Funkcja liniowa i jej właściwości

Funkcja liniowa może być zapisana w dwóch podstawowych postaciach. Postać kierunkowa to y = ax + b, gdzie a to współczynnik kierunkowy określający nachylenie prostej, a b to wyraz wolny wskazujący punkt przecięcia z osią OY (0, b).

Współczynnik kierunkowy można obliczyć ze wzoru: a = $y₂ - y₁$/$x₂ - x₁$ dla dowolnych dwóch punktów na prostej. Wartość a mówi nam o charakterze funkcji:

• gdy a > 0 - funkcja jest rosnąca
• gdy a = 0 - funkcja jest stała
• gdy a < 0 - funkcja jest malejąca

Miejsce zerowe funkcji liniowej to punkt, w którym wykres przecina oś OX. Obliczamy je ze wzoru: x₀ = -b/a. Warto też znać postać ogólną funkcji: Ax + By + C = 0.

💡 Wskazówka: Jeśli masz trudności z zapamiętaniem znaczenia współczynnika kierunkowego, pomyśl o nim jak o "stromości" prostej - im większa wartość bezwzględna, tym bardziej stroma prosta.

Dwie proste mogą względem siebie układać się na trzy sposoby, co odpowiada trzem typom układów równań:

• proste przecinają się → układ oznaczony (jedno rozwiązanie)
• proste pokrywają się → układ nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań)
• proste są równoległe → układ sprzeczny (brak rozwiązań)

Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe $a₁ = a₂$, a prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi -1 $a₁ · a₂ = -1$. Szczególnym przypadkiem funkcji liniowej jest proporcjonalność prosta y = ax (gdzie a > 0), opisująca wielkości wprost proporcjonalne.