Jak zrozumieć całki: Podstawy i zadania z rozwiązaniami

Natalia Buć

5.09.2025

Matematyka

Całki oznaczone

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Funkcja kwadratowa

399

•

5 wrz 2025

•

2 strony

Jak zrozumieć całki: Podstawy i zadania z rozwiązaniami

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Natalia Buć

@nbuc

Całkowanie to kluczowy dział analizy matematycznej, umożliwiający obliczanie pól figur... Pokaż więcej

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Саткі огластоме
Bariat P prediain <a,b],
Q= хосха схассукь
S (P) = max 4x₁-x0, X₂-X₁₁²-1
S (S₁P) = f (E₁) (x₁-xi-₁)
L=4
4
Suma całkowita
dia

Integration Techniques and Examples

This page delves into advanced integration techniques, focusing on integration by substitution, and provides several worked examples to illustrate these methods.

Definition: Integration by substitution is a method used to evaluate definite integrals by changing the variable of integration.

The general formula for integration by substitution is:

∫ $a to b$ f $g(x$ )g' $x$ dx = ∫ $g(a) to g(b)$ f(u) du

Where u = g(x) is the substitution.

The page presents three detailed examples of definite integral calculations:

∫ $0 to π$ x cos(x) dx
∫ $0 to 2$ x√ $4-x²$ dx
∫ $0 to π/2$ cos³(x) dx

Example: For ∫ $0 to π$ x cos(x) dx, the solution uses integration by parts: Result: $x sin(x)$ ₀ᵖⁱ - ∫ $0 to π$ sin $x$ dx = π sin $π$ - $-cos(π$ + cos $0$ ) = 0 + 2 = 2

Highlight: The second example, ∫ $0 to 2$ x√ $4-x²$ dx, demonstrates the power of substitution in simplifying complex integrals.

The page concludes with a note on the practical applications of definite integrals, emphasizing their use in calculating areas and volumes in various fields of science and engineering.

Vocabulary: Całka Riemanna wzór (Riemann integral formula) is the mathematical expression that defines the definite integral as the limit of Riemann sums.

This comprehensive guide provides students with a solid foundation in understanding and applying definite integrals, answering questions like "Co mierzy całka?" (What does an integral measure?) and "Do czego służy rachunek całkowy?" (What is the purpose of integral calculus?).

Understanding Definite Integrals and Riemann Sums

This page introduces the concept of definite integrals and their relationship to Riemann sums. It provides a comprehensive overview of the mathematical foundations and practical applications of these crucial calculus concepts.

Definition: A definite integral of a bounded function f: $a,b$ → R is defined as the limit of Riemann sums as the partition of the interval becomes infinitely fine.

The definite integral is formally expressed as:

∫ $a to b$ f $x$ dx = lim $n→∞$ Σ $i=1 to n$ f $ξᵢ$ $xᵢ - xᵢ₋₁$

Where P is a partition of the interval $a,b$ , and ξᵢ are sample points in each subinterval.

Highlight: The definite integral represents the area under the curve of f $x$ bounded by the lines x=a, x=b, y=0, and the graph of f(x).

The page also introduces the concept of Suma Riemanna (Riemann sum), which is a finite approximation of the definite integral. The Riemann sum is given by:

S $P$ = Σ $i=1 to n$ f $ξᵢ$ $xᵢ - xᵢ₋₁$

Vocabulary: The diameter of a partition, denoted as δ(P), is the maximum width of any subinterval in the partition.

The fundamental theorem of calculus is presented, stating that if f(x) is continuous, then it is integrable, and:

∫ $a to b$ f $x$ dx = F $b$ - F(a)

Where F(x) is any antiderivative of f(x).

Example: The definite integral ∫ $a to b$ c dx = c $b-a$ , where c is a constant.

The page concludes by listing several important properties of definite integrals, including additivity with respect to the interval and linearity.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Funkcja kwadratowa

19778

721

Zadania tekstowe prowadzące do równań lub nierówności kwadratowych

1350

Funkcja kwadratowa - zastosowanie

2474

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Funkcja kwadratowa

Matematyka

•

399

•

5 wrz 2025

•

2 strony

Jak zrozumieć całki: Podstawy i zadania z rozwiązaniami

Natalia Buć

@nbuc

Całkowanie to kluczowy dział analizy matematycznej, umożliwiający obliczanie pól figur krzywoliniowych i rozwiązywanie wielu problemów fizycznych. Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego łączy całkę oznaczoną z funkcją pierwotną, co znacznie ułatwia obliczenia. Najważniejsze aspekty to:

Twierdzenie Newtona-Leibnizapozwala obliczyć całkę oznaczoną za... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Integration Techniques and Examples

This page delves into advanced integration techniques, focusing on integration by substitution, and provides several worked examples to illustrate these methods.

Definition: Integration by substitution is a method used to evaluate definite integrals by changing the variable of integration.

The general formula for integration by substitution is:

∫ $a to b$ f $g(x$ )g' $x$ dx = ∫ $g(a) to g(b)$ f(u) du

Where u = g(x) is the substitution.

The page presents three detailed examples of definite integral calculations:

∫ $0 to π$ x cos(x) dx
∫ $0 to 2$ x√ $4-x²$ dx
∫ $0 to π/2$ cos³(x) dx

Example: For ∫ $0 to π$ x cos(x) dx, the solution uses integration by parts: Result: $x sin(x)$ ₀ᵖⁱ - ∫ $0 to π$ sin $x$ dx = π sin $π$ - $-cos(π$ + cos $0$ ) = 0 + 2 = 2

Highlight: The second example, ∫ $0 to 2$ x√ $4-x²$ dx, demonstrates the power of substitution in simplifying complex integrals.

The page concludes with a note on the practical applications of definite integrals, emphasizing their use in calculating areas and volumes in various fields of science and engineering.

Vocabulary: Całka Riemanna wzór (Riemann integral formula) is the mathematical expression that defines the definite integral as the limit of Riemann sums.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Understanding Definite Integrals and Riemann Sums

Definition: A definite integral of a bounded function f: $a,b$ → R is defined as the limit of Riemann sums as the partition of the interval becomes infinitely fine.

The definite integral is formally expressed as:

∫ $a to b$ f $x$ dx = lim $n→∞$ Σ $i=1 to n$ f $ξᵢ$ $xᵢ - xᵢ₋₁$

Where P is a partition of the interval $a,b$ , and ξᵢ are sample points in each subinterval.

Highlight: The definite integral represents the area under the curve of f $x$ bounded by the lines x=a, x=b, y=0, and the graph of f(x).

The page also introduces the concept of Suma Riemanna (Riemann sum), which is a finite approximation of the definite integral. The Riemann sum is given by:

S $P$ = Σ $i=1 to n$ f $ξᵢ$ $xᵢ - xᵢ₋₁$

Vocabulary: The diameter of a partition, denoted as δ(P), is the maximum width of any subinterval in the partition.

The fundamental theorem of calculus is presented, stating that if f(x) is continuous, then it is integrable, and:

∫ $a to b$ f $x$ dx = F $b$ - F(a)

Where F(x) is any antiderivative of f(x).

Example: The definite integral ∫ $a to b$ c dx = c $b-a$ , where c is a constant.

The page concludes by listing several important properties of definite integrals, including additivity with respect to the interval and linearity.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Funkcja kwadratowa

19778

721

Zadania tekstowe prowadzące do równań lub nierówności kwadratowych

1350

Funkcja kwadratowa - zastosowanie

2474

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS