania wyznaczamy x = 7 - y, a następnie podstawiamy to wyrażenie do drugiego równania: 67(7-y) + 10y = 90 469 - 67y + 10y = 90 469 - 57y = 90 -57y = -379 y = 379/57 = 6 37/57
Następnie obliczamy x: x = 7 - 6 37/57 = 20/57
Rozwiązywanie układów równań metodą graficzną polega na wizualnym przedstawieniu równań w układzie współrzędnych.
Highlight: Przed rysowaniem, należy przekształcić równania do postaci ogólnej funkcji liniowej: y = ax + b.
Proces rozwiązywania metodą graficzną obejmuje:
Definition: Punkt przecięcia prostych reprezentujących równania jest rozwiązaniem układu równań.
Ta metoda jest szczególnie przydatna w graficznym rozwiązywaniu układów równań kwadratowych oraz w zadaniach typu "rozwiąż graficznie układ równań x-3y-9=0".
Metoda przeciwnych współczynników to skuteczna technika rozwiązywania układów równań, szczególnie przydatna gdy mamy do czynienia z układami liniowymi.
Definition: Metoda przeciwnych współczynników polega na doprowadzeniu układu równań do takiej postaci, w której przy tych samych niewiadomych w różnych równaniach znajdą się przeciwne współczynniki, co umożliwi dodanie równań stronami.
Przykład zastosowania metody przeciwnych współczynników:
Example: Rozważmy układ równań: x + 10y = 47 2x - 4y = 12
Krok 1: Dzielimy drugie równanie przez -2: x + 10y = 47 -x + 2y = -6
Krok 2: Dodajemy równania stronami: 12y = 41
Krok 3: Obliczamy y: y = 41/12
Krok 4: Podstawiamy obliczone y do pierwszego równania: x + 10(41/12) = 47 x = 47 - 410/12 = 77/6
Highlight: Metoda przeciwnych współczynników jest szczególnie efektywna w rozwiązywaniu układów równań, gdzie współczynniki przy niewiadomych są liczbami całkowitymi.
Układy równań - zadania tekstowe często wymagają zastosowania tej metody, gdyż pozwala ona na szybkie i precyzyjne rozwiązanie problemu. Warto ćwiczyć tę metodę na różnorodnych przykładach, aby opanować ją do perfekcji.
Vocabulary:
- Współczynnik: liczba stojąca przy niewiadomej w równaniu
- Przeciwne współczynniki: współczynniki o tej samej wartości bezwzględnej, ale przeciwnych znakach
Dla uczniów poszukujących dodatkowych materiałów, polecane są układy równań zadania pdf oraz układy równań metodą przeciwnych współczynników zadania PDF, które oferują szeroki zakres ćwiczeń do samodzielnej pracy.
Układy równań to fundamentalne zagadnienie w matematyce, szczególnie istotne w rozwiązywaniu złożonych problemów algebraicznych. Układ równań składa się z co najmniej dwóch równań, zawierających tyle niewiadomych, ile jest równań w układzie.
Definition: Układ równań to zestaw co najmniej dwóch równań, które muszą być spełnione jednocześnie.
Przykładowy układ równań z dwiema niewiadomymi może wyglądać następująco:
x + 56y = 4985 -2y - x = 4000
Highlight: Warto zauważyć, że klamra łącząca równania nie jest konieczna w zapisie układu równań.
Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników jest jedną z kluczowych umiejętności, które uczniowie nabywają w szkole średniej. Układy równań można sklasyfikować na trzy główne typy:
Vocabulary:
- Układ oznaczony: układ z jednym unikalnym rozwiązaniem
- Układ nieoznaczony: układ z nieskończoną liczbą rozwiązań
- Układ sprzeczny: układ bez rozwiązań
W szkole średniej uczniowie poznają trzy podstawowe metody rozwiązywania układów równań:
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Układy równań to kluczowy temat w matematyce szkolnej, obejmujący zestaw co najmniej dwóch równań z tyloma niewiadomymi, ile jest równań. Rozróżniamy układy oznaczone, nieoznaczone i sprzeczne. Trzy podstawowe metody rozwiązywania to:
Każda z... Pokaż więcej
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Metoda podstawiania to jedna z podstawowych technik rozwiązywania układów równań. Polega ona na wyznaczeniu jednej niewiadomej z jednego równania i podstawieniu jej do drugiego równania.
Example: Rozważmy układ równań: x + y = 7 67x + 10y = 90
Z pierwszego równania wyznaczamy x = 7 - y, a następnie podstawiamy to wyrażenie do drugiego równania: 67(7-y) + 10y = 90 469 - 67y + 10y = 90 469 - 57y = 90 -57y = -379 y = 379/57 = 6 37/57
Następnie obliczamy x: x = 7 - 6 37/57 = 20/57
Rozwiązywanie układów równań metodą graficzną polega na wizualnym przedstawieniu równań w układzie współrzędnych.
Highlight: Przed rysowaniem, należy przekształcić równania do postaci ogólnej funkcji liniowej: y = ax + b.
Proces rozwiązywania metodą graficzną obejmuje:
Definition: Punkt przecięcia prostych reprezentujących równania jest rozwiązaniem układu równań.
Ta metoda jest szczególnie przydatna w graficznym rozwiązywaniu układów równań kwadratowych oraz w zadaniach typu "rozwiąż graficznie układ równań x-3y-9=0".
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Metoda przeciwnych współczynników to skuteczna technika rozwiązywania układów równań, szczególnie przydatna gdy mamy do czynienia z układami liniowymi.
Definition: Metoda przeciwnych współczynników polega na doprowadzeniu układu równań do takiej postaci, w której przy tych samych niewiadomych w różnych równaniach znajdą się przeciwne współczynniki, co umożliwi dodanie równań stronami.
Przykład zastosowania metody przeciwnych współczynników:
Example: Rozważmy układ równań: x + 10y = 47 2x - 4y = 12
Krok 1: Dzielimy drugie równanie przez -2: x + 10y = 47 -x + 2y = -6
Krok 2: Dodajemy równania stronami: 12y = 41
Krok 3: Obliczamy y: y = 41/12
Krok 4: Podstawiamy obliczone y do pierwszego równania: x + 10(41/12) = 47 x = 47 - 410/12 = 77/6
Highlight: Metoda przeciwnych współczynników jest szczególnie efektywna w rozwiązywaniu układów równań, gdzie współczynniki przy niewiadomych są liczbami całkowitymi.
Układy równań - zadania tekstowe często wymagają zastosowania tej metody, gdyż pozwala ona na szybkie i precyzyjne rozwiązanie problemu. Warto ćwiczyć tę metodę na różnorodnych przykładach, aby opanować ją do perfekcji.
Vocabulary:
- Współczynnik: liczba stojąca przy niewiadomej w równaniu
- Przeciwne współczynniki: współczynniki o tej samej wartości bezwzględnej, ale przeciwnych znakach
Dla uczniów poszukujących dodatkowych materiałów, polecane są układy równań zadania pdf oraz układy równań metodą przeciwnych współczynników zadania PDF, które oferują szeroki zakres ćwiczeń do samodzielnej pracy.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Układy równań to fundamentalne zagadnienie w matematyce, szczególnie istotne w rozwiązywaniu złożonych problemów algebraicznych. Układ równań składa się z co najmniej dwóch równań, zawierających tyle niewiadomych, ile jest równań w układzie.
Definition: Układ równań to zestaw co najmniej dwóch równań, które muszą być spełnione jednocześnie.
Przykładowy układ równań z dwiema niewiadomymi może wyglądać następująco:
x + 56y = 4985 -2y - x = 4000
Highlight: Warto zauważyć, że klamra łącząca równania nie jest konieczna w zapisie układu równań.
Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników jest jedną z kluczowych umiejętności, które uczniowie nabywają w szkole średniej. Układy równań można sklasyfikować na trzy główne typy:
Vocabulary:
- Układ oznaczony: układ z jednym unikalnym rozwiązaniem
- Układ nieoznaczony: układ z nieskończoną liczbą rozwiązań
- Układ sprzeczny: układ bez rozwiązań
W szkole średniej uczniowie poznają trzy podstawowe metody rozwiązywania układów równań:
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
