Pochodna funkcji - definicja, wzory i zastosowania

weronika dąbkowska

1.04.2022

Matematyka

Pochodna funkcji

Matematyka

Pochodne i ich zastosowania

pochodna

1322

•

1 kwi 2022

•

2 strony

Pochodna funkcji - definicja, wzory i zastosowania

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

weronika dąbkowska

@weeronikka

Pochodne funkcji to kluczowe narzędzie w matematyce, które pomaga zrozumieć... Pokaż więcej

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

pochodna sunkeji
definicia: Pochodną funkcji f(x) w punkcie Xo oznaczamy symbolem f(x)
i definiujemy jako granice: f'(x) = lim f(xo+h)-f(xo)

Pochodna funkcji - definicja i wzory

Pochodną funkcji w punkcie oznaczamy jako f' $x₀$ i definiujemy jako granicę: f' $x₀$ = lim $h→0$ $f(x₀+h)-f(x₀)$ /h. Intuicyjnie to szybkość zmiany funkcji w danym punkcie.

Iloraz różnicowy funkcji $f(x₂)-f(x₁)$ / $x₂-x₁$ odpowiada współczynnikowi kierunkowemu prostej. Warto zapamiętać, że dla funkcji rosnącej iloraz różnicowy ma wartość dodatnią, a dla malejącej - ujemną.

Znając kilka podstawowych wzorów pochodnych możesz obliczać pochodne złożonych funkcji:

Stała: f $x$ = c → f' $x$ = 0
Potęga: f $x$ = xⁿ → f' $x$ = n·xⁿ⁻¹
Funkcja liniowa: f $x$ = ax+b → f' $x$ = a
Odwrotność: f $x$ = 1/x → f' $x$ = -1/x²
Pierwiastek: f $x$ = √x → f' $x$ = 1/(2√x)

Wskazówka: Przy obliczaniu pochodnej z definicji kluczowe jest prawidłowe podstawienie i uproszczenie wyrażeń przed obliczeniem granicy!

Do obliczania pochodnych funkcji złożonych stosujemy reguły:

Suma: $f(x) + g(x)$ ' = f' $x$ + g'(x)
Różnica: $f(x) - g(x)$ ' = f' $x$ - g'(x)
Iloczyn ze stałą: $c·f(x)$ ' = c·f'(x)
Iloczyn funkcji: $f(x)·g(x)$ ' = f' $x$ ·g $x$ + f(x)·g'(x)
Iloraz funkcji: $f(x)/g(x)$ ' = $f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)$ / $g(x)$ ²

Różniczkowalność i monotoniczność funkcji

Jeśli funkcja ma pochodną w punkcie x₀, mówimy, że jest różniczkowalna w tym punkcie. Pamiętaj - każda funkcja mająca pochodną w punkcie jest w tym punkcie ciągła! Ale nie odwrotnie.

Pochodna f' $x₀$ geometrycznie to tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji w punkcie $x₀, f(x₀$ ). Równanie tej stycznej możemy zapisać jako: y = f' $x₀$ $x-x₀$ + f(x₀).

Badanie monotoniczności funkcji za pomocą pochodnej jest bardzo proste:

Jeśli f'(x) > 0 w przedziale (a;b), funkcja jest rosnąca w tym przedziale
Jeśli f'(x) < 0 w przedziale (a;b), funkcja jest malejąca w tym przedziale
Jeśli f' $x$ = 0 w przedziale (a;b), funkcja jest stała

Zapamiętaj: Punkty, w których pochodna zmienia znak, mogą być ekstremami lokalnymi funkcji (minimami lub maksimami) i warto je szczególnie analizować!

Różniczkowe kryterium badania monotoniczności to narzędzie, które pozwala szybko określić, gdzie funkcja rośnie, a gdzie maleje. Wystarczy sprawdzić znak pochodnej w danym przedziale. Znajomość tej metody znacznie ułatwi ci rozwiązywanie wielu zadań matematycznych.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Funkcja homograficzna

3791

102

Funkcje i ich własności

11085

379

Funkcja liniowa

7478

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Matematyka

Pochodne i ich zastosowania

pochodna

Matematyka

•

1322

•

1 kwi 2022

•

2 strony

Pochodna funkcji - definicja, wzory i zastosowania

weronika dąbkowska

@weeronikka

Pochodne funkcji to kluczowe narzędzie w matematyce, które pomaga zrozumieć zachowanie funkcji i ich zmiany. Poznanie pochodnych otworzy ci drzwi do rozwiązywania wielu problemów matematycznych i fizycznych.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Pochodna funkcji - definicja i wzory

Pochodną funkcji w punkcie oznaczamy jako f' $x₀$ i definiujemy jako granicę: f' $x₀$ = lim $h→0$ $f(x₀+h)-f(x₀)$ /h. Intuicyjnie to szybkość zmiany funkcji w danym punkcie.

Znając kilka podstawowych wzorów pochodnych możesz obliczać pochodne złożonych funkcji:

Stała: f $x$ = c → f' $x$ = 0
Potęga: f $x$ = xⁿ → f' $x$ = n·xⁿ⁻¹
Funkcja liniowa: f $x$ = ax+b → f' $x$ = a
Odwrotność: f $x$ = 1/x → f' $x$ = -1/x²
Pierwiastek: f $x$ = √x → f' $x$ = 1/(2√x)

Wskazówka: Przy obliczaniu pochodnej z definicji kluczowe jest prawidłowe podstawienie i uproszczenie wyrażeń przed obliczeniem granicy!

Do obliczania pochodnych funkcji złożonych stosujemy reguły:

Suma: $f(x) + g(x)$ ' = f' $x$ + g'(x)
Różnica: $f(x) - g(x)$ ' = f' $x$ - g'(x)
Iloczyn ze stałą: $c·f(x)$ ' = c·f'(x)
Iloczyn funkcji: $f(x)·g(x)$ ' = f' $x$ ·g $x$ + f(x)·g'(x)
Iloraz funkcji: $f(x)/g(x)$ ' = $f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)$ / $g(x)$ ²

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Różniczkowalność i monotoniczność funkcji

Pochodna f' $x₀$ geometrycznie to tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji w punkcie $x₀, f(x₀$ ). Równanie tej stycznej możemy zapisać jako: y = f' $x₀$ $x-x₀$ + f(x₀).

Badanie monotoniczności funkcji za pomocą pochodnej jest bardzo proste:

Jeśli f'(x) > 0 w przedziale (a;b), funkcja jest rosnąca w tym przedziale
Jeśli f'(x) < 0 w przedziale (a;b), funkcja jest malejąca w tym przedziale
Jeśli f' $x$ = 0 w przedziale (a;b), funkcja jest stała

Zapamiętaj: Punkty, w których pochodna zmienia znak, mogą być ekstremami lokalnymi funkcji (minimami lub maksimami) i warto je szczególnie analizować!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Funkcja homograficzna

3791

102

Funkcje i ich własności

11085

379

Funkcja liniowa

7478

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS