Zabawa z funkcją wymierną: rysujemy wykresy i poznajemy wzory!

YUKI_SUZU

8.07.2025

Matematyka

Funkcja wymierna

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Funkcja f(x) = a/x

Korzystanie z wykresu funkcji do interpretacji zagadnień

3362

•

8 lip 2025

•

2 strony

Zabawa z funkcją wymierną: rysujemy wykresy i poznajemy wzory!

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

YUKI_SUZU

@akiii

Funkcje wymierne są kluczowym tematem w matematyce, obejmującym ilorazy wielomianów.... Pokaż więcej

FUNKEJA
WYMIERNA
Definicja funkcji wymiernej
пр.
3x9
~ to też wielomiany, ponieważ 3x+5
W (x)
y = P ( x )
y
3
= 2x+5
To co w mianowniku nie

Rysowanie Wykresów Funkcji Wymiernych

Rysowanie wykresów funkcji wymiernych wymaga zrozumienia ich zachowania w różnych przedziałach oraz znajomości pojęcia asymptot.

Dla funkcji f $x$ = 1/x, możemy wyróżnić dwa przypadki:

Dla a > 0: Funkcja maleje w I i III ćwiartce układu współrzędnych Asymptota pionowa: x = 0 Asymptota pozioma: y = 0
Dla a < 0: Funkcja rośnie w II i IV ćwiartce układu współrzędnych Asymptota pionowa: x = 0 Asymptota pozioma: y = 0

Example: Wykres funkcji f $x$ = 1/x dla a > 0 przypomina hiperbolę, która zbliża się do osi x i y, ale nigdy ich nie przecina.

Highlight: Asymptoty to linie proste, do których wykres funkcji zbliża się, ale nigdy ich nie przecina. Dla funkcji wymiernych, asymptoty mogą być pionowe $gdy mianownik jest równy zero$ lub poziome $gdy stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika$ .

Przy rysowaniu wykresów funkcji wymiernych, należy:

Określić dziedzinę funkcji
Znaleźć asymptoty pionowe i poziome
Zbadać zachowanie funkcji w otoczeniu asymptot
Znaleźć punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych
Określić przedziały monotoniczności funkcji

Vocabulary: Wykres funkcji wymiernej to graficzna reprezentacja wszystkich punktów $x, y$ spełniających równanie funkcji wymiernej.

Zrozumienie tych koncepcji jest kluczowe dla efektywnego rysowania i interpretacji wykresów funkcji wymiernych.

Definicja i Dziedzina Funkcji Wymiernej

Funkcja wymierna to funkcja, która może być wyrażona jako iloraz dwóch wielomianów. Jej ogólna postać to:

y = P $x$ / Q $x$

gdzie P $x$ i Q $x$ są wielomianami, a Q $x$ ≠ 0.

Definition: Funkcja wymierna to iloraz dwóch wielomianów, gdzie mianownik nie może być równy zeru.

Przy określaniu dziedziny funkcji wymiernej, kluczowe jest znalezienie wartości x, dla których mianownik nie jest równy zeru.

Example: Dla funkcji y = $3x+5$ / $2x+3$ , musimy rozwiązać równanie 2x+3 ≠ 0, co daje x ≠ -3/2.

Dla bardziej złożonych funkcji, takich jak y = $x+3$ $x-2$ / $3x-6$ , proces jest podobny:

Rozwiązujemy równanie 3x-6 ≠ 0
Otrzymujemy x ≠ 2
Dziedzina funkcji to wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 2, czyli D: x ∈ R - {2}

Highlight: Przy określaniu dziedziny funkcji wymiernej, zawsze szukamy wartości x, dla których mianownik jest równy zero, i wykluczamy te wartości z dziedziny.

Dla funkcji z pierwiastkami w mianowniku, takich jak y = $x²+5$ / √ $x+2$ , musimy dodatkowo uwzględnić, że wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne:

x+2 ≥ 0
x ≥ -2

Ostatecznie, dziedzina takiej funkcji to D: x ∈ [−2,∞).

Vocabulary: Dziedzina funkcji wymiernej to zbiór wszystkich wartości x, dla których funkcja jest określona, czyli dla których mianownik nie jest równy zero.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

funkcje i dziedzina

1754

charakterystyka funkcji

2746

Funkcje podstawy

1389

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Funkcja f(x) = a/x

Korzystanie z wykresu funkcji do interpretacji zagadnień

Matematyka

•

3362

•

8 lip 2025

•

2 strony

Zabawa z funkcją wymierną: rysujemy wykresy i poznajemy wzory!

YUKI_SUZU

@akiii

Funkcje wymierne są kluczowym tematem w matematyce, obejmującym ilorazy wielomianów. Zrozumienie ich definicji, dziedziny i właściwości jest istotne dla dalszej nauki matematyki.

Funkcja wymierna to iloraz dwóch wielomianów, gdzie mianownik nie może być zerem.
Kluczowe aspekty to określenie dziedziny, badanie... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Rysowanie Wykresów Funkcji Wymiernych

Rysowanie wykresów funkcji wymiernych wymaga zrozumienia ich zachowania w różnych przedziałach oraz znajomości pojęcia asymptot.

Dla funkcji f $x$ = 1/x, możemy wyróżnić dwa przypadki:

Dla a > 0: Funkcja maleje w I i III ćwiartce układu współrzędnych Asymptota pionowa: x = 0 Asymptota pozioma: y = 0
Dla a < 0: Funkcja rośnie w II i IV ćwiartce układu współrzędnych Asymptota pionowa: x = 0 Asymptota pozioma: y = 0

Example: Wykres funkcji f $x$ = 1/x dla a > 0 przypomina hiperbolę, która zbliża się do osi x i y, ale nigdy ich nie przecina.

Highlight: Asymptoty to linie proste, do których wykres funkcji zbliża się, ale nigdy ich nie przecina. Dla funkcji wymiernych, asymptoty mogą być pionowe $gdy mianownik jest równy zero$ lub poziome $gdy stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika$ .

Przy rysowaniu wykresów funkcji wymiernych, należy:

Określić dziedzinę funkcji
Znaleźć asymptoty pionowe i poziome
Zbadać zachowanie funkcji w otoczeniu asymptot
Znaleźć punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych
Określić przedziały monotoniczności funkcji

Vocabulary: Wykres funkcji wymiernej to graficzna reprezentacja wszystkich punktów $x, y$ spełniających równanie funkcji wymiernej.

Zrozumienie tych koncepcji jest kluczowe dla efektywnego rysowania i interpretacji wykresów funkcji wymiernych.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Definicja i Dziedzina Funkcji Wymiernej

Funkcja wymierna to funkcja, która może być wyrażona jako iloraz dwóch wielomianów. Jej ogólna postać to:

y = P $x$ / Q $x$

gdzie P $x$ i Q $x$ są wielomianami, a Q $x$ ≠ 0.

Definition: Funkcja wymierna to iloraz dwóch wielomianów, gdzie mianownik nie może być równy zeru.

Przy określaniu dziedziny funkcji wymiernej, kluczowe jest znalezienie wartości x, dla których mianownik nie jest równy zeru.

Example: Dla funkcji y = $3x+5$ / $2x+3$ , musimy rozwiązać równanie 2x+3 ≠ 0, co daje x ≠ -3/2.

Dla bardziej złożonych funkcji, takich jak y = $x+3$ $x-2$ / $3x-6$ , proces jest podobny:

Rozwiązujemy równanie 3x-6 ≠ 0
Otrzymujemy x ≠ 2
Dziedzina funkcji to wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 2, czyli D: x ∈ R - {2}

Highlight: Przy określaniu dziedziny funkcji wymiernej, zawsze szukamy wartości x, dla których mianownik jest równy zero, i wykluczamy te wartości z dziedziny.

Dla funkcji z pierwiastkami w mianowniku, takich jak y = $x²+5$ / √ $x+2$ , musimy dodatkowo uwzględnić, że wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne:

x+2 ≥ 0
x ≥ -2

Ostatecznie, dziedzina takiej funkcji to D: x ∈ [−2,∞).

Vocabulary: Dziedzina funkcji wymiernej to zbiór wszystkich wartości x, dla których funkcja jest określona, czyli dla których mianownik nie jest równy zero.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

funkcje i dziedzina

1754

charakterystyka funkcji

2746

Funkcje podstawy

1389

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS