Zabawa z Wzorami Skróconego Mnożenia i Trójkątem Pascala

weronika dąbkowska

13.07.2025

Matematyka

Wzory skróconego mnożenia i trójkąt Pascala

Przedmioty

Matematyka

Wyrażenia algebraiczne

Mnożenie sum algebraicznych

Mnożenie sumy algebraicznej przez sumę algebraiczną

946

•

13 lip 2025

•

1 strona

Zabawa z Wzorami Skróconego Mnożenia i Trójkątem Pascala

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

weronika dąbkowska

@weeronikka

Wzory skróconego mnożenia i trójkąt Pascala to kluczowe koncepcje w... Pokaż więcej

ustory
SKRÓCONEGO
SKRóconego muożenia
(a + b) ² = a ² + 2ab +6²
(a - b)² = a² - 2ab +6²
a²- 6² = (a-b)(a+b)
62
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² +

Wzory skróconego mnożenia i trójkąt Pascala

Strona ta przedstawia kluczowe wzory skróconego mnożenia oraz strukturę trójkąta Pascala, które są niezbędne w algebrze i matematyce wyższej. Dokument zawiera przejrzyste zestawienie najważniejszych wzorów wraz z ich algebraiczną reprezentacją.

Highlight: Wzory skróconego mnożenia są niezwykle użyteczne w upraszczaniu złożonych wyrażeń algebraicznych i przyspieszaniu obliczeń.

Wśród przedstawionych wzorów skróconego mnożenia znajdują się:

Kwadrat sumy: $a + b$ ² = a² + 2ab + b²
Kwadrat różnicy: $a - b$ ² = a² - 2ab + b²
Różnica kwadratów: a² - b² = $a - b$ $a + b$
Sześcian sumy: $a + b$ ³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Sześcian różnicy: $a - b$ ³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Suma sześcianów: a³ + b³ = $a + b$ $a² - ab + b²$
Różnica sześcianów: a³ - b³ = $a - b$ $a² + ab + b²$

Example: Zastosowanie wzoru na kwadrat sumy $a + b$ ² = a² + 2ab + b² pozwala szybko obliczyć np. $5 + 3$ ² = 5² + 2·5·3 + 3² = 25 + 30 + 9 = 64, bez konieczności mnożenia $5 + 3$ przez $5 + 3$ .

Dokument prezentuje również trójkąt Pascala, który jest ściśle związany z rozwinięciem dwumianu Newtona. Trójkąt ten pokazuje współczynniki w kolejnych potęgach dwumianu $a + b$ .

Definition: Trójkąt Pascala to trójkątny układ liczb, w którym każda liczba jest sumą dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio nad nią.

Struktura trójkąta Pascala jest przedstawiona wraz z przykładami rozwinięć dwumianu dla kolejnych potęg:

$a + b$ ⁰ = 1
$a + b$ ¹ = a + b
$a + b$ ² = a² + 2ab + b²
$a + b$ ³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
$a + b$ ⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Vocabulary: Symbol Newtona to zapis używany do reprezentacji współczynników w rozwinięciu dwumianu Newtona, który można odczytać bezpośrednio z trójkąta Pascala.

Dokument kończy się prezentacją wzoru na kwadrat sumy trzech składników: $a + b + c$ ² = a² + b² + c² + 2 $ab + ac + bc$ , co stanowi rozszerzenie podstawowych wzorów skróconego mnożenia.

Highlight: Znajomość wzorów skróconego mnożenia i trójkąta Pascala jest kluczowa dla uczniów liceum i studentów matematyki, ułatwiając rozwiązywanie zadań z algebry i analizy matematycznej.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

wzory skróconego mnożenia

2908

Mnożenie sum algebraicznych

1984

język matematyki - dział 2 zakres podstawowy matematyka 1 klasa

2469

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Wyrażenia algebraiczne

Mnożenie sum algebraicznych

Mnożenie sumy algebraicznej przez sumę algebraiczną

Matematyka

•

946

•

13 lip 2025

•

1 strona

Zabawa z Wzorami Skróconego Mnożenia i Trójkątem Pascala

weronika dąbkowska

@weeronikka

Wzory skróconego mnożenia i trójkąt Pascala to kluczowe koncepcje w algebrze, ułatwiające obliczenia i rozumienie struktury wielomianów. Dokument przedstawia najważniejsze wzory skróconego mnożenia oraz strukturę trójkąta Pascala, ilustrując ich zastosowanie w rozwijaniu dwumianów.

Wzory skróconego mnożeniaobejmują kwadraty sum i... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wzory skróconego mnożenia i trójkąt Pascala

Highlight: Wzory skróconego mnożenia są niezwykle użyteczne w upraszczaniu złożonych wyrażeń algebraicznych i przyspieszaniu obliczeń.

Wśród przedstawionych wzorów skróconego mnożenia znajdują się:

Kwadrat sumy: $a + b$ ² = a² + 2ab + b²
Kwadrat różnicy: $a - b$ ² = a² - 2ab + b²
Różnica kwadratów: a² - b² = $a - b$ $a + b$
Sześcian sumy: $a + b$ ³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Sześcian różnicy: $a - b$ ³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Suma sześcianów: a³ + b³ = $a + b$ $a² - ab + b²$
Różnica sześcianów: a³ - b³ = $a - b$ $a² + ab + b²$

Example: Zastosowanie wzoru na kwadrat sumy $a + b$ ² = a² + 2ab + b² pozwala szybko obliczyć np. $5 + 3$ ² = 5² + 2·5·3 + 3² = 25 + 30 + 9 = 64, bez konieczności mnożenia $5 + 3$ przez $5 + 3$ .

Dokument prezentuje również trójkąt Pascala, który jest ściśle związany z rozwinięciem dwumianu Newtona. Trójkąt ten pokazuje współczynniki w kolejnych potęgach dwumianu $a + b$ .

Definition: Trójkąt Pascala to trójkątny układ liczb, w którym każda liczba jest sumą dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio nad nią.

Struktura trójkąta Pascala jest przedstawiona wraz z przykładami rozwinięć dwumianu dla kolejnych potęg:

$a + b$ ⁰ = 1
$a + b$ ¹ = a + b
$a + b$ ² = a² + 2ab + b²
$a + b$ ³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
$a + b$ ⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Vocabulary: Symbol Newtona to zapis używany do reprezentacji współczynników w rozwinięciu dwumianu Newtona, który można odczytać bezpośrednio z trójkąta Pascala.

Dokument kończy się prezentacją wzoru na kwadrat sumy trzech składników: $a + b + c$ ² = a² + b² + c² + 2 $ab + ac + bc$ , co stanowi rozszerzenie podstawowych wzorów skróconego mnożenia.

Highlight: Znajomość wzorów skróconego mnożenia i trójkąta Pascala jest kluczowa dla uczniów liceum i studentów matematyki, ułatwiając rozwiązywanie zadań z algebry i analizy matematycznej.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

wzory skróconego mnożenia

2908

Mnożenie sum algebraicznych

1984

język matematyki - dział 2 zakres podstawowy matematyka 1 klasa

2469

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS