Przedmioty

Matematyka

Ciągi

Monotonicznosć ciągu

Wyznaczanie wyrazu an+1 ciągu określonego wzorem ogólnym

1071

•

9 kwi 2022

•

1 strona

Zbadaj Monotoniczność Ciągu: Prosty Przewodnik dla Dzieci

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Oliwia Mikulska

@oliwia04

Ciągi liczbowe i ich właściwości są kluczowym tematem w matematyce,... Pokaż więcej

monotonicaność ciągów
ciąg (an) nazywamy:
antl
an
antl
an
ant 1
an
a) ciągiem mosnącym aan
b) aagiem темпермут аписат
c) capiem Istalym
and

Monotoniczność ciągów - definicje i przykłady

Ta strona przedstawia kluczowe informacje dotyczące monotoniczności ciągów, co jest istotnym zagadnieniem w analizie matematycznej. Monotoniczność ciągu określa, jak zmieniają się kolejne wyrazy ciągu w stosunku do siebie.

Definition: Ciąg monotoniczny to taki, którego kolejne wyrazy zachowują określoną relację względem siebie.

Wyróżniamy pięć głównych typów ciągów ze względu na monotoniczność:

Ciąg rosnący - każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego $an+1 > an$
Ciąg malejący - każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego $an+1 < an$
Ciąg stały - wszystkie wyrazy są równe $an+1 = an$
Ciąg niemalejący - każdy kolejny wyraz jest większy lub równy poprzedniemu $an+1 ≥ an$
Ciąg nierosnący - każdy kolejny wyraz jest mniejszy lub równy poprzedniemu $an+1 ≤ an$

Highlight: Warto zauważyć, że ciągi rosnące są zawsze niemalejące, a ciągi malejące są zawsze nierosnące.

Strona zawiera również informacje o wzorach rekurencyjnych dla ciągów arytmetycznych:

Example: Dla ciągu arytmetycznego: an+1 = an + r, gdzie r to różnica ciągu.

Wzór na monotoniczność ciągu arytmetycznego zależy od wartości r:

Jeśli r > 0, ciąg jest rosnący
Jeśli r < 0, ciąg jest malejący
Jeśli r = 0, ciąg jest stały

Vocabulary: Ciąg arytmetyczny to ciąg, w którym różnica między każdymi dwoma kolejnymi wyrazami jest stała.

Aby zbadać monotoniczność ciągu, należy przeanalizować relację między kolejnymi wyrazami. W przypadku ciągów arytmetycznych i geometrycznych, można to zrobić badając odpowiednio różnicę ciągu lub iloraz ciągu.

Highlight: Monotoniczność ciągu geometrycznego zależy od wartości ilorazu q i pierwszego wyrazu a1:

Jeśli q > 1 i a1 > 0 lub q < -1, ciąg jest rosnący

Jeśli 0 < q < 1 i a1 > 0 lub -1 < q < 0, ciąg jest malejący

Jeśli q = 1, ciąg jest stały

Warto pamiętać, że nie wszystkie ciągi są monotoniczne. Niemonotoniczny ciąg geometryczny może wystąpić, gdy q < -1 lub gdy a1 i q mają przeciwne znaki.

Example: Aby sprawdzić, czy ciąg jest monotoniczny an=4n-2, należy zbadać różnicę między kolejnymi wyrazami: $4(n+1$ -2) - $4n-2$ = 4, co oznacza, że ciąg jest rosnący.

Zrozumienie monotoniczności ciągów jest kluczowe dla rozwiązywania wielu zadań matematycznych i analizy zachowania funkcji.

Podobne notatki

Ciąg arytmetyczny

369

Matematyka - wzory ciągi liczbowe

627

Nowe tablice maturalne

4151

259

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Ciągi

Monotonicznosć ciągu

Wyznaczanie wyrazu an+1 ciągu określonego wzorem ogólnym

Matematyka

•

1071

•

9 kwi 2022

•

1 strona

Zbadaj Monotoniczność Ciągu: Prosty Przewodnik dla Dzieci

Oliwia Mikulska

@oliwia04

Ciągi liczbowe i ich właściwości są kluczowym tematem w matematyce, szczególnie w analizie matematycznej. Teoria monotoniczności ciągów jest fundamentalna dla zrozumienia zachowania sekwencji liczbowych.

Omówiono różne typy ciągów: rosnące, malejące, stałe, niemalejące i nierosnące.
Przedstawiono wzory i charakterystyki dla ciągów... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Monotoniczność ciągów - definicje i przykłady

Definition: Ciąg monotoniczny to taki, którego kolejne wyrazy zachowują określoną relację względem siebie.

Wyróżniamy pięć głównych typów ciągów ze względu na monotoniczność:

Ciąg rosnący - każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego $an+1 > an$
Ciąg malejący - każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego $an+1 < an$
Ciąg stały - wszystkie wyrazy są równe $an+1 = an$
Ciąg niemalejący - każdy kolejny wyraz jest większy lub równy poprzedniemu $an+1 ≥ an$
Ciąg nierosnący - każdy kolejny wyraz jest mniejszy lub równy poprzedniemu $an+1 ≤ an$

Highlight: Warto zauważyć, że ciągi rosnące są zawsze niemalejące, a ciągi malejące są zawsze nierosnące.

Strona zawiera również informacje o wzorach rekurencyjnych dla ciągów arytmetycznych:

Example: Dla ciągu arytmetycznego: an+1 = an + r, gdzie r to różnica ciągu.

Wzór na monotoniczność ciągu arytmetycznego zależy od wartości r:

Jeśli r > 0, ciąg jest rosnący
Jeśli r < 0, ciąg jest malejący
Jeśli r = 0, ciąg jest stały

Vocabulary: Ciąg arytmetyczny to ciąg, w którym różnica między każdymi dwoma kolejnymi wyrazami jest stała.

Highlight: Monotoniczność ciągu geometrycznego zależy od wartości ilorazu q i pierwszego wyrazu a1:

Jeśli q > 1 i a1 > 0 lub q < -1, ciąg jest rosnący

Jeśli 0 < q < 1 i a1 > 0 lub -1 < q < 0, ciąg jest malejący

Jeśli q = 1, ciąg jest stały

Warto pamiętać, że nie wszystkie ciągi są monotoniczne. Niemonotoniczny ciąg geometryczny może wystąpić, gdy q < -1 lub gdy a1 i q mają przeciwne znaki.

Example: Aby sprawdzić, czy ciąg jest monotoniczny an=4n-2, należy zbadać różnicę między kolejnymi wyrazami: $4(n+1$ -2) - $4n-2$ = 4, co oznacza, że ciąg jest rosnący.

Zrozumienie monotoniczności ciągów jest kluczowe dla rozwiązywania wielu zadań matematycznych i analizy zachowania funkcji.

Podobne notatki

Ciąg arytmetyczny

369

Matematyka - wzory ciągi liczbowe

627

Nowe tablice maturalne

4151

259

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS