Otwórz aplikację

Przedmioty

946

1 kwi 2022

1 strona

Zabawa z Wzorami Skróconego Mnożenia i Trójkątem Pascala

Wzory skróconego mnożenia i trójkąt Pascala to kluczowe koncepcje w... Pokaż więcej

ustory
SKRÓCONEGO
SKRóconego muożenia
(a + b) ² = a ² + 2ab +6²
(a - b)² = a² - 2ab +6²
a²- 6² = (a-b)(a+b)
62
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² +

Wzory skróconego mnożenia i trójkąt Pascala

Strona ta przedstawia kluczowe wzory skróconego mnożenia oraz strukturę trójkąta Pascala, które są niezbędne w algebrze i matematyce wyższej. Dokument zawiera przejrzyste zestawienie najważniejszych wzorów wraz z ich algebraiczną reprezentacją.

Highlight: Wzory skróconego mnożenia są niezwykle użyteczne w upraszczaniu złożonych wyrażeń algebraicznych i przyspieszaniu obliczeń.

Wśród przedstawionych wzorów skróconego mnożenia znajdują się:

  1. Kwadrat sumy: a+ba + b² = a² + 2ab + b²
  2. Kwadrat różnicy: aba - b² = a² - 2ab + b²
  3. Różnica kwadratów: a² - b² = aba - ba+ba + b
  4. Sześcian sumy: a+ba + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
  5. Sześcian różnicy: aba - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
  6. Suma sześcianów: a³ + b³ = a+ba + ba2ab+b2a² - ab + b²
  7. Różnica sześcianów: a³ - b³ = aba - ba2+ab+b2a² + ab + b²

Example: Zastosowanie wzoru na kwadrat sumy a+ba + b² = a² + 2ab + b² pozwala szybko obliczyć np. 5+35 + 3² = 5² + 2·5·3 + 3² = 25 + 30 + 9 = 64, bez konieczności mnożenia 5+35 + 3 przez 5+35 + 3.

Dokument prezentuje również trójkąt Pascala, który jest ściśle związany z rozwinięciem dwumianu Newtona. Trójkąt ten pokazuje współczynniki w kolejnych potęgach dwumianu a+ba + b.

Definition: Trójkąt Pascala to trójkątny układ liczb, w którym każda liczba jest sumą dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio nad nią.

Struktura trójkąta Pascala jest przedstawiona wraz z przykładami rozwinięć dwumianu dla kolejnych potęg:

  • a+ba + b⁰ = 1
  • a+ba + b¹ = a + b
  • a+ba + b² = a² + 2ab + b²
  • a+ba + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
  • a+ba + b⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Vocabulary: Symbol Newtona to zapis używany do reprezentacji współczynników w rozwinięciu dwumianu Newtona, który można odczytać bezpośrednio z trójkąta Pascala.

Dokument kończy się prezentacją wzoru na kwadrat sumy trzech składników: a+b+ca + b + c² = a² + b² + c² + 2ab+ac+bcab + ac + bc, co stanowi rozszerzenie podstawowych wzorów skróconego mnożenia.

Highlight: Znajomość wzorów skróconego mnożenia i trójkąta Pascala jest kluczowa dla uczniów liceum i studentów matematyki, ułatwiając rozwiązywanie zadań z algebry i analizy matematycznej.



Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

 

Matematyka

946

1 kwi 2022

1 strona

Zabawa z Wzorami Skróconego Mnożenia i Trójkątem Pascala

Wzory skróconego mnożenia i trójkąt Pascala to kluczowe koncepcje w algebrze, ułatwiające obliczenia i rozumienie struktury wielomianów. Dokument przedstawia najważniejsze wzory skróconego mnożenia oraz strukturę trójkąta Pascala, ilustrując ich zastosowanie w rozwijaniu dwumianów.

  • Wzory skróconego mnożeniaobejmują kwadraty sum i... Pokaż więcej

ustory
SKRÓCONEGO
SKRóconego muożenia
(a + b) ² = a ² + 2ab +6²
(a - b)² = a² - 2ab +6²
a²- 6² = (a-b)(a+b)
62
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² +

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wzory skróconego mnożenia i trójkąt Pascala

Strona ta przedstawia kluczowe wzory skróconego mnożenia oraz strukturę trójkąta Pascala, które są niezbędne w algebrze i matematyce wyższej. Dokument zawiera przejrzyste zestawienie najważniejszych wzorów wraz z ich algebraiczną reprezentacją.

Highlight: Wzory skróconego mnożenia są niezwykle użyteczne w upraszczaniu złożonych wyrażeń algebraicznych i przyspieszaniu obliczeń.

Wśród przedstawionych wzorów skróconego mnożenia znajdują się:

  1. Kwadrat sumy: a+ba + b² = a² + 2ab + b²
  2. Kwadrat różnicy: aba - b² = a² - 2ab + b²
  3. Różnica kwadratów: a² - b² = aba - ba+ba + b
  4. Sześcian sumy: a+ba + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
  5. Sześcian różnicy: aba - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
  6. Suma sześcianów: a³ + b³ = a+ba + ba2ab+b2a² - ab + b²
  7. Różnica sześcianów: a³ - b³ = aba - ba2+ab+b2a² + ab + b²

Example: Zastosowanie wzoru na kwadrat sumy a+ba + b² = a² + 2ab + b² pozwala szybko obliczyć np. 5+35 + 3² = 5² + 2·5·3 + 3² = 25 + 30 + 9 = 64, bez konieczności mnożenia 5+35 + 3 przez 5+35 + 3.

Dokument prezentuje również trójkąt Pascala, który jest ściśle związany z rozwinięciem dwumianu Newtona. Trójkąt ten pokazuje współczynniki w kolejnych potęgach dwumianu a+ba + b.

Definition: Trójkąt Pascala to trójkątny układ liczb, w którym każda liczba jest sumą dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio nad nią.

Struktura trójkąta Pascala jest przedstawiona wraz z przykładami rozwinięć dwumianu dla kolejnych potęg:

  • a+ba + b⁰ = 1
  • a+ba + b¹ = a + b
  • a+ba + b² = a² + 2ab + b²
  • a+ba + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
  • a+ba + b⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Vocabulary: Symbol Newtona to zapis używany do reprezentacji współczynników w rozwinięciu dwumianu Newtona, który można odczytać bezpośrednio z trójkąta Pascala.

Dokument kończy się prezentacją wzoru na kwadrat sumy trzech składników: a+b+ca + b + c² = a² + b² + c² + 2ab+ac+bcab + ac + bc, co stanowi rozszerzenie podstawowych wzorów skróconego mnożenia.

Highlight: Znajomość wzorów skróconego mnożenia i trójkąta Pascala jest kluczowa dla uczniów liceum i studentów matematyki, ułatwiając rozwiązywanie zadań z algebry i analizy matematycznej.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS