Otwórz aplikację

Przedmioty

Pochodna funkcji na luzie: Nauka z kalkulatorem i zadaniami

Otwórz

30

0

user profile picture

weronika dąbkowska

1.04.2022

Matematyka

Pochodna funkcji

Pochodna funkcji na luzie: Nauka z kalkulatorem i zadaniami

Pochodne funkcji i ich zastosowanie w badaniu monotoniczności to kluczowe zagadnienia w analizie matematycznej. Pochodna funkcji pozwala określić jej zachowanie, w tym monotoniczność i ekstrema lokalne. Zrozumienie tych koncepcji jest niezbędne dla studentów matematyki i nauk ścisłych.

  • Pochodna funkcji to granica ilorazu różnicowego, która informuje o szybkości zmian funkcji.
  • Znajomość wzorów na pochodne podstawowych funkcji i reguł różniczkowania jest kluczowa.
  • Badanie monotoniczności funkcji za pomocą pochodnej to potężne narzędzie analizy matematycznej.
  • Związek między znakiem pochodnej a monotonicznością funkcji jest fundamentalny dla zrozumienia zachowania funkcji.
...

1.04.2022

1310

pochodna sunkeji
definicia: Pochodną funkcji f(x) w punkcie Xo oznaczamy symbolem f(x)
i definiujemy jako granice: f'(x) = lim f(xo+h)-f(xo)

Zobacz

Zastosowanie pochodnej w badaniu funkcji

Pochodna funkcji jest potężnym narzędziem do badania właściwości funkcji, w tym jej monotoniczności i ekstremów lokalnych. Funkcja, która posiada pochodną w punkcie x₀, jest różniczkowalna w tym punkcie. Jeśli funkcja jest różniczkowalna w każdym punkcie przedziału a;ba; b, to mówimy, że jest różniczkowalna w tym przedziale.

Definition: Funkcja różniczkowalna w punkcie to taka, która posiada pochodną w tym punkcie. Każda funkcja różniczkowalna jest również ciągła w danym punkcie.

Geometryczna interpretacja pochodnej jest kluczowa dla zrozumienia jej znaczenia. Pochodna f'x0x₀ jest równa tangensowi kąta, jaki tworzy z osią x styczna do wykresu funkcji f w punkcie x0,f(x0x₀, f(x₀). To pozwala na wyznaczenie równania stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie.

Example: Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x2,f(x2x₂, f(x₂) ma postać: y = f'x2x₂xx2x - x₂ + fx2x₂

Badanie monotoniczności funkcji za pomocą pochodnej opiera się na związku między znakiem pochodnej a monotonicznością funkcji:

  • Jeśli f'xx > 0 dla każdego x ∈ a;ba; b, to funkcja f jest rosnąca w przedziale a;ba; b.
  • Jeśli f'xx < 0 dla każdego x ∈ a;ba; b, to funkcja f jest malejąca w przedziale a;ba; b.
  • Jeśli f'xx = 0 dla każdego x ∈ a;ba; b, to funkcja f jest stała w przedziale a;ba; b.

Highlight: Różniczkowe kryterium badania monotoniczności funkcji pozwala na precyzyjne określenie przedziałów monotoniczności funkcji na podstawie znaku jej pochodnej.

Zrozumienie tych koncepcji jest kluczowe dla efektywnego badania monotoniczności funkcji oraz znajdowania jej ekstremów lokalnych. Są to fundamentalne umiejętności w analizie matematycznej, niezbędne do rozwiązywania zaawansowanych problemów optymalizacyjnych i modelowania matematycznego.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

21 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

 

Matematyka

1310

1 kwi 2022

2 strony

Pochodna funkcji na luzie: Nauka z kalkulatorem i zadaniami

Pochodne funkcji i ich zastosowanie w badaniu monotoniczności to kluczowe zagadnienia w analizie matematycznej. Pochodna funkcji pozwala określić jej zachowanie, w tym monotoniczność i ekstrema lokalne. Zrozumienie tych koncepcji jest niezbędne dla studentów matematyki i nauk ścisłych.

  • Pochodna funkcjito... Pokaż więcej

pochodna sunkeji
definicia: Pochodną funkcji f(x) w punkcie Xo oznaczamy symbolem f(x)
i definiujemy jako granice: f'(x) = lim f(xo+h)-f(xo)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Zastosowanie pochodnej w badaniu funkcji

Pochodna funkcji jest potężnym narzędziem do badania właściwości funkcji, w tym jej monotoniczności i ekstremów lokalnych. Funkcja, która posiada pochodną w punkcie x₀, jest różniczkowalna w tym punkcie. Jeśli funkcja jest różniczkowalna w każdym punkcie przedziału a;ba; b, to mówimy, że jest różniczkowalna w tym przedziale.

Definition: Funkcja różniczkowalna w punkcie to taka, która posiada pochodną w tym punkcie. Każda funkcja różniczkowalna jest również ciągła w danym punkcie.

Geometryczna interpretacja pochodnej jest kluczowa dla zrozumienia jej znaczenia. Pochodna f'x0x₀ jest równa tangensowi kąta, jaki tworzy z osią x styczna do wykresu funkcji f w punkcie x0,f(x0x₀, f(x₀). To pozwala na wyznaczenie równania stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie.

Example: Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x2,f(x2x₂, f(x₂) ma postać: y = f'x2x₂xx2x - x₂ + fx2x₂

Badanie monotoniczności funkcji za pomocą pochodnej opiera się na związku między znakiem pochodnej a monotonicznością funkcji:

  • Jeśli f'xx > 0 dla każdego x ∈ a;ba; b, to funkcja f jest rosnąca w przedziale a;ba; b.
  • Jeśli f'xx < 0 dla każdego x ∈ a;ba; b, to funkcja f jest malejąca w przedziale a;ba; b.
  • Jeśli f'xx = 0 dla każdego x ∈ a;ba; b, to funkcja f jest stała w przedziale a;ba; b.

Highlight: Różniczkowe kryterium badania monotoniczności funkcji pozwala na precyzyjne określenie przedziałów monotoniczności funkcji na podstawie znaku jej pochodnej.

Zrozumienie tych koncepcji jest kluczowe dla efektywnego badania monotoniczności funkcji oraz znajdowania jej ekstremów lokalnych. Są to fundamentalne umiejętności w analizie matematycznej, niezbędne do rozwiązywania zaawansowanych problemów optymalizacyjnych i modelowania matematycznego.

pochodna sunkeji
definicia: Pochodną funkcji f(x) w punkcie Xo oznaczamy symbolem f(x)
i definiujemy jako granice: f'(x) = lim f(xo+h)-f(xo)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Definicja i podstawowe właściwości pochodnej funkcji

Pochodną funkcji definiujemy jako granicę ilorazu różnicowego. Jest to kluczowe pojęcie w analizie matematycznej, pozwalające badać zachowanie funkcji. Pochodna funkcji fxx w punkcie x₀ jest oznaczana symbolem f'x0x₀ i definiowana jako granica:

f'x0x₀ = lim f(x0+hf(x₀+h - fx0x₀) / h, gdy h dąży do 0

Ta definicja jest podstawą do zrozumienia koncepcji pochodnej funkcji w punkcie.

Vocabulary: Iloraz różnicowy to wyrażenie f(x2f(x₂ - fx1x₁) / x2x1x₂ - x₁, które aproksymuje pochodną funkcji.

Znajomość wzorów na pochodne podstawowych funkcji jest niezbędna dla efektywnego obliczania pochodnych. Oto kilka kluczowych wzorów:

  • Dla funkcji stałej fxx = c, pochodna f'xx = 0
  • Dla funkcji liniowej fxx = ax + b, pochodna f'xx = a
  • Dla funkcji kwadratowej fxx = x², pochodna f'xx = 2x

Highlight: Każda funkcja rosnąca w przedziale a;ba; b ma w każdym punkcie tego przedziału pochodną o wartości dodatniej, natomiast funkcja malejąca ma pochodną o wartości ujemnej.

Reguły obliczania pochodnych są kluczowe dla efektywnego różniczkowania złożonych funkcji. Najważniejsze z nich to:

  1. Pochodna sumy funkcji: f(x)+g(x)f(x) + g(x)' = f'xx + g'xx
  2. Pochodna różnicy funkcji: f(x)g(x)f(x) - g(x)' = f'xx - g'xx
  3. Pochodna iloczynu funkcji: f(x)g(x)f(x) · g(x)' = f'xx · gxx + fxx · g'xx
  4. Pochodna ilorazu funkcji: f(x)/g(x)f(x) / g(x)' = f(xf'(x · gxx - fxx · g'xx) / g(x)g(x)²

Example: Dla funkcji fxx = x² + √x, pochodna wynosi f'xx = 2x + 1/2x2√x, co wynika z zastosowania reguły sumy i znanych wzorów na pochodne.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS