Przedmioty

SchoolGPT

Kariera

SchoolAI

Knowunity Pro

Otwórz aplikację

Przedmioty

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Przekształcenia wykresów

Y = f(x) + a

Matematyka

28 lis 2025

2099

5 strony

Funkcje Wykładnicze i Logarytmiczne: Przekształcenia Wykresów

user profile picture

Maja Grodzicka @majagrodzicka_nkmx

Przekształcenia wykresów funkcji wykładniczej i logarytmicznej to podstawowy temat, który pomoże ci zrozumieć, jak zmienia się wygląd wykresów... Pokaż więcej

Lekcja 1.0 wektor y = a y x+p. x+p q OX q ← 06.09. 2023 16) f(x) 3*-1 PRZEKSZTAŁCENIA a X y y = 3x (1√) X = a + g y = a ↓ y a X X X: q a Y:

Przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej

Wykresy funkcji wykładniczej można przekształcać na dwa główne sposoby. Przesunięcie o wektor polega na dodaniu lub odjęciu stałych do argumentu lub całej funkcji.

Wzór ogólny to y = a^x+px+p + q, gdzie p i q określają kierunek przesunięcia. Jeśli p > 0, wykres przesuwa się w lewo o p jednostek, jeśli p < 0 - w prawo. Gdy q > 0, wykres idzie w górę o q jednostek, gdy q < 0 - w dół.

Odbicia względem osi to drugi sposób przekształcania. Funkcja a^−x-x to odbicie względem osi OY, a -a^x to odbicie względem osi OX. Pamiętaj, że a^−x-x = 1/a1/a^x.

💡 Wskazówka Zawsze zacznij od podstawowego wykresu y = a^x, a potem dodawaj kolejne przekształcenia krok po kroku!

Lekcja 1.0 wektor y = a y x+p. x+p q OX q ← 06.09. 2023 16) f(x) 3*-1 PRZEKSZTAŁCENIA a X y y = 3x (1√) X = a + g y = a ↓ y a X X X: q a Y:

Wartość bezwzględna w funkcjach wykładniczych

Funkcje z wartością bezwzględną tworzą charakterystyczne kształty wykresów. Gdy masz y = |f(x)|, wszystkie ujemne wartości funkcji "odbijają się" nad oś OX.

Z kolei y = f(|x|) oznacza, że lewa część wykresu jest odbiciem prawej części względem osi OY. Wykres staje się symetryczny względem osi pionowej.

Przykład f(x) = |2^x - 4| pokazuje, jak wykres podstawowej funkcji wykładniczej zmienia kształt po zastosowaniu wartości bezwzględnej. Fragmenty poniżej osi OX "przeskakują" nad nią.

Lekcja 1.0 wektor y = a y x+p. x+p q OX q ← 06.09. 2023 16) f(x) 3*-1 PRZEKSZTAŁCENIA a X y y = 3x (1√) X = a + g y = a ↓ y a X X X: q a Y:

Właściwości funkcji logarytmicznej

Funkcja logarytmiczna ma kilka kluczowych właściwości, które musisz znać na pamięć. Log_a 1 = 0, log_a a = 1, oraz log_a a^m = m to podstawowe wzory.

Działania na logarytmach to twoja broń w rozwiązywaniu równań. Log_a x + log_a y = log_a (x·y) oraz log_a x - log_a y = log_a x/yx/y pozwalają przekształcać skomplikowane wyrażenia.

Kształt wykresu zależy od podstawy logarytmu. Gdy a > 1, funkcja jest rosnąca jaklog2xjak log_2 x. Gdy 0 < a < 1, funkcja maleje jaklog(1/2)xjak log_(1/2) x. Wszystkie wykresy przechodzą przez punkt (1,0).

💡 Pamiętaj Logarytm to funkcja odwrotna do potęgowania - jeśli 2^3 = 8, to log_2 8 = 3!

Lekcja 1.0 wektor y = a y x+p. x+p q OX q ← 06.09. 2023 16) f(x) 3*-1 PRZEKSZTAŁCENIA a X y y = 3x (1√) X = a + g y = a ↓ y a X X X: q a Y:

Przekształcenia wykresu funkcji logarytmicznej

Przesunięcia wykresu logarytmicznego działają podobnie jak w funkcjach wykładniczych. Wzór y = log_ax+px+p + q opisuje przesunięcie o wektor p,qp,q.

Gdy masz log_ax+px+p, wykres przesuwa się w lewo o p jednostek (jeśli p > 0). Dodanie q na końcu przesuwa całość w górę o q jednostek. Te przekształcenia można łączyć dowolnie.

Odbicia względem osi tworzą nowe funkcje -log_a x (odbicie względem OX) i log_a−x-x (odbicie względem OY). Pamiętaj o dziedzinie - log_a−x-x istnieje tylko dla x < 0.

Wartość bezwzględna tworzy charakterystyczne kształty |log_a x| "składa" ujemną część wykresu w górę, a log_a |x| tworzy wykres symetryczny względem osi OY.

Lekcja 1.0 wektor y = a y x+p. x+p q OX q ← 06.09. 2023 16) f(x) 3*-1 PRZEKSZTAŁCENIA a X y y = 3x (1√) X = a + g y = a ↓ y a X X X: q a Y:

Przykłady praktyczne i rozwiązywanie zadań

Funkcja f(x) = log_(1/2)x−1x-1 - 2 to świetny przykład złożonego przekształcenia. Najpierw przesuwasz podstawowy wykres w prawo o 1, potem w dół o 2 jednostki.

Przy rozwiązywaniu zadań zawsze zacznij od wykresu podstawowego, a potem dodawaj kolejne przekształcenia. To znacznie ułatwia zrozumienie końcowego rezultatu.

Funkcje typu y = log_a |x| istnieją tylko dla x ≠ 0 i są symetryczne względem osi OY. Lewa część to lustrzane odbicie prawej części wykresu.

💡 Sprawdź się Spróbuj narysować wykres y = |log_2x+1x+1| krok po kroku - to doskonały test twojego zrozumienia!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

35

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny
Quiz
Fiszki
Esej

Podobne notatki

Właściwości Funkcji Wykładniczej

Zrozumienie właściwości funkcji wykładniczej, w tym asymptot, punktów przecięcia oraz zachowania funkcji w różnych przedziałach. Materiał obejmuje kluczowe pojęcia, takie jak definicja funkcji, ich właściwości oraz analiza wykresów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
2

Przesunięcia Wykresów Funkcji

Zrozumienie przesunięć wykresów funkcji w matematyce. Dowiedz się, jak przesuwać wykresy w poziomie i pionie oraz jak stosować symetrię względem osi. Kluczowe wzory i przykłady dla funkcji f(x) oraz g(x). Typ: Podsumowanie.

MatematykaMatematyka
1

Wykresy Funkcji Homograficznej

Zrozumienie funkcji homograficznych, ich wykresów oraz właściwości. Notatka obejmuje definicje, asymptoty, dziedzinę funkcji oraz przykłady równań kwadratowych. Idealna dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
2

Ekstrema Funkcji i Pochodne

Zrozum, jak wyznaczać ekstrema funkcji za pomocą pochodnych. Ta notatka zawiera kluczowe wzory, kroki do obliczania miejsc zerowych pochodnej oraz interpretację wyników. Idealna dla studentów matematyki, którzy chcą opanować temat pochodnych i ich zastosowań.

MatematykaMatematyka
4

Analiza Wykresów Funkcji

Zrozumienie wykresów funkcji, w tym rodzaje wykresów, asymptoty oraz właściwości funkcji. Materiał obejmuje analizę dziedziny funkcji oraz ich graficzne przedstawienie. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
2

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Przekształcenia wykresów

Y = f(x) + a

 

Matematyka

•

2099

•

28 lis 2025

•

5 strony

Funkcje Wykładnicze i Logarytmiczne: Przekształcenia Wykresów

user profile picture

Maja Grodzicka

@majagrodzicka_nkmx

Przekształcenia wykresów funkcji wykładniczej i logarytmicznej to podstawowy temat, który pomoże ci zrozumieć, jak zmienia się wygląd wykresów po różnych modyfikacjach wzoru. Dzięki temu będziesz mógł szybko szkicować wykresy i analizować ich właściwości.

Lekcja 1.0 wektor y = a y x+p. x+p q OX q ← 06.09. 2023 16) f(x) 3*-1 PRZEKSZTAŁCENIA a X y y = 3x (1√) X = a + g y = a ↓ y a X X X: q a Y:

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej

Wykresy funkcji wykładniczej można przekształcać na dwa główne sposoby. Przesunięcie o wektor polega na dodaniu lub odjęciu stałych do argumentu lub całej funkcji.

Wzór ogólny to y = a^x+px+p + q, gdzie p i q określają kierunek przesunięcia. Jeśli p > 0, wykres przesuwa się w lewo o p jednostek, jeśli p < 0 - w prawo. Gdy q > 0, wykres idzie w górę o q jednostek, gdy q < 0 - w dół.

Odbicia względem osi to drugi sposób przekształcania. Funkcja a^−x-x to odbicie względem osi OY, a -a^x to odbicie względem osi OX. Pamiętaj, że a^−x-x = 1/a1/a^x.

💡 Wskazówka: Zawsze zacznij od podstawowego wykresu y = a^x, a potem dodawaj kolejne przekształcenia krok po kroku!

Lekcja 1.0 wektor y = a y x+p. x+p q OX q ← 06.09. 2023 16) f(x) 3*-1 PRZEKSZTAŁCENIA a X y y = 3x (1√) X = a + g y = a ↓ y a X X X: q a Y:

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wartość bezwzględna w funkcjach wykładniczych

Funkcje z wartością bezwzględną tworzą charakterystyczne kształty wykresów. Gdy masz y = |f(x)|, wszystkie ujemne wartości funkcji "odbijają się" nad oś OX.

Z kolei y = f(|x|) oznacza, że lewa część wykresu jest odbiciem prawej części względem osi OY. Wykres staje się symetryczny względem osi pionowej.

Przykład f(x) = |2^x - 4| pokazuje, jak wykres podstawowej funkcji wykładniczej zmienia kształt po zastosowaniu wartości bezwzględnej. Fragmenty poniżej osi OX "przeskakują" nad nią.

Lekcja 1.0 wektor y = a y x+p. x+p q OX q ← 06.09. 2023 16) f(x) 3*-1 PRZEKSZTAŁCENIA a X y y = 3x (1√) X = a + g y = a ↓ y a X X X: q a Y:

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Właściwości funkcji logarytmicznej

Funkcja logarytmiczna ma kilka kluczowych właściwości, które musisz znać na pamięć. Log_a 1 = 0, log_a a = 1, oraz log_a a^m = m to podstawowe wzory.

Działania na logarytmach to twoja broń w rozwiązywaniu równań. Log_a x + log_a y = log_a (x·y) oraz log_a x - log_a y = log_a x/yx/y pozwalają przekształcać skomplikowane wyrażenia.

Kształt wykresu zależy od podstawy logarytmu. Gdy a > 1, funkcja jest rosnąca jaklog2xjak log_2 x. Gdy 0 < a < 1, funkcja maleje jaklog(1/2)xjak log_(1/2) x. Wszystkie wykresy przechodzą przez punkt (1,0).

💡 Pamiętaj: Logarytm to funkcja odwrotna do potęgowania - jeśli 2^3 = 8, to log_2 8 = 3!

Lekcja 1.0 wektor y = a y x+p. x+p q OX q ← 06.09. 2023 16) f(x) 3*-1 PRZEKSZTAŁCENIA a X y y = 3x (1√) X = a + g y = a ↓ y a X X X: q a Y:

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Przekształcenia wykresu funkcji logarytmicznej

Przesunięcia wykresu logarytmicznego działają podobnie jak w funkcjach wykładniczych. Wzór y = log_ax+px+p + q opisuje przesunięcie o wektor p,qp,q.

Gdy masz log_ax+px+p, wykres przesuwa się w lewo o p jednostek (jeśli p > 0). Dodanie q na końcu przesuwa całość w górę o q jednostek. Te przekształcenia można łączyć dowolnie.

Odbicia względem osi tworzą nowe funkcje: -log_a x (odbicie względem OX) i log_a−x-x (odbicie względem OY). Pamiętaj o dziedzinie - log_a−x-x istnieje tylko dla x < 0.

Wartość bezwzględna tworzy charakterystyczne kształty: |log_a x| "składa" ujemną część wykresu w górę, a log_a |x| tworzy wykres symetryczny względem osi OY.

Lekcja 1.0 wektor y = a y x+p. x+p q OX q ← 06.09. 2023 16) f(x) 3*-1 PRZEKSZTAŁCENIA a X y y = 3x (1√) X = a + g y = a ↓ y a X X X: q a Y:

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Przykłady praktyczne i rozwiązywanie zadań

Funkcja f(x) = log_(1/2)x−1x-1 - 2 to świetny przykład złożonego przekształcenia. Najpierw przesuwasz podstawowy wykres w prawo o 1, potem w dół o 2 jednostki.

Przy rozwiązywaniu zadań zawsze zacznij od wykresu podstawowego, a potem dodawaj kolejne przekształcenia. To znacznie ułatwia zrozumienie końcowego rezultatu.

Funkcje typu y = log_a |x| istnieją tylko dla x ≠ 0 i są symetryczne względem osi OY. Lewa część to lustrzane odbicie prawej części wykresu.

💡 Sprawdź się: Spróbuj narysować wykres y = |log_2x+1x+1| krok po kroku - to doskonały test twojego zrozumienia!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

35

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny
Quiz
Fiszki
Esej

Podobne notatki

Właściwości Funkcji Wykładniczej

Zrozumienie właściwości funkcji wykładniczej, w tym asymptot, punktów przecięcia oraz zachowania funkcji w różnych przedziałach. Materiał obejmuje kluczowe pojęcia, takie jak definicja funkcji, ich właściwości oraz analiza wykresów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
2

Przesunięcia Wykresów Funkcji

Zrozumienie przesunięć wykresów funkcji w matematyce. Dowiedz się, jak przesuwać wykresy w poziomie i pionie oraz jak stosować symetrię względem osi. Kluczowe wzory i przykłady dla funkcji f(x) oraz g(x). Typ: Podsumowanie.

MatematykaMatematyka
1

Wykresy Funkcji Homograficznej

Zrozumienie funkcji homograficznych, ich wykresów oraz właściwości. Notatka obejmuje definicje, asymptoty, dziedzinę funkcji oraz przykłady równań kwadratowych. Idealna dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
2

Ekstrema Funkcji i Pochodne

Zrozum, jak wyznaczać ekstrema funkcji za pomocą pochodnych. Ta notatka zawiera kluczowe wzory, kroki do obliczania miejsc zerowych pochodnej oraz interpretację wyników. Idealna dla studentów matematyki, którzy chcą opanować temat pochodnych i ich zastosowań.

MatematykaMatematyka
4

Analiza Wykresów Funkcji

Zrozumienie wykresów funkcji, w tym rodzaje wykresów, asymptoty oraz właściwości funkcji. Materiał obejmuje analizę dziedziny funkcji oraz ich graficzne przedstawienie. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
2

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS