Układy Równań Liniowych Z Dwiema Niewiadomymi

Alternatywny zapis:

= 1 2y = -4 y = -2 {y=²2 (1-2) K Układ nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań) układ równań zależnych Caree -4 (mill male (x₁-x+3)- kouste pore воз рывали ров театресетет веро Minde Zastosowanie układów równań do rozwiązywania zadań Zadania powtórzeniowe do rozdziału 5. D 16. Wykaż, że para liczb (√3-2,√3+2) spełnia równanie 3+2+√3-2² 17. Wyznacz liczbę a, dla której para liczb (2,-√8) spełnia równanie 3x - ay = 2. 18. Sprawdź, czy para liczb (a, b) jest rozwiązaniem danego układu równań. (2x+3y=10 4x-5y=-16 (-1,4) a) b) 19. Rozwiąż dany układ równań metodą podstawiania. 2b-8a=4 a) b) (2c-d=5 4c-3d=13 4a-b=3 a) a) 20. Rozwiąż dany układ równań metodą przeciwnych współczynników. -3a+b=7 b) 12x-3y=6 2y-8x=-4 [6c-2d=10 4d-12c=5 5a-b=1 [x+y=0 xlog 4-ylog,9=2 c) 21. Rozwiąż dany układ równań metodą graficzną. Pamiętaj o sprawdzeniu popraw- ności rozwiązania. [y=-2-x y+2x=1 y=-x-2 Przekształcamy pierwsze równanie Przekształcamy drugie równanie Row dany dwa metoda graficng Pamiętaj o sprawdzenia poprawności rozwiązania 2-x y+2x=1 "y-2x-3 (1,-1) 22. Rozwiąż algebraicznie dany układ równań i przedstaw jego ilustrację graficzną. Xy+x_x+2,4 (x-2)²-x² =2-y a) 2 5 6 4 (x+1)(y-4)=(x-19) (y+1) (3x-4)(y-3)=(3y-7)(x-2) [(x-y+1)(x+y+2)=(x−y)(x+y) (2x-3)(2x+1)-(2x+3)² = 4y (x+2x)=1_X+2x :-(2-y)=3,5x y=-2 y=2x+3 Przekutalcamy pierwsze równanie b) Preklamy drugie równanie y=-2x+1 Rysujemy wykresy funkcji y-2 oraz y-2-1 we wspólnym układzie współrzędnych. Wykres funkcji --2 przechodzi przez punkty (0-2) orac (-2, 0) Wykres funkcji y-2-1 przechodzi przez punkty (0, 1) (1,-13 y=x+1 Z wykresu odczytujemy, że rozwiązaniem układu równań jest para liczb (3, -5). (4x=10+2y y-2x=3 y-2x-5 b) d) x-1 2 c) Rysujemy wykresy funkcy-Sorar y3 we wspólnym ukadrie wspódnych. Wyknes funkc przechodzi pret punkty (0-5) orac (2,-2). Wykres funkcji y-2-3 przechodzi przer punkty (0, 1) orar (-1, 1) C) Na podstawie narysowanych wykresów widring, leuktad nownań nie ma wiara-marysowane proste są równolegle -3x-6y=9 x+2y=-3 C) |y=+5 3x+2y=-6 -=-14. ----B D 16. Wykaż, że para liczb (√3-2,√3+2) spełnia równanie Sprawdzamy, że dana para liczb spełnia równanie: (√3-2) (√3+2)(√3-2) (√√3+2)(√3-2) 3-4 (√3+2) 3-4√3+4 7-4√3 7+4√3 -1 17. Wyznacz liczbę a, dla której para liczb (2.-√√8) Podstawiamy do równania x=2, y√√8 i wyznaczamy a: 3-2-a-(-√8) 2 6+a√8=2 Li √3-2√3+2 √3+2 √√3-2 a√8-4 a-2√2 -4 1:2√2 a) 4 2√2 2b-8a 4 4a-b 3 Odp. Dana para liczb spełnia równanie dla a = -√√2. 19. Rozwiąż dany układ równań metodą podstawiania. 4a-3-4a-2 b=4a-3 -3-2 b-4a-3 b) b-4a-2 b-4a-3 Podstawiamy b-4a-3do pierwszego równania. 12c-d=5 4c-3d-13 id=2c-5 4c-3d-13 2 √√2 4c-6c+15-13 id=2c-5 |-2=-21:(-2) id=2c-5 c=1 Podstawiamy d-2c-5 do drugiego równania. id-2c-5 4c-3(2c-5) 13 id=2c-5 √2-√2 √√2 c=1 d-3 c) √2 Podstawiamy c=1 do pierwszego równania. d-2-5 c=1 d=-3 c=1 -3x-6y=9 x+2y=-3 x+2y=-3 2y=-x-3:2 x+2y=-3 y 0,5-1,5 y-0,5x-1,5 |-3--3 y=-0,5x-1,5 Pierwsze równanie w układzie jest sprzeczne, więc układ równań jest sprzeczny (nie ma rozwiązań). Podstawiamy y=-0,5x-1,5 do pierwszego równania. x 20,5 15 3 ly 0,5 15 7+4√3-7-4√√3-14 P -3a+b=7 Sa-b-1 ama Ja-4 -3a+b=7 Ja-4 ja 4 12+b=7 b-19 b) P=10 L-P 20. Rozwią dany uklad równań metodą przeciwnych współczynników Dodajemy równania stronami y √3+2 √3-2 18. Sprawdi, czy para liczb (a, b) jest rozwiązaniem danego układu równań C₁2 100 y 4x-2 2x+3y-10 4x-Sy- 16 Sprawdzamy, czy para liczb (-1, 4) spełnia pierwsze równanie w układzie: L-2-(-1)+3-4-2+12-10 Sprawdzamy, czy para liczb (-1, 4) spełnia drugie równanie w układzie L-4 (-1)-5-4--4-20-24 P-16 L-P P=0 L-P c Para liczb (-1, 4) nie spełnia drugiego równania w układzie, więc nie spełnia układu równań Nx-y-o xlog, 4-ylog, 9-2 Sprawdzamy, czy para liczb (1,-1) spełnia pierwsze równanie w układzie: L=1+(-1)=1-1-0 Podstawiamy a 4 do dowolnego równania w układzie i obliczamy b 12x-3y=6 1:3 2y-8x-4 1:2 4x=y=2 y-4x=-2 4x-y=2 3+4√3+4 3-4 Sprawdzamy, czy para liczb (1, -1) spełnia drugie równanie w układzie: L-1-log, 4-(-1)-log, 9-log, 4+log, 9-log, (4-9)-log, 36-2 P=2 L-P 12c-4d-20 -12-46-5 0-25 14 Para liczb (1,-1) spełnia oba równania w układzie, więc spełnia uktad równań Dodajemy równania stronami Otrzymana równość jest prawdziwa dia dowolnych liczb rzeczywistych xiy. Do tej równości dopisujemy jedno z równań układu początkowego. 16-24-10 4d-12-5 16-2d-10 1-2 -12c-4d=5 Uktad równań spełnia nieskończenie wiele par liczb postaci (x, 4x-2), gdzie x ER (układ jest nieoznaczony) Dodajemy równania stronami Otrzymana równość jest fałszywa. Ornacza to, be uklad równań jest sprzeczny-nie ma rozwiązań Pierwsze równanie w układzie jest tożsamościowe, więc układ równań jest nieoznaczony. Rozwiązaniem układu jest każda para liczb mająca postać (x; -0,5x-1,5), gdzie x E R. 23. Wyznacz liczby a i b tak, aby rozwiązaniem układu równań była podana obok tego układu para liczb. a) bx-ay=-18 (a-2b)x-by=2 24. Wyznacz współczynniki a, b we wzorze funkcji liniowej f(x) = ax + b wiedząc, że jej wykres przechodzi przez punkt P(-4, 6), a miejscem zerowym tej funkcji jest liczba 8. 25. Funkcje liniowe f(x) = 2x-m+ 12 oraz g(x) = -0,5x + m dla argumentu 6 przyjmują tę samą wartość. Oblicz mi podaj rzędną punktu, w którym wykresy funk- cji fi g się przecinają. 26. Trzy proste opisane odpowiednio równaniami 2x-3y=5 4x-y=1 przecinają się w tym samym punkcie. a) Wyznacz współrzędne tego punktu. b) Oblicz a. (-4, 6) 27. Suma cyfr dodatniej liczby dwucyfrowej jest równa 11. Jeżeli zamienimy cyfry tej liczby miejscami, to otrzymamy liczbę o 27 większą od szukanej. Wyznacz szuka- ną liczbę. Wówczas 28. Wyznacz obecny wiek ojca i wiek córki wiedząc, że 5 lat temu ojciec był 6 razy starszy od córki, a za 4 lata ojciec będzie trzy razy starszy od córki. b) 29. W dwóch koszach znajdują się gruszki. Gdyby przełożyć 2 gruszki z drugiego kosza do pierwszego, to w obu koszach byłoby tyle samo gruszek. Gdyby natomiast przełożyć 4 gruszki z pierwszego kosza do drugiego, to w drugim koszu byłoby dwa razy więcej gruszek niż w pierwszym. lle gruszek jest w każdym koszu? x-5-wiek ojca 5 lat temu y-s-wiek córki 5 lat temu x+4-wiek ojca za 4 lat y+4-wiek córki za 4 lat ((b+0,5a)x+ay=-2 2(a-b)x-4y=4b+a 30. Aleksander trenuje kolarstwo. W poniedziałek podczas treningu przejechał pewną drogę w ciągu 1 godziny i 20 minut. We wtorek jadąc z prędkością o 7 km/h większą pokonał ten sam dystans w czasie o 14 minut krótszym. Oblicz prędkość, z jaką jechał Aleksander drugiego dnia. Jak długi dystans zaplanował chłopiec na poniedziałkowy i wtorkowy trening? 28. Wyznacz obecny wiek ojca i wiek córki wiedząc, że 5 lat temu ojciec był 6 razy starszy od córki, a za 4 lata ojciec będzie trzy razy starszy od córki. Niech: x-wiek ojca obecnie 5 lat temu ojciec byt 6 razy starszy od córki. Stąd: x-5-6-5) 31. Pan Nowak ma sklep z owocami i warzywami. W hurtowni kupit 80 kg jablek oraz 20 kg papryki czerwonej za łączną kwotę 328 zł. Do ceny hurtowej jabłek skle- pikarz doliczył 20% marży, zaś do ceny hurtowej papryki doliczył 25% marży. Wów- czas za 5 kg jabłek i 2 kg papryki trzeba było zapłacić w sklepie pana Nowaka 29 zł. Ile kosztuje 1 kg jabłek oraz 1 kg papryki czerwonej w hurcie, a ile w detalu? Za 4 lata ojciec będzie trzy razy starszy od córki. Stąd: x-3y-8 Zapisujemy powyższe równania jako układ i wyznaczamy z niego xoraz y x-5-6y-5) x+4-Ny+4) x-5-6y-30 x+4-3y+12 xy-25 Podstawiamy x-6y-25 do drugiego równania. x6y-25 6y-25-3y 8 x6y-25 3y 33 1:3 x-6y-25 ly-11 Podstawiamyy 11 do pierwszego równania. x-6-11-25 ly-11 x-66-25 ly-11 x-41 ly-11 Odp. Obecnie ojciec ma 41 lat, a córka 11 la x-liczba gruszek w pierwszym koszu y-liczba gruszek w drugim koszu (2,-3) x+2-y-2 ax + y = 3 oraz y+4=2(x-4) ly-2x-12 Zapisujemy powytsze równania jako uktad i wyznaczamy z niego x orazy: x+2-y-2 y+4-2(x-4) x-y-4 Podstawiamyy-2x-12 do pierwszego równania. x=2x- 2x-12-4 ly-2x-12 -x-16 14-1) y-2x-12 x-16 v=2x-12 Podstawiamy x 16 do drugiego równania x-16 ly-2-16-12 x-16 ly-32-12 x-16 23. Wyznacz liczby a ib tak, aby rozwiązaniem układu równań była podana obok tego układu para liczb a)Podstawiamy do ukadu 4 yi wynaczamy z niego ora 29. W dwóch koszach znajdują się gruszki. Gdyby przełożyć 2 gruszki z drugiego kosza do pierwszego, to w obu koszach byłoby tyle samo gruszek. Gdyby natomiast przełożyć 4 gruszki z pierwszego kosza do drugiego, to w drugim koszu byłoby dwa razy więcej gruszek niż w pierwszym. lle gruszek jest w każdym koszu? Niech: Podstawy do pierwszego równania 3a+22+1)-9 Odp. W pierwszym koszu jest 16 gruszek, w drugim-20 la+4+2-9 Gdyby przełożyć 2 gruszki z drugiego do pierwszego kosza, to wówczas w pierwszym koszu będzie x+2 gruszek. a w drugim y-2 gruszek iw obu koszach będzie tyle samo gruszek: 7a-7 17 21 ja-1 Podstawiamya-1 do drugiego równania Gdyby przeloty 4 gruszki z pierwszego kosza do drugiego, to wówczas w pierwszym koszu będzie x-4 gruszek, a w drugim y+4 gruszek i w drugim koszu będzie dwa razy więcej gruszek niż w pierwszym: 2+1 ja-1 Odpowiniem ukladu równań jest para liczb (-4, 6) dia a-1, -3 26 Type o Wynego punk bOblica liczy w przecięcia prostych 2x-by- & poli HA Dla m=13,5 g(x)=-0,5x+13,5 Niech y-długość dystansu (km) 24. Wy wykwwe funknow-abwiedy wykres P-4,6 miejscem nowym tej funk jest b Wówczas 8-0-0 16 1-4-0-6 1 h 20 min-1-1- 1 h 20 min-14 min-1h 6 min -- 1-18-11-13 2-4 x-y we wtorek en jakoukladwynaczamy x+7-prędkość, z jaką Aleksander jechal we wtorek (w km/h) Wyrażamy czas jazdy w godzinach: y otrzymamy liczbę o 27 większą od sukanej Wynar sukang be 27. Sum dolby drowe jest równe 11. Je zamienimy cyfry tej liczby miejscam Ze wzoru na drogę w ruchu jednostajnym mamy w poniedzialek - desig - jedno Wówcz 10-ukalaba dwucyfrowe 10-badwayfrowa przestawionymi cyfram Suma suby dwucyfrowej jest równa 11. St 25. Funkcje liniowe f(x)=2x-m+ 12 oraz g(x)= -0,5x + m dla argumentu 6 przyjmują tę samą wartość. Oblicz mi podaj rzędną punktu, w którym wykresy funkcji fig się przecinają. Funkcje fig dia argumentu 6 przyjmują tę samą wartość. Stąd: f(6) g(6) 2-6 m+12 0,5-6+m 12 m 12 -3 m 24-m-3+m -2m-27 :(-2) m=13,5 x+y=11 barwionymi cyframi jest o 27 większa odszukanejby Stad 30x12x+y+27 --9-276-8 x-prędkość, z jaką Aleksander jechał w poniedziałek (w km/h) Zapisujemy owne nowmania jako uklad i wymacramy ni Obliczamy wartość funkcji g dia argumentu 6: g16) 0,5-6+13,5-3+13,5-10,5 Dynia strona W takim razie wykresy funkcji fig przecinają się w punkcie o rzędnej 10,5 [przecinają się w punkcie (6; 10,5)). 30. Aleksander trenuje kolarstwo. W poniedziałek podczas treningu przejechał pewną drogę w ciągu 1 godziny 120 minut. We wtorek jadąc z prędkością o 7 km/h większą pokonal ten sam dystans w czasie o 14 minut krótszym. Oblicz prędkość, z jaką jechał Aleksander drugiego dnia. Jak długi dystans zaplanował chłopiec na poniedziałkowy i wtorkowy trening? Podstawiamy do dowolnego równania w układzie i obliczamy x-4 4+y=11 ly-> Odp. Santo 47 10 Xx+7)=y 11(x-7)-10y 1-3 11x+77-10y 4x-3y 014-10) [11x 10y-77 1-3 33x-30y--231 Dodajemy równania stronami -7x-231 (-7) x=33 Zapisujemy powsze równania jako układ i wyznaczamy z niego xorary Podstawiamy x-33 do dowolnego równania w układzie i obliczamy y H za 32. Pani Kowalska otrzymuje stałe wynagrodzenie miesięczne oraz dodatkowo wynagrodzenie nadgodziny. Za każdą godzinę nadliczbową otrzymuje 50% wię cej niż za godzinę etatową. W marcu miała 20 nadgodzin i otrzymała 3600 zł, zaś kwietniu miała 16 nadgodzin i otrzymała 3492 zł. Oblicz: W a) stawkę za godzinę nadliczbową b) stawkę za godzinę etatową c) wysokość stałego wynagrodzenia miesięcznego. 33. W trójkącie równoramiennym jeden z boków jest dwa razy dłuższy od drugiego. Wiedząc, że obwód tego trójkąta jest równy 20, oblicz długości jego boków. Roz- patrz dwa przypadki. 34. Chemik ma dwa roztwory soli o różnych stężeniach. Jeśli zmiesza 2 kg pierw- szego roztworu i 4 kg drugiego roztworu, to otrzyma roztwór 50%. Jeśli natomiast zmiesza 4 kg pierwszego roztworu i 6 kg drugiego roztworu, to otrzyma roztwór 48%. Jakie było stężenie procentowe każdego z roztworów? D 35. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n większej od 1 para liczb (-1, 1) speł- z dwiema niewiadomymi x i y. nia równanie X y n+1 n-1 2 n²-1 x=27 ly-3492-16x Podstawiamy x=27 do drugiego równania. x 27 ly-3492-16-27 x=27 ly-3492-432 x=27 ly-3060 Odp. Pani Kowalska zarabia 27 zł za godzinę nadliczbową. Co miesiąc otrzymuje stałe wynagrodzenie wi wysokości 3060 zł. b) Oznaczmy: z-stawka za godzinę etatową + Za każdą godzinę nadliczbową pani Kowalska otrzymuje 50% więcej niż za godzinę etatową. Stąd: x=1,52 27 1,52 27 2 18 Odp. Pani Kowalska zarabia 18 zł za godzinę etatową. 32. Pani Kowalska otrzymuje stale wynagrodzenie miesięczne oraz dodatkowo wynagrodzenie za nadgodziny. Za za marcu miata 20 nadgodzini godzinę otrzymała 3600 zł, zaś w kwietniu miała 16 nadgodzin i otrzymała 3492 zł. Oblicz: a) stawkę za godzinę nadliczbową b) stawkę za godzinę etatową c) wysokość stałego wynagrodzenia miesięcznego. al, c) Oznaczmy: y-wysokość stałego wynagrodzenia miesięcznego x-stawka za godzinę nadliczbową W marcu pani Kowalska miała 20 nadgodzin i zarobiła wówczas 3600 zł. Stąd: y+20x-3600 W kwietniu pani Kowalska miała 16 nadgodzin i zarobiła wówczas 3492 zł. Stąd: y+16x-3492 Zapisujemy powyższe równania jako układ i wyznaczamy z niego x oraz y y+20x-3600 y+16x3492 y+20x-3600 ly-3492-16x Podstawiamy y-3492-16x do pierwszego równania. (3492-16x+20x-3600 y-3492-16x 4x 108 1:4 ly-3492-16x x=27 y-3492-16x Podstawiamy x 27 do drugiego równania. x=27 ly-3492-16-27 Ex=27 y-3492-432 x=27 ly-3060 Odp. Pani Kowalska zarabia 27 zł za godzinę nadliczbową. Co miesiąc otrzymuje state wynagrodzenie w wysokości 3060 zł. b) Oznaczmy z-stawka za godzinę etatową Za każdą godzinę nadliczbową pani Kowalska otrzymuje 50% więcej niż za godzinę etatową. Stąd: x=1,52 27-1,52