Przedmioty
Kariera
Język polski
Biologia
Chemia
Geografia
Historia
Komórka
Organizm człowieka jako funkcjonalna całość
Bakterie i wirusy. organizmy beztkankowe
Układ krążenia
Genetyka klasyczna
Ekologia
Stawonogi. mięczaki
Metabolizm
Układ wydalniczy
Genetyka molekularna
Układ pokarmowy
Kręgowce zmiennocieplne
Genetyka
Rozmnażanie i rozwój człowieka
Chemiczne podstawy życia
Pokaż wszystkie tematy
Budowa atomu a układ okresowy pierwiastków chemicznych
Efekty energetyczne i szybkość reakcji chemicznych
Węglowodory
Reakcje chemiczne w roztworach wodnych
Stechiometria
Układ okresowy pierwiastków chemicznych
Systematyka związków nieorganicznych
Pochodne węglowodorów
Sole
Świat substancji
Gazy i ich mieszaniny
Kwasy
Roztwory
Reakcje utleniania-redukcji. elektrochemia
Łączenie się atomów
Pokaż wszystkie tematy
88
0
Wysokości w trójkącie. Środkowe w trójkącie
6121
•
2 lip 2025
•
Wysokości i środkowe w trójkątach - kluczowe pojęcia geometryczne
Dokument... Pokaż więcej
W tej części dokumentu przedstawiono wzory na wysokość w trójkącie równoramiennym, wzór na wysokość w trójkącie równobocznym oraz wzór na wysokość w trójkącie prostokątnym. Te formuły są niezwykle przydatne przy obliczaniu wysokości w trójkącie mając boki.
Dla trójkąta równoramiennego, wysokości opadające na ramiona są równe, a najdłuższa wysokość opada na podstawę, dzieląc ją na dwie równe części. Do obliczenia tej wysokości można wykorzystać twierdzenie Pitagorasa:
Example: h² + ² = b², gdzie h to wysokość, a to długość podstawy, a b to długość ramienia.
W przypadku trójkąta równobocznego, wszystkie wysokości mają tę samą długość. Wzór na wysokość w trójkącie równobocznym to:
Formula: h = /2, gdzie a to długość boku trójkąta.
Dla trójkąta prostokątnego, wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną można obliczyć ze wzoru:
Formula: h² = , gdzie a₁ i b₁ to odcinki, na które wysokość dzieli przeciwprostokątną.
Highlight: Znajomość tych wzorów znacznie ułatwia obliczanie wysokości w trójkącie rozwartokątnym oraz w innych typach trójkątów.
Środkowe są kolejnym ważnym elementem geometrii trójkąta. Wzór na środkową w trójkącie oraz długość środkowej w trójkącie to kluczowe zagadnienia w tej części.
Definition: Środkową trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek z środkiem przeciwległego boku.
Każdy trójkąt ma trzy środkowe, które przecinają się w jednym punkcie zwanym środkiem ciężkości trójkąta. Środek ciężkości dzieli każdą środkową w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka.
Highlight: Środek ciężkości zawsze znajduje się wewnątrz trójkąta, niezależnie od jego rodzaju.
W trójkącie równoramiennym, środkowa poprowadzona na najkrótszy bok pokrywa się z jego wysokością, a dwie pozostałe środkowe są równe. To ważna właściwość przy obliczaniu środkowej w trójkącie równoramiennym.
Example: W trójkącie równoramiennym: h = s₁, s₂ = s₃, gdzie h to wysokość, a s to środkowe.
W trójkącie równobocznym każda wysokość ma taką samą długość jak środkowa.
Vocabulary: Ortocentrum to punkt przecięcia wysokości trójkąta.
Highlight: Ważne jest, aby pamiętać, że środkowe nie muszą biec pod kątem prostym do boków trójkąta.
Dla trójkąta prostokątnego, wzór na długość środkowej opuszczonej na przeciwprostokątną to:
Formula: s = c/2√2, gdzie c to długość przeciwprostokątnej.
Znajomość tych właściwości i wzorów jest kluczowa dla zrozumienia geometrii trójkątów i rozwiązywania związanych z nimi problemów matematycznych.
Wysokości w trójkącie to kluczowe elementy geometryczne, które mają istotne znaczenie w analizie i obliczeniach związanych z trójkątami. Wysokość trójkąta jest definiowana jako odcinek poprowadzony z wierzchołka trójkąta prostopadle do przeciwległego boku lub jego przedłużenia. Każdy trójkąt posiada trzy wysokości, które przecinają się w jednym punkcie zwanym ortocentrum.
Definicja: Wysokością w trójkącie nazywamy odcinek, który opada z dowolnego wierzchołka na przeciwległy bok pod kątem prostym.
Położenie ortocentrum zależy od rodzaju trójkąta: a) W trójkącie ostrokątnym ortocentrum znajduje się wewnątrz trójkąta. b) W trójkącie prostokątnym ortocentrum pokrywa się z wierzchołkiem kąta prostego. c) W trójkącie rozwartokątnym ortocentrum leży poza trójkątem.
Vocabulary: Spodek wysokości to punkt, w którym wysokość przecina bok trójkąta lub jego przedłużenie.
Highlight: Każda wysokość trójkąta ma swój spodek wysokości, co jest istotne przy rozwiązywaniu zadań geometrycznych.
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Wysokości i środkowe w trójkątach - kluczowe pojęcia geometryczne
Dokument omawia szczegółowo wysokości i środkowe w różnych rodzajach trójkątów, prezentując definicje, właściwości i wzory. Skupia się na wzorach na wysokość w trójkącie dowolnym, równobocznym, prostokątnym i równoramiennym, a także... Pokaż więcej
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
W tej części dokumentu przedstawiono wzory na wysokość w trójkącie równoramiennym, wzór na wysokość w trójkącie równobocznym oraz wzór na wysokość w trójkącie prostokątnym. Te formuły są niezwykle przydatne przy obliczaniu wysokości w trójkącie mając boki.
Dla trójkąta równoramiennego, wysokości opadające na ramiona są równe, a najdłuższa wysokość opada na podstawę, dzieląc ją na dwie równe części. Do obliczenia tej wysokości można wykorzystać twierdzenie Pitagorasa:
Example: h² + ² = b², gdzie h to wysokość, a to długość podstawy, a b to długość ramienia.
W przypadku trójkąta równobocznego, wszystkie wysokości mają tę samą długość. Wzór na wysokość w trójkącie równobocznym to:
Formula: h = /2, gdzie a to długość boku trójkąta.
Dla trójkąta prostokątnego, wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną można obliczyć ze wzoru:
Formula: h² = , gdzie a₁ i b₁ to odcinki, na które wysokość dzieli przeciwprostokątną.
Highlight: Znajomość tych wzorów znacznie ułatwia obliczanie wysokości w trójkącie rozwartokątnym oraz w innych typach trójkątów.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Środkowe są kolejnym ważnym elementem geometrii trójkąta. Wzór na środkową w trójkącie oraz długość środkowej w trójkącie to kluczowe zagadnienia w tej części.
Definition: Środkową trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek z środkiem przeciwległego boku.
Każdy trójkąt ma trzy środkowe, które przecinają się w jednym punkcie zwanym środkiem ciężkości trójkąta. Środek ciężkości dzieli każdą środkową w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka.
Highlight: Środek ciężkości zawsze znajduje się wewnątrz trójkąta, niezależnie od jego rodzaju.
W trójkącie równoramiennym, środkowa poprowadzona na najkrótszy bok pokrywa się z jego wysokością, a dwie pozostałe środkowe są równe. To ważna właściwość przy obliczaniu środkowej w trójkącie równoramiennym.
Example: W trójkącie równoramiennym: h = s₁, s₂ = s₃, gdzie h to wysokość, a s to środkowe.
W trójkącie równobocznym każda wysokość ma taką samą długość jak środkowa.
Vocabulary: Ortocentrum to punkt przecięcia wysokości trójkąta.
Highlight: Ważne jest, aby pamiętać, że środkowe nie muszą biec pod kątem prostym do boków trójkąta.
Dla trójkąta prostokątnego, wzór na długość środkowej opuszczonej na przeciwprostokątną to:
Formula: s = c/2√2, gdzie c to długość przeciwprostokątnej.
Znajomość tych właściwości i wzorów jest kluczowa dla zrozumienia geometrii trójkątów i rozwiązywania związanych z nimi problemów matematycznych.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Wysokości w trójkącie to kluczowe elementy geometryczne, które mają istotne znaczenie w analizie i obliczeniach związanych z trójkątami. Wysokość trójkąta jest definiowana jako odcinek poprowadzony z wierzchołka trójkąta prostopadle do przeciwległego boku lub jego przedłużenia. Każdy trójkąt posiada trzy wysokości, które przecinają się w jednym punkcie zwanym ortocentrum.
Definicja: Wysokością w trójkącie nazywamy odcinek, który opada z dowolnego wierzchołka na przeciwległy bok pod kątem prostym.
Położenie ortocentrum zależy od rodzaju trójkąta: a) W trójkącie ostrokątnym ortocentrum znajduje się wewnątrz trójkąta. b) W trójkącie prostokątnym ortocentrum pokrywa się z wierzchołkiem kąta prostego. c) W trójkącie rozwartokątnym ortocentrum leży poza trójkątem.
Vocabulary: Spodek wysokości to punkt, w którym wysokość przecina bok trójkąta lub jego przedłużenie.
Highlight: Każda wysokość trójkąta ma swój spodek wysokości, co jest istotne przy rozwiązywaniu zadań geometrycznych.
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
