Język polski
Biologia
Chemia
Historia
Geografia
Komórka
Genetyka klasyczna
Układ krążenia
Badania przyrodnicze
Ekologia
Organizm człowieka jako funkcjonalna całość
Metabolizm
Układ wydalniczy
Genetyka molekularna
Układ pokarmowy
Proste zwierzęta bezkręgowe
Kręgowce zmiennocieplne
Genetyka
Rozmnażanie i rozwój człowieka
Chemiczne podstawy życia
Pokaż wszystkie tematy
Efekty energetyczne i szybkość reakcji chemicznych
Węglowodory
Reakcje chemiczne w roztworach wodnych
Pochodne węglowodorów
Stechiometria
Budowa atomu a układ okresowy pierwiastków chemicznych
Układ okresowy pierwiastków chemicznych
Gazy i ich mieszaniny
Świat substancji
Kwasy
Sole
Wodorotlenki a zasady
Systematyka związków nieorganicznych
Roztwory
Reakcje utleniania-redukcji. elektrochemia
Pokaż wszystkie tematy
30
0
weronika dąbkowska
15.10.2025
Matematyka
Pochodna funkcji
1372
•
15 paź 2025
•
Pochodne funkcji to kluczowe pojęcie w matematyce, które pozwala nam... Pokaż więcej
Pochodną funkcji f w punkcie x₀ oznaczamy symbolem f' i definiujemy jako granicę: f' = lim h→0 /h. Pochodna informuje nas o tempie zmian funkcji w danym punkcie.
Przy obliczaniu pochodnej z definicji warto pamiętać o kilku oznaczeniach. Δx to przyrost argumentu funkcji, a Δf to przyrost wartości funkcji. Iloraz różnicowy / to współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty wykresu.
Istnieją pochodne wzory dla podstawowych funkcji, które ułatwiają obliczenia. Dla stałej c pochodna wynosi 0. Dla funkcji x^n pochodna to n·x^. Dla funkcji liniowej ax+b pochodna wynosi a. Dla pierwiastka kwadratowego pochodna to 1/(2√x).
💡 Pamiętaj! Każdy iloraz różnicowy funkcji rosnącej w przedziale ma wartość dodatnią, a funkcji malejącej - ujemną. Dzięki temu możesz szybko sprawdzić monotoniczność.
Przy obliczaniu pochodnej funkcji złożonej korzystamy z reguł dla sumy '=f'+g', różnicy '=f'-g', iloczynu '=f'·g+f·g' oraz ilorazu '=/².
Jeśli funkcja ma pochodną w punkcie x₀, mówimy, że jest różniczkowalna w tym punkcie. Funkcja różniczkowalna w każdym punkcie przedziału (a;b) jest różniczkowalna w całym tym przedziale. Każda funkcja mająca pochodną w punkcie jest w tym punkcie ciągła!
Pochodną funkcji w punkcie możemy interpretować geometrycznie. Wartość f' jest równa tangensowi kąta, jaki z osią x tworzy styczna do wykresu funkcji f w punkcie ). Równanie tej stycznej ma postać y=f'+f(x₀).
Istnieje ścisły związek między pochodnymi a monotonicznością funkcji. Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w przedziale (a;b) i jej pochodna jest dodatnia (f'(x)>0) w każdym punkcie tego przedziału, to funkcja jest rosnąca. Jeśli pochodna jest ujemna (f'(x)<0), funkcja jest malejąca.
🔍 Uwaga! Gdy badasz monotoniczność funkcji za pomocą pochodnej, wystarczy zbadać znak pochodnej w danym przedziale. Jeśli f'=0, funkcja jest stała; jeśli f'(x)>0, funkcja rośnie; jeśli f'(x)<0, funkcja maleje.
Badanie pochodnej pozwala nam nie tylko określić monotoniczność funkcji, ale także znaleźć jej ekstrema lokalne. Punkty, w których pochodna zmienia znak, są kandydatami na ekstrema lokalne funkcji.
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Pochodne funkcji to kluczowe pojęcie w matematyce, które pozwala nam badać szybkość zmian funkcji oraz jej zachowanie. Dzięki pochodnym możemy określić monotoniczność funkcji, znaleźć jej ekstrema lokalne i lepiej zrozumieć jej kształt.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Pochodną funkcji f w punkcie x₀ oznaczamy symbolem f' i definiujemy jako granicę: f' = lim h→0 /h. Pochodna informuje nas o tempie zmian funkcji w danym punkcie.
Przy obliczaniu pochodnej z definicji warto pamiętać o kilku oznaczeniach. Δx to przyrost argumentu funkcji, a Δf to przyrost wartości funkcji. Iloraz różnicowy / to współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty wykresu.
Istnieją pochodne wzory dla podstawowych funkcji, które ułatwiają obliczenia. Dla stałej c pochodna wynosi 0. Dla funkcji x^n pochodna to n·x^. Dla funkcji liniowej ax+b pochodna wynosi a. Dla pierwiastka kwadratowego pochodna to 1/(2√x).
💡 Pamiętaj! Każdy iloraz różnicowy funkcji rosnącej w przedziale ma wartość dodatnią, a funkcji malejącej - ujemną. Dzięki temu możesz szybko sprawdzić monotoniczność.
Przy obliczaniu pochodnej funkcji złożonej korzystamy z reguł dla sumy '=f'+g', różnicy '=f'-g', iloczynu '=f'·g+f·g' oraz ilorazu '=/².
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Jeśli funkcja ma pochodną w punkcie x₀, mówimy, że jest różniczkowalna w tym punkcie. Funkcja różniczkowalna w każdym punkcie przedziału (a;b) jest różniczkowalna w całym tym przedziale. Każda funkcja mająca pochodną w punkcie jest w tym punkcie ciągła!
Pochodną funkcji w punkcie możemy interpretować geometrycznie. Wartość f' jest równa tangensowi kąta, jaki z osią x tworzy styczna do wykresu funkcji f w punkcie ). Równanie tej stycznej ma postać y=f'+f(x₀).
Istnieje ścisły związek między pochodnymi a monotonicznością funkcji. Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w przedziale (a;b) i jej pochodna jest dodatnia (f'(x)>0) w każdym punkcie tego przedziału, to funkcja jest rosnąca. Jeśli pochodna jest ujemna (f'(x)<0), funkcja jest malejąca.
🔍 Uwaga! Gdy badasz monotoniczność funkcji za pomocą pochodnej, wystarczy zbadać znak pochodnej w danym przedziale. Jeśli f'=0, funkcja jest stała; jeśli f'(x)>0, funkcja rośnie; jeśli f'(x)<0, funkcja maleje.
Badanie pochodnej pozwala nam nie tylko określić monotoniczność funkcji, ale także znaleźć jej ekstrema lokalne. Punkty, w których pochodna zmienia znak, są kandydatami na ekstrema lokalne funkcji.
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
30
Inteligentne Narzędzia NOWE
Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju
Zgłębiaj własności funkcji wymiernych, ich dziedziny oraz wykresy. Dowiedz się, jak analizować funkcje takie jak \( f(x) = \frac{x^2}{x-3} \) i \( f(x) = \frac{2}{(x-1)(x+4)} \). Odkryj zasady przesunięć wykresów oraz warunki istnienia funkcji. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
MatematykaZrozumienie granic, pochodnych oraz asymptot funkcji. Obejmuje kluczowe twierdzenia, takie jak twierdzenie Darboux, oraz zasady dotyczące ciągłości i monotoniczności funkcji. Idealne dla studentów matematyki i analizy matematycznej.
MatematykaZrozumienie funkcji liniowej: współczynnik kierunkowy, wyraz wolny, miejsca zerowe oraz wzajemne położenie prostych. Odkryj zasady dotyczące prostych równoległych i prostopadłych oraz pojęcie proporcjonalności. Idealne dla uczniów matematyki na poziomie podstawowym i średnim.
MatematykaZgłębiaj właściwości funkcji homograficznej, w tym jej postać, wykres oraz zachowanie w zależności od wartości parametru a. Dowiedz się, jak przesunięcia wpływają na dziedzinę i zbiór wartości funkcji. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
MatematykaPrzewodnik po metodzie zamiany postaci iloczynowej funkcji kwadratowej na postać ogólną i kanoniczną. Zawiera szczegółowe przykłady oraz obliczenia współczynników a, b, c oraz wierzchołka paraboli. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
MatematykaZrozumienie pojęcia funkcji w matematyce: definicja, miejsce zerowe oraz przykłady. Dowiedz się, jak przyporządkowanie elementów zbioru X do zbioru Y wpływa na wartości funkcji. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
MatematykaApp Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
