Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej

Jednomian to wyrażenie algebraiczne w postaci $ax^n$, gdzie $a$ to współczynnik liczbowy różny od zera, a $n$ to stopień jednomianu (liczba naturalna). Jeśli $a=0$, mówimy o jednomianie zerowym, który nie ma określonego stopnia.

Warto zapamiętać specjalne przypadki:

• Jednomian stopnia zero to po prostu stała różna od zera (np. 5, -3)
• Jednomiany podobne to takie, które różnią się tylko współczynnikami (np. $3x^2$ i $-4x^2$)

Wielomian stopnia $n$ to wyrażenie w postaci: $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0$

gdzie $a_n \neq 0$. Liczbę $a_0$ nazywamy wyrazem wolnym, a wszystkie liczby $a_i$ to współczynniki wielomianu.

Wskazówka! Suma wszystkich współczynników wielomianu $W(x)$ jest równa wartości $W(1)$. To przydatny skrót przy obliczeniach!

Aby określić stopień wielomianu, znajdź najwyższą potęgę zmiennej z niezerowym współczynnikiem. Na przykład wielomian $3x^2 - 2x^5 + 4$ ma stopień 5, bo najwyższa potęga to $x^5$.

Aby uporządkować jednomiany i wielomiany, zazwyczaj zapisujemy je według malejących lub rosnących potęg zmiennej. Na przykład, wielomian $F(x) = 2 - 4x^2 + 8x + 3x^2 + 8$ po uporządkowaniu rosnąco przyjmuje postać $F(x) = 10 + 8x - x^2$.

Obliczanie wartości wielomianu polega na podstawieniu konkretnej liczby za zmienną. Przykładowo, dla $W(x) = -x^3 + 4x^2 - 7$ i $x = -3$, mamy $W(-3) = -(-3)^3 + 4(-3)^2 - 7 = 27 + 36 - 7 = 56$.

Pamiętaj też, że współczynnik $a$ wielomianu możemy obliczyć, gdy znamy wartość wielomianu dla konkretnego $x$. Na przykład, dla $W(x) = x^2 - 2x^3 + ax + 3$ i $W(-2) = -1$, wstawiając otrzymujemy $a = 2$.

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów

Działania na wielomianach są bardzo podobne do działań na liczbach, tylko musimy uwzględnić zmienne.

Dodawanie wielomianów jest proste - łączymy podobne wyrazy i redukujemy je:

1. Zapisz wszystkie wyrazy pierwszego i drugiego wielomianu
2. Przeprowadź redukcję wyrazów podobnych

Na przykład: $W(x) = 3x^5 - 8x^2 + 2x^3 - x$ i $P(x) = 9x^5 + 9x^2 - 6x^3 + 1$ $W(x) + P(x) = 12x^5 - 4x^3 + x^2 - x + 1$

Odejmowanie wielomianów działa podobnie, tylko zmieniamy znaki w drugim wielomianie: $W(x) - P(x) = 3x^5 - 8x^2 + 2x^3 - x - (9x^5 + 9x^2 - 6x^3 + 1) = -6x^5 + 8x^3 - 17x^2 - x - 1$

Mnożenie wielomianów wymaga zastosowania prawa rozdzielności:

1. Pomnóż każdy wyraz pierwszego wielomianu przez każdy wyraz drugiego
2. Wykonaj redukcję wyrazów podobnych

Ciekawostka! Zanim zajmiesz się skomplikowanymi obliczeniami, sprawdź, czy nie możesz zastosować jakiegoś przekształcenia. Czasem proste przekształcenie, jak wyniesienie wspólnego czynnika poza nawias, może znacznie uprościć zadanie.

Wielomian uporządkowany malejąco jest łatwiejszy do analizy. Dla $W(x) = -3x^2 + 4x^2 + 2x - 1$, po uporządkowaniu malejąco otrzymujemy $W(x) = x^2 + 2x - 1$.

Możemy też tworzyć nowy wielomian $F(x)$ na podstawie innego wielomianu $W(x)$. Na przykład:

• Jeśli $F(x) = 4 - W(x)$, to $F(x) = 4 - (x^2 + 2x - 1) = 5 - x^2 - 2x$
• Jeśli $F(x) = x^2 \cdot W(x)$, to $F(x) = x^2(x^2 + 2x - 1) = x^4 + 2x^3 - x^2$

Przy mnożeniu wielomianów złożonych warto je najpierw uporządkować, a następnie zastosować zasadę mnożenia "każdy z każdym".

Równość wielomianów

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam stopień i równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej (lub są to wielomiany zerowe).

Aby sprawdzić równość wielomianów:

1. Uporządkuj oba wielomiany (najlepiej malejąco)
2. Porównaj współczynniki przy tych samych potęgach

Na przykład, aby sprawdzić czy $W(x) = (3x-1)(4-2x)(x+1)$ i $P(x) = -6x^3 + 8x^2 + 10x - 4$ są równe:

• Rozwiń $W(x) = (3x-1)(4-2x)(x+1) = (3x-1)(-2x^2-2x+4+4x) = (3x-1)(-2x^2+2x+4) = -6x^3+6x^2+12x+2x^2-2x-4 = -6x^3+8x^2+10x-4$
• Porównując z $P(x)$, widzimy że oba wielomiany są równe.

Znajdowanie współczynników często wymaga rozwiązania układu równań. Jeśli wielomiany $W(x)$ i $P(x)$ mają być równe, to współczynniki przy tych samych potęgach muszą być równe.

Sprytne rozwiązanie! Gdy masz równość wielomianów z niewiadomymi współczynnikami, często wystarczy podstawić kilka wartości za $x$ (np. 0, 1, -1), aby uzyskać układ równań dla współczynników.

Na przykład, jeśli mamy: $W(x) = x^3 + ax^2 + 3x + 1$ i $P(x) = x^3-7x^2 + 8x + 5$ oraz wiemy, że wielomiany są równe, to porównując współczynniki mamy:

• przy $x^3$: 1 = 1 ✓
• przy $x^2$: $a = -7$
• przy $x$: 3 = 8 ✗
• wyraz wolny: 1 = 5 ✗

Ponieważ nie wszystkie współczynniki są równe, wielomiany nie są równe.

Przy rozwiązywaniu złożonych zadań często trzeba wyznaczać współczynniki $a$ i $b$ tak, aby pewne wielomiany były równe. Trzeba wtedy stworzyć układ równań z warunków równości i go rozwiązać.

Wzory skróconego mnożenia stopnia 3

Znajomość poniższych wzorów znacznie przyspiesza wykonywanie działań na wielomianach:

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Te wzory są niezwykle przydatne przy obliczaniu sześcianów różnych wyrażeń, np. $(1 - \sqrt{3})^3 = 1 - 3\sqrt{3} + 3(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^3 = 1 - 3\sqrt{3} + 9 - 3\sqrt{3} = 10 - 6\sqrt{3}$.

Wzory te przydają się też przy rozkładaniu wyrażeń na czynniki. Na przykład: $x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$

Uwaga! Zawsze sprawdzaj, czy dane wyrażenie można przekształcić używając wzorów skróconego mnożenia, zanim zaczniesz żmudne obliczenia.

Przykłady zastosowania:

• $(x - 1)^3 + (2 - x)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 + 8 - 12x + 6x^2 - x^3 = 3x^2 - 9x + 7$
• $(x + 1)(x^2 - x + 1) + (1 - x)^3 = x^3 + 1 + 1 - 3x + 3x^2 - x^3 = 3x^2 - 3x + 2$

Pamiętaj, że wzory skróconego mnożenia można łączyć ze sobą, aby rozwiązywać bardziej złożone problemy. Na przykład, $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$ możemy uprościć, znając właściwości sumy sześcianów.

Również przy dowodzeniu twierdzeń matematycznych wzory te są nieocenione. Pozwalają szybko przekształcać złożone wyrażenia algebraiczne na prostsze postaci.

Przydatne są też niektóre klasyczne wzory:

• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Zadania z wielomianami

Rozwiązywanie równań wielomianowych to sztuka, która wymaga znajomości różnych technik. Typowe równania, które możesz spotkać to:

$$$(x-1)^3 + 35 = 4(x+1)^2 - (2-x)(4+2x+x^2)$$$

Aby rozwiązać takie równanie:

1. Wykonaj działania po obu stronach równania
2. Uporządkuj wszystkie wyrazy, przenosząc je na jedną stronę
3. Sprowadź do standardowej postaci wielomianu równego zero
4. Rozkład wielomian na czynniki lub znajdź jego pierwiastki

Usuwanie niewymierności z mianownika to ważna umiejętność, np.:

$$$\frac{1}{\sqrt{3}}$$$

Mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt{3}$: $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$$

Przy bardziej złożonych wyrażeniach, jak $\frac{2}{2-\sqrt{2}}$, mnożymy przez sprzężenie mianownika: $$\frac{2}{2-\sqrt{2}} \cdot \frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{2(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{4+2\sqrt{2}}{4-2} = \frac{4+2\sqrt{2}}{2} = 2+\sqrt{2}$$$

Wskazówka praktyczna! Przy usuwaniu niewymierności z mianownika zawsze mnóż przez wyrażenie sprzężone - uprości to obliczenia.

Rozwiązywanie nierówności z wielomianami:

1. Przekształć nierówność do postaci $W(x) > 0$ (lub $W(x) < 0$)
2. Rozkład wielomian na czynniki
3. Znajdź miejsca zerowe i zbadaj znaki na przedziałach

Na przykład: $(x-2)^3 + 7x^2 + (2+x)(x^2-2x+4) > 2x^2 + 12x + 25$

Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia w dowodzeniu

Dowodzenie twierdzeń dotyczących wielomianów często wykorzystuje wzory skróconego mnożenia. Oto kilka typowych przykładów:

Wykazywanie podzielności liczb: Aby pokazać, że liczba $207^3 + 148^3$ jest podzielna przez 71, zastosuj wzór na sumę sześcianów: $207^3 + 148^3 = (207 + 148)[(207)^2 - 207 \cdot 148 + (148)^2]$

Ponieważ $207 + 148 = 355 = 71 \cdot 5$, cała suma jest podzielna przez 71.

Badanie reszty z dzielenia: Aby sprawdzić, jaką resztę daje liczba przy dzieleniu przez inną, możesz zapisać: $a = bk + r$, gdzie $r$ to reszta z dzielenia $a$ przez $b$.

Na przykład, dla liczby $a = 5k + 3$ przy podnoszeniu do sześcianu: $a^3 = (5k+3)^3 = 125k^3 + 225k^2 + 135k + 27 = 5(25k^3 + 45k^2 + 27k + 5) + 2$

Czyli przy dzieleniu przez 5 otrzymujemy resztę 2.

Ciekawostka matematyczna: Badanie reszty z dzielenia potęg liczb to podstawa arytmetyki modularnej, która znajduje zastosowanie w kryptografii!

Znajdowanie związków między liczbami: Gdy znamy relacje typu $a - b = 5$ i $ab = 7$, możemy znaleźć $a^3 - b^3$ używając wzoru: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) = 5(a^2 + 7 + b^2)$

Następnie, korzystając z faktu, że $a = 5 + b$, wstawiamy i obliczamy.

W matematyce często opieramy dowody na równościach. Na przykład, aby pokazać, że dla $a + b = 4$ i $ab + 9 = 0$ zachodzi $a^3 + b^3 = 172$, używamy wzoru: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = 4(a^2 - ab + b^2) = 4(a^2 + b^2 - ab) = 4((a+b)^2 - 3ab) = 4(16 - 3(-9)) = 4(16 + 27) = 172$

Podzielność wielomianów

Wielomian $W(x)$ jest podzielny przez wielomian $P(x)$ (różny od zera), gdy istnieje taki wielomian $Q(x)$, że $W(x) = Q(x) \cdot P(x)$. Wtedy $Q(x)$ nazywamy ilorazem, a $P(x)$ dzielnikiem wielomianu $W(x)$.

Aby wskazać wielomian pierwszego stopnia, przez który jest podzielny dany wielomian, szukaj jego pierwiastków. Na przykład, wielomian $W(x) = x^3 - 1$ jest podzielny przez $(x - 1)$, ponieważ 1 jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Podobnie, wielomian $W(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x + 1)^3$ jest podzielny przez $(x + 1)$.

Wskazówka praktyczna! Aby szybko sprawdzić, czy wielomian $W(x)$ jest podzielny przez dwumian $(x - a)$, wystarczy obliczyć $W(a)$. Jeśli $W(a) = 0$, to wielomian jest podzielny przez $(x - a)$.

Przy znajdowaniu wielomianu dzielącego dany wielomian warto rozkładać wielomian na czynniki. Na przykład, dla $W(x) = (4x^2 - 9)(x^2 - 4x - 5)$, dzielnikami pierwszego stopnia będą:

• $(x - \frac{3}{2})$ i $(x + \frac{3}{2})$ z pierwszego nawiasu
• $(x - 5)$ i $(x + 1)$ z drugiego nawiasu

Gdy znamy iloraz i dzielnik, możemy znaleźć wielomian wyjściowy przez pomnożenie. Na przykład, jeśli $Q(x) = 4 + 3x$ jest ilorazem z dzielenia $W(x)$ przez $P(x)$, to $W(x) = (4 + 3x) \cdot P(x)$.

Gdy mamy wielomian $W(x) = 2x^3 + 11x^2 + ax + b$ podzielny przez $P(x) = 1 - 2x$ z ilorazem $Q(x) = 5x^2 - 3x + 2$, możemy wyznaczyć $a$ i $b$ przez porównanie wielomianów: $W(x) = Q(x) \cdot P(x) = (5x^2 - 3x + 2)(1 - 2x)$

Po rozwinięciu i porównaniu współczynników możemy obliczyć wartości $a$ i $b$.

Dzielenie wielomianu przez dwumian liniowy. Schemat Hornera

Dzielenie wielomianu przez dwumian $x - p$ daje nam wielomian niższego stopnia oraz resztę: $W(x) = (x - p)Q(x) + r$

Ważne jest, że reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumian $x - p$ jest równa $W(p)$. To tzw. twierdzenie o reszcie.

Schemat Hornera to szybka metoda dzielenia wielomianu przez dwumian liniowy. Polega na systematycznym układaniu współczynników:

1. Zapisz współczynniki wielomianu w jednym wierszu
2. Wartość $p$ (z dwumianu $x - p$) zapisz po lewej stronie
3. Pierwszy współczynnik wielomianu przepisz
4. Każdy następny element to: poprzedni element × $p$ + kolejny współczynnik wielomianu

Na przykład, dzieląc $W(x) = x^3 + 2x^2 + x - 4$ przez $x - 1$:

1 | 1  2  1  -4
  | 1  3  4   0

Ostatnia liczba (0) to reszta, a pozostałe (1, 3, 4) to współczynniki ilorazu: $x^2 + 3x + 4$.

Wskazówka! Schemat Hornera pozwala także szybko obliczać wartość wielomianu dla danego argumentu.

Obliczanie reszty z dzielenia jest bardzo przydatne. Na przykład, reszta z dzielenia $W(x) = -2x^3 + 4x^2 - 5x + 1$ przez $x - 2$ wynosi $W(2) = -16 + 16 - 10 + 1 = -9$.

Przy parametrach często obliczamy, dla jakich wartości parametru wielomian jest podzielny przez dany dwumian. Na przykład, dla $W(x) = x^3 + (k+1)x^2 - 2kx - 15$ podzielnego przez $x + 3$, obliczamy $W(-3) = 0$, co daje nam równanie dla $k$.

Również możemy znaleźć parametry, dla których reszta z dzielenia spełnia określone warunki. Na przykład, gdy reszta z dzielenia $W(x) = m^2x^2 - 8x + 5m$ przez $x - 1$ ma wynosić $-1$, rozwiązujemy równanie $W(1) = -1$.

Pierwiastek wielomianu. Twierdzenie Bézouta

Pierwiastek wielomianu to liczba rzeczywista $a$, dla której $W(a) = 0$. Twierdzenie Bézouta mówi, że liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $W(x)$ jest podzielny przez dwumian $x - a$.