Otwórz aplikację

Przedmioty

Zabawa z funkcjami: Własności i zadania - Funkcja liniowa, kwadratowa i wymierna

Otwórz

380

4

user profile picture

Weronika Suder

5.05.2022

Matematyka

Funkcje i ich własności

Zabawa z funkcjami: Własności i zadania - Funkcja liniowa, kwadratowa i wymierna

Funkcja liniowa, kwadratowa i wymierna - kluczowe pojęcia i właściwości

Ta lekcja matematyki skupia się na trzech ważnych typach funkcji: liniowej, kwadratowej i wymiernej. Omawia ich kluczowe cechy, wykresy i zastosowania.

  • Funkcja liniowa: y = ax + b, jej monotoniczność i relacje między prostymi
  • Funkcja kwadratowa: postaci ogólna, kanoniczna i iloczynowa, własności paraboli
  • Funkcja wymierna: postać, dziedzina, asymptoty i przesunięcia wykresu
  • Nacisk na analizę wykresów, miejsca zerowe i punkty charakterystyczne funkcji
...

5.05.2022

10979

Funkcja liniowa
64-
ax
y = a
+
& określa monotoniczność
funkcji liniowej /
PROSTOPADAOŚCI REWNOLEGROŚĆ
DWIE PROSTE
* prostopadłe
✰ rinnoległ

Zobacz

Funkcja Wymierna and Advanced Function Properties

The second page delves into more advanced function concepts, primarily focusing on funkcja wymierna rationalfunctionsrational functions and further properties of various function types.

Funkcja wymierna is introduced as a function involving fractions of polynomials. The page emphasizes the importance of considering the domain of these functions, as they often have restrictions due to undefined values in the denominator.

Definition: A funkcja wymierna is a function of the form fxx = Pxx / Qxx, where Pxx and Qxx are polynomials and Qxx ≠ 0.

The concept of asymptoty funkcji wymiernej asymptotesofrationalfunctionsasymptotes of rational functions is briefly mentioned, which is crucial for understanding the behavior of these functions at extreme values.

Highlight: When analyzing rational functions, it's essential to determine their domain and identify any asymptotes.

The page provides several examples of rational functions and demonstrates how to find their domains:

Example: For the function fxx = 1 / 2x2-x, the domain is x ∈ ℝ - {2}, as x cannot equal 2 whichwouldmakethedenominatorzerowhich would make the denominator zero.

The topic of monotoniczność funkcji wymiernej monotonicityofrationalfunctionsmonotonicity of rational functions is touched upon, emphasizing the importance of analyzing the function's behavior in different intervals.

The page also revisits the concept of miejsce zerowe funkcji for different function types, including quadratic and rational functions. It provides methods for finding these zeros, which are crucial for understanding a function's behavior and graph.

Vocabulary: Miejsce zerowe funkcji functionrootsorzerosfunction roots or zeros are the x-values where the function equals zero, i.e., fxx = 0.

Lastly, the page introduces the concept of graph transformations, particularly focusing on vertical and horizontal shifts of function graphs.

Example: For a function gxx = fxpx-p + q, the graph of g is obtained by shifting the graph of f horizontally by p units and vertically by q units.

This section is particularly useful for understanding how changes in a function's equation affect its graphical representation, which is a key skill in mathematical analysis and problem-solving.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

21 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

 

Matematyka

10 979

5 maj 2022

2 strony

Zabawa z funkcjami: Własności i zadania - Funkcja liniowa, kwadratowa i wymierna

user profile picture

Weronika Suder

@weronikasuder

Funkcja liniowa, kwadratowa i wymierna - kluczowe pojęcia i właściwości

Ta lekcja matematyki skupia się na trzech ważnych typach funkcji: liniowej, kwadratowej i wymiernej. Omawia ich kluczowe cechy, wykresy i zastosowania.

  • Funkcja liniowa: y = ax + b, jej monotoniczność... Pokaż więcej

Funkcja liniowa
64-
ax
y = a
+
& określa monotoniczność
funkcji liniowej /
PROSTOPADAOŚCI REWNOLEGROŚĆ
DWIE PROSTE
* prostopadłe
✰ rinnoległ

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Funkcja Wymierna and Advanced Function Properties

The second page delves into more advanced function concepts, primarily focusing on funkcja wymierna rationalfunctionsrational functions and further properties of various function types.

Funkcja wymierna is introduced as a function involving fractions of polynomials. The page emphasizes the importance of considering the domain of these functions, as they often have restrictions due to undefined values in the denominator.

Definition: A funkcja wymierna is a function of the form fxx = Pxx / Qxx, where Pxx and Qxx are polynomials and Qxx ≠ 0.

The concept of asymptoty funkcji wymiernej asymptotesofrationalfunctionsasymptotes of rational functions is briefly mentioned, which is crucial for understanding the behavior of these functions at extreme values.

Highlight: When analyzing rational functions, it's essential to determine their domain and identify any asymptotes.

The page provides several examples of rational functions and demonstrates how to find their domains:

Example: For the function fxx = 1 / 2x2-x, the domain is x ∈ ℝ - {2}, as x cannot equal 2 whichwouldmakethedenominatorzerowhich would make the denominator zero.

The topic of monotoniczność funkcji wymiernej monotonicityofrationalfunctionsmonotonicity of rational functions is touched upon, emphasizing the importance of analyzing the function's behavior in different intervals.

The page also revisits the concept of miejsce zerowe funkcji for different function types, including quadratic and rational functions. It provides methods for finding these zeros, which are crucial for understanding a function's behavior and graph.

Vocabulary: Miejsce zerowe funkcji functionrootsorzerosfunction roots or zeros are the x-values where the function equals zero, i.e., fxx = 0.

Lastly, the page introduces the concept of graph transformations, particularly focusing on vertical and horizontal shifts of function graphs.

Example: For a function gxx = fxpx-p + q, the graph of g is obtained by shifting the graph of f horizontally by p units and vertically by q units.

This section is particularly useful for understanding how changes in a function's equation affect its graphical representation, which is a key skill in mathematical analysis and problem-solving.

Funkcja liniowa
64-
ax
y = a
+
& określa monotoniczność
funkcji liniowej /
PROSTOPADAOŚCI REWNOLEGROŚĆ
DWIE PROSTE
* prostopadłe
✰ rinnoległ

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Funkcja Liniowa and Funkcja Kwadratowa

The first page introduces two fundamental mathematical concepts: funkcja liniowa linearfunctionlinear function and funkcja kwadratowa quadraticfunctionquadratic function. These functions are essential in mathematics and have various applications in real-world scenarios.

For funkcja liniowa, the equation y = ax + b is presented, where 'a' and 'b' are crucial coefficients. The współczynniki a i b funkcji liniowej play significant roles in determining the function's behavior.

Definition: Funkcja liniowa is defined by the equation y = ax + b, where 'a' represents the slope and 'b' the y-intercept.

The concept of monotoniczność funkcji functionmonotonicityfunction monotonicity is introduced for linear functions. This property is determined by the value of 'a':

Highlight: For a linear function, if a > 0, the function is increasing; if a < 0, it's decreasing; and if a = 0, it's constant.

The page also covers the topics of perpendicularity and parallelism of lines, which are important in geometry and analytical mathematics.

For funkcja kwadratowa, the equation y = ax² + bx + c is presented. The page discusses different forms of the quadratic function, including the general form, canonical form, and factored form.

Example: The general form of a quadratic function is y = ax² + bx + c, where 'a', 'b', and 'c' are constants and a ≠ 0.

The własności funkcji kwadratowej propertiesofquadraticfunctionsproperties of quadratic functions are elaborated, including:

  1. The direction of the parabola determinedbyadetermined by 'a'
  2. Monotoniczność funkcji kwadratowej monotonicityofquadraticfunctionsmonotonicity of quadratic functions
  3. Intersection points with axes
  4. The vertex of the parabola

Vocabulary: The vertex of a parabola is the point where it reaches its maximum or minimum value, depending on the direction of the parabola.

The page also introduces formulas for finding miejsce zerowe funkcji kwadratowej rootsofquadraticfunctionsroots of quadratic functions using the quadratic formula.

Definition: Miejsce zerowe funkcji refers to the x-coordinatess where the function intersects the x-axis, i.e., where y = 0.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS