Przedmioty

Przedmioty

Więcej

Szukaj

Knowunity Pro

AI Knowunity

Przedmioty

/

Matematyka

/

Wielomiany

/

Działania na wielomianach

/

Wymierne pierwiastki o współczynnikach całkowitych

Jak Uporządkować Jednomiany w Klasie 7: Przykłady i Wskazówki

Zobacz

Jak Uporządkować Jednomiany w Klasie 7: Przykłady i Wskazówki
user profile picture

Madzmel

@madzmel

·

1862 Obserwujących

Obserwuj

Ekspert przedmiotu

Matematyka w klasie 7 wprowadza ważne pojęcia dotyczące jednomianów i wielomianów, które są fundamentalnymi elementami algebry. Jednomianem jest wyrażenie algebraiczne będące iloczynem liczby i zmiennych podniesionych do potęg naturalnych. Szczególnym przypadkiem jest jednomian stopnia zero, który jest po prostu liczbą.

Jednomiany podobne to wyrażenia algebraiczne, które mają takie same części literowe z takimi samymi wykładnikami potęg. Jednomiany klasa 7 obejmuje również zagadnienia związane z porządkowaniem jednomianów według stopnia. Warto pamiętać, że nie każde wyrażenie algebraiczne jest jednomianem - na przykład wyrażenia zawierające pierwiastki lub ułamki ze zmiennymi w mianowniku nie są jednomianami.

W przypadku wielomianów kluczowe jest zrozumienie pojęć takich jak stopień i współczynniki. Jak obliczyć stopień wielomianu - należy znaleźć największy wykładnik potęgi zmiennej występującej w wielomianie. Współczynniki wielomianu to liczby stojące przy odpowiednich potęgach zmiennej. Obliczanie wartości wielomianu polega na podstawieniu konkretnej liczby za zmienną i wykonaniu działań zgodnie z kolejnością. Szczególnie ważne jest rozumienie, jak oblicz współczynnik a wielomianu w różnych kontekstach, na przykład gdy znana jest wartość wielomianu dla konkretnego argumentu. Suma współczynników wielomianu może być pomocna w rozwiązywaniu różnych zadań algebraicznych i jest często wykorzystywana w bardziej zaawansowanych zagadnieniach matematycznych.

15.06.2022

5768

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej Jednomianem stopnia n, ne N,, jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy wyrażenie, które można zapisać

Zobacz

Jednomiany i wielomiany - podstawowe pojęcia

Jednomian stopnia zero to stała liczba różna od zera. Przykładowo, liczba 4 jest jednomianem stopnia zero. Natomiast jednomian zerowy to stała równa 0 i nie ma określonego stopnia.

Definicja: Jednomianem nazywamy wyrażenie algebraiczne postaci ax^n, gdzie a jest współczynnikiem liczbowym różnym od zera, a n jest wykładnikiem potęgi będącym liczbą naturalną.

Jednomiany podobne to wyrażenia algebraiczne różniące się jedynie współczynnikami liczbowymi. Na przykład: 2x^2 i -5x^2 są jednomianami podobnymi, ponieważ mają tę samą zmienną x podniesioną do tej samej potęgi.

Przykład: Przykłady jednomianów podobnych:

  • 3x^2 i -2x^2
  • 5xy i -7xy
  • 4x^3y^2 i 9x^3y^2

Wielomian to suma jednomianów różnych stopni. Stopień wielomianu określa się jako najwyższą potęgę zmiennej występującą w wielomianie. Współczynniki wielomianu to liczby stojące przy odpowiednich potęgach zmiennej.

Ważne: Aby obliczyć wartość wielomianu dla danej liczby, należy:

  1. Podstawić liczbę w miejsce zmiennej
  2. Wykonać działania zgodnie z kolejnością
  3. Zredukować wyrazy podobne

Obliczanie stopnia wielomianu polega na znalezieniu najwyższej potęgi zmiennej występującej w wielomianie z niezerowym współczynnikiem. Na przykład dla wielomianu W(x) = 2x^3 - 4x^2 + 5x - 1 stopień wynosi 3.

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej Jednomianem stopnia n, ne N,, jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy wyrażenie, które można zapisać

Zobacz

Działania na wielomianach

Dodawanie i odejmowanie wielomianów polega na:

  1. Zapisaniu wszystkich wyrazów obu wielomianów
  2. Redukcji wyrazów podobnych
  3. Uporządkowaniu wyrazów malejąco względem stopni

Przykład: Dodawanie wielomianów: W(x) = 2x^2 + 3x - 1 P(x) = -x^2 + 4x + 5 W(x) + P(x) = (2x^2 - x^2) + (3x + 4x) + (-1 + 5) = x^2 + 7x + 4

Mnożenie wielomianów wymaga:

  1. Pomnożenia każdego wyrazu pierwszego wielomianu przez każdy wyraz drugiego
  2. Dodania otrzymanych iloczynów
  3. Redukcji wyrazów podobnych

Definicja: Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej Jednomianem stopnia n, ne N,, jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy wyrażenie, które można zapisać

Zobacz

Wzory skróconego mnożenia dla wielomianów

Podstawowe wzory skróconego mnożenia dla wielomianów to:

Wzory:

  • (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
  • (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
  • (a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Dla trzeciej potęgi mamy:

  • (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
  • (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Przykład: Zastosowanie wzoru (a + b)^3: (x + 2)^3 = x^3 + 3x^2•2 + 3x•2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej Jednomianem stopnia n, ne N,, jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy wyrażenie, które można zapisać

Zobacz

Wartość wielomianu i współczynniki

Obliczanie wartości wielomianu polega na podstawieniu konkretnej liczby za zmienną i wykonaniu działań.

Przykład: Dla wielomianu W(x) = x^2 - 2x + 1 obliczamy W(3): W(3) = 3^2 - 2•3 + 1 = 9 - 6 + 1 = 4

Współczynniki wielomianu to liczby stojące przy odpowiednich potęgach zmiennej. Aby znaleźć współczynnik przy danej potędze:

  1. Zapisujemy wielomian w postaci uporządkowanej
  2. Odczytujemy liczbę stojącą przy szukanej potędze

Ważne: Suma wszystkich współczynników wielomianu W(x) jest równa wartości W(1).

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej Jednomianem stopnia n, ne N,, jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy wyrażenie, które można zapisać

Zobacz

Wielomiany i ich podzielność

Definicja: Wielomian to wyrażenie algebraiczne będące sumą jednomianów różnych stopni, gdzie każdy jednomian zawiera zmienną podniesioną do nieujemnej potęgi całkowitej.

Wielomiany są podstawowymi obiektami w algebrze, które znajdują szerokie zastosowanie w matematyce i naukach ścisłych. Kluczowym aspektem wielomianów jest ich podzielność, która pozwala na rozkład na prostsze czynniki.

Przykład: Wielomian W(x) = x³ + 2x² - 5x + 3 jest wielomianem stopnia trzeciego, gdzie:

  • x³ to jednomian stopnia 3
  • 2x² to jednomian stopnia 2
  • -5x to jednomian stopnia 1
  • 3 to jednomian stopnia 0

Współczynniki wielomianu to liczby stojące przy odpowiednich potęgach zmiennej. W powyższym przykładzie współczynnikami są: 1, 2, -5, 3. Szczególnie ważnym pojęciem jest stopień wielomianu, który określa najwyższą potęgę zmiennej występującą w wielomianie.

Ważne: Wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki wielomian Q(x), że W(x) = P(x) · Q(x).

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej Jednomianem stopnia n, ne N,, jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy wyrażenie, które można zapisać

Zobacz

Pierwiastki wielomianu i twierdzenie Bézouta

Definicja: Pierwiastkiem wielomianu nazywamy taką liczbę a, dla której W(a) = 0.

Twierdzenie Bézouta stanowi fundamentalne narzędzie w badaniu pierwiastków wielomianu. Mówi ono, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x - a).

Przykład: Dla wielomianu W(x) = x² - 4x + 4:

  • Sprawdzamy W(2) = 4 - 8 + 4 = 0
  • Zatem 2 jest pierwiastkiem tego wielomianu
  • Wielomian można zapisać jako W(x) = (x - 2)(x - 2)

Znajomość pierwiastków wielomianu pozwala na jego rozkład na czynniki liniowe, co jest kluczowe w wielu zastosowaniach matematycznych.

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej Jednomianem stopnia n, ne N,, jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy wyrażenie, które można zapisać

Zobacz

Schemat Hornera i dzielenie wielomianów

Wskazówka: Schemat Hornera to efektywna metoda dzielenia wielomianu przez dwumian postaci (x - a).

Schemat Hornera znajduje szerokie zastosowanie w:

  • Obliczaniu wartości wielomianu dla danego argumentu
  • Dzieleniu wielomianu przez dwumian
  • Rozkładzie wielomianu na czynniki

Przykład: Dla wielomianu W(x) = 2x³ - 3x² + 4x - 1 i dzielnika (x - 2):

  1. Zapisujemy współczynniki: 2, -3, 4, -1
  2. Wykonujemy schemat Hornera
  3. Otrzymujemy iloraz i resztę z dzielenia
Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej Jednomianem stopnia n, ne N,, jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy wyrażenie, które można zapisać

Zobacz

Zastosowania wielomianów w praktyce

Ważne: Wielomiany znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach, od matematyki po nauki przyrodnicze i inżynierię.

Praktyczne zastosowania wielomianów obejmują:

  • Modelowanie zjawisk fizycznych
  • Aproksymację funkcji
  • Rozwiązywanie równań algebraicznych
  • Optymalizację procesów

Przykład: W fizyce wielomiany opisują:

  • Ruch ciał w polu grawitacyjnym
  • Drgania mechaniczne
  • Przepływ ciepła
  • Zjawiska elektryczne

Zrozumienie własności wielomianów i umiejętność operowania nimi stanowi podstawę wielu zaawansowanych zagadnień matematycznych i ich praktycznych zastosowań.

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej Jednomianem stopnia n, ne N,, jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy wyrażenie, które można zapisać

Zobacz

Pierwiastki Wymierne Wielomianów - Teoria i Zastosowania

Wielomiany stopień i współczynniki wielomianu stanowią podstawę do zrozumienia pierwiastków wymiernych. Wielomian o współczynnikach całkowitych może posiadać pierwiastki całkowite lub wymierne, które podlegają szczególnym regułom. Kluczowe jest zrozumienie, że pierwiastek całkowity wielomianu o współczynnikach całkowitych musi być dzielnikiem wyrazu wolnego.

Definicja: Pierwiastek wymierny wielomianu to taka liczba, która po podstawieniu w miejsce zmiennej daje wartość zero. Jeśli jest zapisany w postaci ułamka nieskracalnego p/q, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a q jest dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze.

Przy obliczaniu wartości wielomianu z pierwiastkami wymiernymi należy systematycznie sprawdzać wszystkie możliwe dzielniki wyrazu wolnego. Jest to metoda skuteczna, choć czasochłonna. W praktyce często wykorzystuje się twierdzenie o pierwiastkach wymiernych, które znacząco ogranicza liczbę wartości do sprawdzenia.

Przykład: Dla wielomianu W(x) = 2x³ - 2x² - 2x - 4, dzielniki wyrazu wolnego (-4) to: ±1, ±2, ±4. Sprawdzając te wartości, możemy znaleźć wszystkie pierwiastki całkowite.

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej Jednomianem stopnia n, ne N,, jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy wyrażenie, które można zapisać

Zobacz

Metody Wyznaczania Pierwiastków Wielomianów

Obliczanie wartości wielomianu zadania wymaga systematycznego podejścia. Pierwszym krokiem jest zawsze identyfikacja potencjalnych pierwiastków poprzez analizę wyrazu wolnego i współczynnika przy najwyższej potędze.

Wskazówka: Przy wyznaczaniu pierwiastków wymiernych wielomianu warto najpierw sprawdzić, czy wielomian ma pierwiastki całkowite, a dopiero później szukać pierwiastków w postaci ułamków.

Szczególnie istotne jest zrozumienie związku między współczynnikami wielomianu a jego pierwiastkami. Jeśli wielomian ma pierwiastek będący liczbą pierwszą, często prowadzi to do dodatkowych właściwości wielomianu, które można wykorzystać w rozwiązywaniu zadań.

Przykład: Rozważmy wielomian W(x) = x³ + 6x² + 3x + 10. Aby udowodnić, że ma tylko pierwiastki całkowite, wystarczy pokazać, że żaden z dzielników wyrazu wolnego nie jest pierwiastkiem wymiernym niebędącym liczbą całkowitą.

Podobne notatki

Know Funkcja wymierna dziedzina i działania thumbnail

35

1812

1/2

Funkcja wymierna dziedzina i działania

Funkcja wymierna dziedzina i działania Przykłady, rozszerzenie

Know mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych thumbnail

30

1614

1/2

mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

zasady mnożenia i dzielenia wyrażeń wymiernych wraz z zasadami

Know Twierdzenie Bèzouta thumbnail

10

363

1/2

Twierdzenie Bèzouta

twierdzenie Bézouta, twierdzenie twierdzenie reszcie , przykłady zadań źródło-matematyka 2 Nowa Era

Know wielomiany thumbnail

6

419

1/2

wielomiany

matematyka

Know Wielomiany, działania na wielomianach thumbnail

45

2256

1/2

Wielomiany, działania na wielomianach

Wielomiany

Know stopień i współczynniki wielomianu thumbnail

22

863

1/2

stopień i współczynniki wielomianu

Podstawowe informacje przy wyznaczaniu stopnia i współczynników wielomianu + zadania

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

15 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

/

Matematyka

/

Wielomiany

/

Działania na wielomianach

/

Wymierne pierwiastki o współczynnikach całkowitych

Jak Uporządkować Jednomiany w Klasie 7: Przykłady i Wskazówki

user profile picture

Madzmel

@madzmel

·

1862 Obserwujących

Obserwuj

Ekspert przedmiotu

Matematyka w klasie 7 wprowadza ważne pojęcia dotyczące jednomianów i wielomianów, które są fundamentalnymi elementami algebry. Jednomianem jest wyrażenie algebraiczne będące iloczynem liczby i zmiennych podniesionych do potęg naturalnych. Szczególnym przypadkiem jest jednomian stopnia zero, który jest po prostu liczbą.

Jednomiany podobne to wyrażenia algebraiczne, które mają takie same części literowe z takimi samymi wykładnikami potęg. Jednomiany klasa 7 obejmuje również zagadnienia związane z porządkowaniem jednomianów według stopnia. Warto pamiętać, że nie każde wyrażenie algebraiczne jest jednomianem - na przykład wyrażenia zawierające pierwiastki lub ułamki ze zmiennymi w mianowniku nie są jednomianami.

W przypadku wielomianów kluczowe jest zrozumienie pojęć takich jak stopień i współczynniki. Jak obliczyć stopień wielomianu - należy znaleźć największy wykładnik potęgi zmiennej występującej w wielomianie. Współczynniki wielomianu to liczby stojące przy odpowiednich potęgach zmiennej. Obliczanie wartości wielomianu polega na podstawieniu konkretnej liczby za zmienną i wykonaniu działań zgodnie z kolejnością. Szczególnie ważne jest rozumienie, jak oblicz współczynnik a wielomianu w różnych kontekstach, na przykład gdy znana jest wartość wielomianu dla konkretnego argumentu. Suma współczynników wielomianu może być pomocna w rozwiązywaniu różnych zadań algebraicznych i jest często wykorzystywana w bardziej zaawansowanych zagadnieniach matematycznych.

15.06.2022

5768

 

1/3

 

Matematyka

188

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej Jednomianem stopnia n, ne N,, jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy wyrażenie, które można zapisać

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Jednomiany i wielomiany - podstawowe pojęcia

Jednomian stopnia zero to stała liczba różna od zera. Przykładowo, liczba 4 jest jednomianem stopnia zero. Natomiast jednomian zerowy to stała równa 0 i nie ma określonego stopnia.

Definicja: Jednomianem nazywamy wyrażenie algebraiczne postaci ax^n, gdzie a jest współczynnikiem liczbowym różnym od zera, a n jest wykładnikiem potęgi będącym liczbą naturalną.

Jednomiany podobne to wyrażenia algebraiczne różniące się jedynie współczynnikami liczbowymi. Na przykład: 2x^2 i -5x^2 są jednomianami podobnymi, ponieważ mają tę samą zmienną x podniesioną do tej samej potęgi.

Przykład: Przykłady jednomianów podobnych:

  • 3x^2 i -2x^2
  • 5xy i -7xy
  • 4x^3y^2 i 9x^3y^2

Wielomian to suma jednomianów różnych stopni. Stopień wielomianu określa się jako najwyższą potęgę zmiennej występującą w wielomianie. Współczynniki wielomianu to liczby stojące przy odpowiednich potęgach zmiennej.

Ważne: Aby obliczyć wartość wielomianu dla danej liczby, należy:

  1. Podstawić liczbę w miejsce zmiennej
  2. Wykonać działania zgodnie z kolejnością
  3. Zredukować wyrazy podobne

Obliczanie stopnia wielomianu polega na znalezieniu najwyższej potęgi zmiennej występującej w wielomianie z niezerowym współczynnikiem. Na przykład dla wielomianu W(x) = 2x^3 - 4x^2 + 5x - 1 stopień wynosi 3.

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej Jednomianem stopnia n, ne N,, jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy wyrażenie, które można zapisać

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Działania na wielomianach

Dodawanie i odejmowanie wielomianów polega na:

  1. Zapisaniu wszystkich wyrazów obu wielomianów
  2. Redukcji wyrazów podobnych
  3. Uporządkowaniu wyrazów malejąco względem stopni

Przykład: Dodawanie wielomianów: W(x) = 2x^2 + 3x - 1 P(x) = -x^2 + 4x + 5 W(x) + P(x) = (2x^2 - x^2) + (3x + 4x) + (-1 + 5) = x^2 + 7x + 4

Mnożenie wielomianów wymaga:

  1. Pomnożenia każdego wyrazu pierwszego wielomianu przez każdy wyraz drugiego
  2. Dodania otrzymanych iloczynów
  3. Redukcji wyrazów podobnych

Definicja: Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej Jednomianem stopnia n, ne N,, jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy wyrażenie, które można zapisać

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wzory skróconego mnożenia dla wielomianów

Podstawowe wzory skróconego mnożenia dla wielomianów to:

Wzory:

  • (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
  • (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
  • (a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Dla trzeciej potęgi mamy:

  • (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
  • (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Przykład: Zastosowanie wzoru (a + b)^3: (x + 2)^3 = x^3 + 3x^2•2 + 3x•2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej Jednomianem stopnia n, ne N,, jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy wyrażenie, które można zapisać

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wartość wielomianu i współczynniki

Obliczanie wartości wielomianu polega na podstawieniu konkretnej liczby za zmienną i wykonaniu działań.

Przykład: Dla wielomianu W(x) = x^2 - 2x + 1 obliczamy W(3): W(3) = 3^2 - 2•3 + 1 = 9 - 6 + 1 = 4

Współczynniki wielomianu to liczby stojące przy odpowiednich potęgach zmiennej. Aby znaleźć współczynnik przy danej potędze:

  1. Zapisujemy wielomian w postaci uporządkowanej
  2. Odczytujemy liczbę stojącą przy szukanej potędze

Ważne: Suma wszystkich współczynników wielomianu W(x) jest równa wartości W(1).

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej Jednomianem stopnia n, ne N,, jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy wyrażenie, które można zapisać

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wielomiany i ich podzielność

Definicja: Wielomian to wyrażenie algebraiczne będące sumą jednomianów różnych stopni, gdzie każdy jednomian zawiera zmienną podniesioną do nieujemnej potęgi całkowitej.

Wielomiany są podstawowymi obiektami w algebrze, które znajdują szerokie zastosowanie w matematyce i naukach ścisłych. Kluczowym aspektem wielomianów jest ich podzielność, która pozwala na rozkład na prostsze czynniki.

Przykład: Wielomian W(x) = x³ + 2x² - 5x + 3 jest wielomianem stopnia trzeciego, gdzie:

  • x³ to jednomian stopnia 3
  • 2x² to jednomian stopnia 2
  • -5x to jednomian stopnia 1
  • 3 to jednomian stopnia 0

Współczynniki wielomianu to liczby stojące przy odpowiednich potęgach zmiennej. W powyższym przykładzie współczynnikami są: 1, 2, -5, 3. Szczególnie ważnym pojęciem jest stopień wielomianu, który określa najwyższą potęgę zmiennej występującą w wielomianie.

Ważne: Wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki wielomian Q(x), że W(x) = P(x) · Q(x).

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej Jednomianem stopnia n, ne N,, jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy wyrażenie, które można zapisać

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Pierwiastki wielomianu i twierdzenie Bézouta

Definicja: Pierwiastkiem wielomianu nazywamy taką liczbę a, dla której W(a) = 0.

Twierdzenie Bézouta stanowi fundamentalne narzędzie w badaniu pierwiastków wielomianu. Mówi ono, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x - a).

Przykład: Dla wielomianu W(x) = x² - 4x + 4:

  • Sprawdzamy W(2) = 4 - 8 + 4 = 0
  • Zatem 2 jest pierwiastkiem tego wielomianu
  • Wielomian można zapisać jako W(x) = (x - 2)(x - 2)

Znajomość pierwiastków wielomianu pozwala na jego rozkład na czynniki liniowe, co jest kluczowe w wielu zastosowaniach matematycznych.

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej Jednomianem stopnia n, ne N,, jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy wyrażenie, które można zapisać

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Schemat Hornera i dzielenie wielomianów

Wskazówka: Schemat Hornera to efektywna metoda dzielenia wielomianu przez dwumian postaci (x - a).

Schemat Hornera znajduje szerokie zastosowanie w:

  • Obliczaniu wartości wielomianu dla danego argumentu
  • Dzieleniu wielomianu przez dwumian
  • Rozkładzie wielomianu na czynniki

Przykład: Dla wielomianu W(x) = 2x³ - 3x² + 4x - 1 i dzielnika (x - 2):

  1. Zapisujemy współczynniki: 2, -3, 4, -1
  2. Wykonujemy schemat Hornera
  3. Otrzymujemy iloraz i resztę z dzielenia
Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej Jednomianem stopnia n, ne N,, jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy wyrażenie, które można zapisać

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Zastosowania wielomianów w praktyce

Ważne: Wielomiany znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach, od matematyki po nauki przyrodnicze i inżynierię.

Praktyczne zastosowania wielomianów obejmują:

  • Modelowanie zjawisk fizycznych
  • Aproksymację funkcji
  • Rozwiązywanie równań algebraicznych
  • Optymalizację procesów

Przykład: W fizyce wielomiany opisują:

  • Ruch ciał w polu grawitacyjnym
  • Drgania mechaniczne
  • Przepływ ciepła
  • Zjawiska elektryczne

Zrozumienie własności wielomianów i umiejętność operowania nimi stanowi podstawę wielu zaawansowanych zagadnień matematycznych i ich praktycznych zastosowań.

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej Jednomianem stopnia n, ne N,, jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy wyrażenie, które można zapisać

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Pierwiastki Wymierne Wielomianów - Teoria i Zastosowania

Wielomiany stopień i współczynniki wielomianu stanowią podstawę do zrozumienia pierwiastków wymiernych. Wielomian o współczynnikach całkowitych może posiadać pierwiastki całkowite lub wymierne, które podlegają szczególnym regułom. Kluczowe jest zrozumienie, że pierwiastek całkowity wielomianu o współczynnikach całkowitych musi być dzielnikiem wyrazu wolnego.

Definicja: Pierwiastek wymierny wielomianu to taka liczba, która po podstawieniu w miejsce zmiennej daje wartość zero. Jeśli jest zapisany w postaci ułamka nieskracalnego p/q, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a q jest dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze.

Przy obliczaniu wartości wielomianu z pierwiastkami wymiernymi należy systematycznie sprawdzać wszystkie możliwe dzielniki wyrazu wolnego. Jest to metoda skuteczna, choć czasochłonna. W praktyce często wykorzystuje się twierdzenie o pierwiastkach wymiernych, które znacząco ogranicza liczbę wartości do sprawdzenia.

Przykład: Dla wielomianu W(x) = 2x³ - 2x² - 2x - 4, dzielniki wyrazu wolnego (-4) to: ±1, ±2, ±4. Sprawdzając te wartości, możemy znaleźć wszystkie pierwiastki całkowite.

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej Jednomianem stopnia n, ne N,, jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy wyrażenie, które można zapisać

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Metody Wyznaczania Pierwiastków Wielomianów

Obliczanie wartości wielomianu zadania wymaga systematycznego podejścia. Pierwszym krokiem jest zawsze identyfikacja potencjalnych pierwiastków poprzez analizę wyrazu wolnego i współczynnika przy najwyższej potędze.

Wskazówka: Przy wyznaczaniu pierwiastków wymiernych wielomianu warto najpierw sprawdzić, czy wielomian ma pierwiastki całkowite, a dopiero później szukać pierwiastków w postaci ułamków.

Szczególnie istotne jest zrozumienie związku między współczynnikami wielomianu a jego pierwiastkami. Jeśli wielomian ma pierwiastek będący liczbą pierwszą, często prowadzi to do dodatkowych właściwości wielomianu, które można wykorzystać w rozwiązywaniu zadań.

Przykład: Rozważmy wielomian W(x) = x³ + 6x² + 3x + 10. Aby udowodnić, że ma tylko pierwiastki całkowite, wystarczy pokazać, że żaden z dzielników wyrazu wolnego nie jest pierwiastkiem wymiernym niebędącym liczbą całkowitą.

Podobne notatki

Matematyka - Funkcja wymierna dziedzina i działania

Funkcja wymierna dziedzina i działania Przykłady, rozszerzenie

35

1812

0

Know Funkcja wymierna dziedzina i działania thumbnail

Matematyka - mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

zasady mnożenia i dzielenia wyrażeń wymiernych wraz z zasadami

30

1614

0

Know mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych thumbnail

Matematyka - Twierdzenie Bèzouta

twierdzenie Bézouta, twierdzenie twierdzenie reszcie , przykłady zadań źródło-matematyka 2 Nowa Era

10

363

0

Know Twierdzenie Bèzouta thumbnail

Matematyka - wielomiany

matematyka

6

419

0

Know wielomiany thumbnail

Matematyka - Wielomiany, działania na wielomianach

Wielomiany

45

2256

0

Know Wielomiany, działania na wielomianach thumbnail

Matematyka - stopień i współczynniki wielomianu

Podstawowe informacje przy wyznaczaniu stopnia i współczynników wielomianu + zadania

22

863

0

Know stopień i współczynniki wielomianu thumbnail

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

15 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.