Definicja i Dziedzina Funkcji Wymiernej

Funkcja wymierna to funkcja, która może być wyrażona jako iloraz dwóch wielomianów. Jej ogólna postać to:

y = P(x) / Q(x)

gdzie P(x) i Q(x) są wielomianami, a Q(x) ≠ 0.

Definition: Funkcja wymierna to iloraz dwóch wielomianów, gdzie mianownik nie może być równy zeru.

Przy określaniu dziedziny funkcji wymiernej, kluczowe jest znalezienie wartości x, dla których mianownik nie jest równy zeru.

Example: Dla funkcji y = (3x+5) / (2x+3), musimy rozwiązać równanie 2x+3 ≠ 0, co daje x ≠ -3/2.

Dla bardziej złożonych funkcji, takich jak y = (x+3)(x-2) / (3x-6), proces jest podobny:

1. Rozwiązujemy równanie 3x-6 ≠ 0
2. Otrzymujemy x ≠ 2
3. Dziedzina funkcji to wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 2, czyli D: x ∈ R - {2}

Highlight: Przy określaniu dziedziny funkcji wymiernej, zawsze szukamy wartości x, dla których mianownik jest równy zero, i wykluczamy te wartości z dziedziny.

Dla funkcji z pierwiastkami w mianowniku, takich jak y = (x²+5) / √(x+2), musimy dodatkowo uwzględnić, że wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne:

1. x+2 ≥ 0
2. x ≥ -2

Ostatecznie, dziedzina takiej funkcji to D: x ∈ [−2,∞).

Vocabulary: Dziedzina funkcji wymiernej to zbiór wszystkich wartości x, dla których funkcja jest określona, czyli dla których mianownik nie jest równy zero.

Rysowanie Wykresów Funkcji Wymiernych

Rysowanie wykresów funkcji wymiernych wymaga zrozumienia ich zachowania w różnych przedziałach oraz znajomości pojęcia asymptot.

Dla funkcji f(x) = 1/x, możemy wyróżnić dwa przypadki:

1. Dla a > 0:

   • Funkcja maleje w I i III ćwiartce układu współrzędnych
   • Asymptota pionowa: x = 0
   • Asymptota pozioma: y = 0

2. Dla a < 0:

   • Funkcja rośnie w II i IV ćwiartce układu współrzędnych
   • Asymptota pionowa: x = 0
   • Asymptota pozioma: y = 0

Example: Wykres funkcji f(x) = 1/x dla a > 0 przypomina hiperbolę, która zbliża się do osi x i y, ale nigdy ich nie przecina.

Highlight: Asymptoty to linie proste, do których wykres funkcji zbliża się, ale nigdy ich nie przecina. Dla funkcji wymiernych, asymptoty mogą być pionowe (gdy mianownik jest równy zero) lub poziome (gdy stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika).

Przy rysowaniu wykresów funkcji wymiernych, należy:

1. Określić dziedzinę funkcji
2. Znaleźć asymptoty pionowe i poziome
3. Zbadać zachowanie funkcji w otoczeniu asymptot
4. Znaleźć punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych
5. Określić przedziały monotoniczności funkcji

Vocabulary: Wykres funkcji wymiernej to graficzna reprezentacja wszystkich punktów (x, y) spełniających równanie funkcji wymiernej.

Zrozumienie tych koncepcji jest kluczowe dla efektywnego rysowania i interpretacji wykresów funkcji wymiernych.