Pochodna funkcji - definicja, wzory i zastosowania

weronika dąbkowska

19.08.2025

Matematyka

Pochodna funkcji

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Funkcja f(x) = a/x

Proporcjonalność odwrotna

1321

•

19 sie 2025

•

2 strony

Pochodna funkcji - definicja, wzory i zastosowania

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

weronika dąbkowska

@weeronikka

Pochodne funkcji to kluczowe narzędzie w matematyce, które pomaga zrozumieć... Pokaż więcej

pochodna sunkeji
definicia: Pochodną funkcji f(x) w punkcie Xo oznaczamy symbolem f(x)
i definiujemy jako granice: f'(x) = lim f(xo+h)-f(xo)

Pochodna funkcji - definicja i wzory

Pochodną funkcji w punkcie oznaczamy jako f'(x₀) i definiujemy jako granicę: f'(x₀) = lim(h→0) [f(x₀+h)-f(x₀)]/h. Intuicyjnie to szybkość zmiany funkcji w danym punkcie.

Iloraz różnicowy funkcji [f(x₂)-f(x₁)]/(x₂-x₁) odpowiada współczynnikowi kierunkowemu prostej. Warto zapamiętać, że dla funkcji rosnącej iloraz różnicowy ma wartość dodatnią, a dla malejącej - ujemną.

Znając kilka podstawowych wzorów pochodnych możesz obliczać pochodne złożonych funkcji:

Stała: f(x) = c → f'(x) = 0
Potęga: f(x) = xⁿ → f'(x) = n·xⁿ⁻¹
Funkcja liniowa: f(x) = ax+b → f'(x) = a
Odwrotność: f(x) = 1/x → f'(x) = -1/x²
Pierwiastek: f(x) = √x → f'(x) = 1/(2√x)

Wskazówka: Przy obliczaniu pochodnej z definicji kluczowe jest prawidłowe podstawienie i uproszczenie wyrażeń przed obliczeniem granicy!

Do obliczania pochodnych funkcji złożonych stosujemy reguły:

Suma: [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)
Różnica: [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)
Iloczyn ze stałą: [c·f(x)]' = c·f'(x)
Iloczyn funkcji: [f(x)·g(x)]' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
Iloraz funkcji: [f(x)/g(x)]' = [f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)]/[g(x)]²

Różniczkowalność i monotoniczność funkcji

Jeśli funkcja ma pochodną w punkcie x₀, mówimy, że jest różniczkowalna w tym punkcie. Pamiętaj - każda funkcja mająca pochodną w punkcie jest w tym punkcie ciągła! Ale nie odwrotnie.

Pochodna f'(x₀) geometrycznie to tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji w punkcie (x₀, f(x₀)). Równanie tej stycznej możemy zapisać jako: y = f'(x₀)(x-x₀) + f(x₀).

Badanie monotoniczności funkcji za pomocą pochodnej jest bardzo proste:

Jeśli f'(x) > 0 w przedziale (a;b), funkcja jest rosnąca w tym przedziale
Jeśli f'(x) < 0 w przedziale (a;b), funkcja jest malejąca w tym przedziale
Jeśli f'(x) = 0 w przedziale (a;b), funkcja jest stała

Zapamiętaj: Punkty, w których pochodna zmienia znak, mogą być ekstremami lokalnymi funkcji (minimami lub maksimami) i warto je szczególnie analizować!

Różniczkowe kryterium badania monotoniczności to narzędzie, które pozwala szybko określić, gdzie funkcja rośnie, a gdzie maleje. Wystarczy sprawdzić znak pochodnej w danym przedziale. Znajomość tej metody znacznie ułatwi ci rozwiązywanie wielu zadań matematycznych.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Funkcje i ich własności

11045

379

Funkcja homograficzna

3786

102

Analiza matematyczna

1538

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Funkcja f(x) = a/x

Proporcjonalność odwrotna

Matematyka

•

1321

•

19 sie 2025

•

2 strony

Pochodna funkcji - definicja, wzory i zastosowania

weronika dąbkowska

@weeronikka

Pochodne funkcji to kluczowe narzędzie w matematyce, które pomaga zrozumieć zachowanie funkcji i ich zmiany. Poznanie pochodnych otworzy ci drzwi do rozwiązywania wielu problemów matematycznych i fizycznych.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Pochodna funkcji - definicja i wzory

Pochodną funkcji w punkcie oznaczamy jako f'(x₀) i definiujemy jako granicę: f'(x₀) = lim(h→0) [f(x₀+h)-f(x₀)]/h. Intuicyjnie to szybkość zmiany funkcji w danym punkcie.

Znając kilka podstawowych wzorów pochodnych możesz obliczać pochodne złożonych funkcji:

Stała: f(x) = c → f'(x) = 0
Potęga: f(x) = xⁿ → f'(x) = n·xⁿ⁻¹
Funkcja liniowa: f(x) = ax+b → f'(x) = a
Odwrotność: f(x) = 1/x → f'(x) = -1/x²
Pierwiastek: f(x) = √x → f'(x) = 1/(2√x)

Wskazówka: Przy obliczaniu pochodnej z definicji kluczowe jest prawidłowe podstawienie i uproszczenie wyrażeń przed obliczeniem granicy!

Do obliczania pochodnych funkcji złożonych stosujemy reguły:

Suma: [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)
Różnica: [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)
Iloczyn ze stałą: [c·f(x)]' = c·f'(x)
Iloczyn funkcji: [f(x)·g(x)]' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
Iloraz funkcji: [f(x)/g(x)]' = [f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)]/[g(x)]²

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Różniczkowalność i monotoniczność funkcji

Pochodna f'(x₀) geometrycznie to tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji w punkcie (x₀, f(x₀)). Równanie tej stycznej możemy zapisać jako: y = f'(x₀)(x-x₀) + f(x₀).

Badanie monotoniczności funkcji za pomocą pochodnej jest bardzo proste:

Jeśli f'(x) > 0 w przedziale (a;b), funkcja jest rosnąca w tym przedziale
Jeśli f'(x) < 0 w przedziale (a;b), funkcja jest malejąca w tym przedziale
Jeśli f'(x) = 0 w przedziale (a;b), funkcja jest stała

Zapamiętaj: Punkty, w których pochodna zmienia znak, mogą być ekstremami lokalnymi funkcji (minimami lub maksimami) i warto je szczególnie analizować!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Funkcje i ich własności

11045

379

Funkcja homograficzna

3786

102

Analiza matematyczna

1538

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS