Wzory skróconego mnożenia i trójkąt Pascala
Strona ta przedstawia kluczowe wzory skróconego mnożenia oraz strukturę trójkąta Pascala, które są niezbędne w algebrze i matematyce wyższej. Dokument zawiera przejrzyste zestawienie najważniejszych wzorów wraz z ich algebraiczną reprezentacją.
Highlight: Wzory skróconego mnożenia są niezwykle użyteczne w upraszczaniu złożonych wyrażeń algebraicznych i przyspieszaniu obliczeń.
Wśród przedstawionych wzorów skróconego mnożenia znajdują się:
- Kwadrat sumy: (a + b)² = a² + 2ab + b²
- Kwadrat różnicy: (a - b)² = a² - 2ab + b²
- Różnica kwadratów: a² - b² = (a - b)(a + b)
- Sześcian sumy: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
- Sześcian różnicy: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
- Suma sześcianów: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
- Różnica sześcianów: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
Example: Zastosowanie wzoru na kwadrat sumy (a + b)² = a² + 2ab + b² pozwala szybko obliczyć np. (5 + 3)² = 5² + 2·5·3 + 3² = 25 + 30 + 9 = 64, bez konieczności mnożenia (5 + 3) przez (5 + 3).
Dokument prezentuje również trójkąt Pascala, który jest ściśle związany z rozwinięciem dwumianu Newtona. Trójkąt ten pokazuje współczynniki w kolejnych potęgach dwumianu (a + b).
Definition: Trójkąt Pascala to trójkątny układ liczb, w którym każda liczba jest sumą dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio nad nią.
Struktura trójkąta Pascala jest przedstawiona wraz z przykładami rozwinięć dwumianu dla kolejnych potęg:
- (a + b)⁰ = 1
- (a + b)¹ = a + b
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
- (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
Vocabulary: Symbol Newtona to zapis używany do reprezentacji współczynników w rozwinięciu dwumianu Newtona, który można odczytać bezpośrednio z trójkąta Pascala.
Dokument kończy się prezentacją wzoru na kwadrat sumy trzech składników: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc), co stanowi rozszerzenie podstawowych wzorów skróconego mnożenia.
Highlight: Znajomość wzorów skróconego mnożenia i trójkąta Pascala jest kluczowa dla uczniów liceum i studentów matematyki, ułatwiając rozwiązywanie zadań z algebry i analizy matematycznej.
