Przedmioty

Kariera

Knowunity Pro

Otwórz aplikację

Przedmioty

Zabawa z funkcją wymierną: rysujemy wykresy i poznajemy wzory!

87

0

user profile picture

YUKI_SUZU

1.09.2025

Matematyka

Funkcja wymierna

Matematyka

Wyrażenia wymierne i pierwiastki

funkcja wymierna

3365

•

1 wrz 2025

•

2 strony

Zabawa z funkcją wymierną: rysujemy wykresy i poznajemy wzory!

user profile picture

YUKI_SUZU

@akiii

Funkcje wymierne są kluczowym tematem w matematyce, obejmującym ilorazy wielomianów.... Pokaż więcej

Page 1
Page 2
1 / 2
FUNKEJA WYMIERNA Definicja funkcji wymiernej пр. 3x9 ~ to też wielomiany, ponieważ 3x+5 W (x) y = P ( x ) y 3 = 2x+5 To co w mianowniku nie

Rysowanie Wykresów Funkcji Wymiernych

Rysowanie wykresów funkcji wymiernych wymaga zrozumienia ich zachowania w różnych przedziałach oraz znajomości pojęcia asymptot.

Dla funkcji fxx = 1/x, możemy wyróżnić dwa przypadki:

  1. Dla a > 0:

    • Funkcja maleje w I i III ćwiartce układu współrzędnych
    • Asymptota pionowa: x = 0
    • Asymptota pozioma: y = 0

  2. Dla a < 0:

    • Funkcja rośnie w II i IV ćwiartce układu współrzędnych
    • Asymptota pionowa: x = 0
    • Asymptota pozioma: y = 0

Example: Wykres funkcji fxx = 1/x dla a > 0 przypomina hiperbolę, która zbliża się do osi x i y, ale nigdy ich nie przecina.

Highlight: Asymptoty to linie proste, do których wykres funkcji zbliża się, ale nigdy ich nie przecina. Dla funkcji wymiernych, asymptoty mogą być pionowe (gdy mianownik jest równy zero) lub poziome (gdy stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika).

Przy rysowaniu wykresów funkcji wymiernych, należy:

  1. Określić dziedzinę funkcji
  2. Znaleźć asymptoty pionowe i poziome
  3. Zbadać zachowanie funkcji w otoczeniu asymptot
  4. Znaleźć punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych
  5. Określić przedziały monotoniczności funkcji

Vocabulary: Wykres funkcji wymiernej to graficzna reprezentacja wszystkich punktów (x, y) spełniających równanie funkcji wymiernej.

Zrozumienie tych koncepcji jest kluczowe dla efektywnego rysowania i interpretacji wykresów funkcji wymiernych.

FUNKEJA WYMIERNA Definicja funkcji wymiernej пр. 3x9 ~ to też wielomiany, ponieważ 3x+5 W (x) y = P ( x ) y 3 = 2x+5 To co w mianowniku nie

Definicja i Dziedzina Funkcji Wymiernej

Funkcja wymierna to funkcja, która może być wyrażona jako iloraz dwóch wielomianów. Jej ogólna postać to:

y = P(x) / Q(x)

gdzie P(x) i Q(x) są wielomianami, a Q(x) ≠ 0.

Definition: Funkcja wymierna to iloraz dwóch wielomianów, gdzie mianownik nie może być równy zeru.

Przy określaniu dziedziny funkcji wymiernej, kluczowe jest znalezienie wartości x, dla których mianownik nie jest równy zeru.

Example: Dla funkcji y = 3x+53x+5 / 2x+32x+3, musimy rozwiązać równanie 2x+3 ≠ 0, co daje x ≠ -3/2.

Dla bardziej złożonych funkcji, takich jak y = x+3x+3x−2x-2 / 3x−63x-6, proces jest podobny:

  1. Rozwiązujemy równanie 3x-6 ≠ 0
  2. Otrzymujemy x ≠ 2
  3. Dziedzina funkcji to wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 2, czyli D: x ∈ R - {2}

Highlight: Przy określaniu dziedziny funkcji wymiernej, zawsze szukamy wartości x, dla których mianownik jest równy zero, i wykluczamy te wartości z dziedziny.

Dla funkcji z pierwiastkami w mianowniku, takich jak y = x2+5x²+5 / √x+2x+2, musimy dodatkowo uwzględnić, że wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne:

  1. x+2 ≥ 0
  2. x ≥ -2

Ostatecznie, dziedzina takiej funkcji to D: x ∈ [−2,∞).

Vocabulary: Dziedzina funkcji wymiernej to zbiór wszystkich wartości x, dla których funkcja jest określona, czyli dla których mianownik nie jest równy zero.



Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Co to jest funkcja wymierna?

Funkcja wymierna to funkcja, która jest zapisana jako iloraz dwóch wielomianów W(x) i P(x), czyli w postaci f(x) = W(x)/P(x). Ważne jest, aby pamiętać, że dziedzina funkcji wymiernej obejmuje wszystkie liczby rzeczywiste poza tymi, które powodują zerowanie się mianownika. Na przykład dla funkcji f(x) = (2x+3)/(3x-6) musimy wykluczyć wartość x=2, ponieważ dla niej mianownik przyjmuje wartość zero.

Jak wyznaczyć dziedzinę funkcji wymiernej?

Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji wymiernej, musimy znaleźć wartości, dla których mianownik jest różny od zera. Na przykład dla funkcji f(x) = (2x+5)/((x+3)(x-2)) rozwiązujemy nierówność (x+3)(x-2) ≠ 0, co daje nam x ≠ -3 i x ≠ 2. Dziedziną funkcji wymiernej z pierwiastkiem może być jeszcze bardziej ograniczona, jeśli w liczniku lub mianowniku występują pierwiastki, które wprowadzają dodatkowe warunki.

Jakie są podstawowe własności funkcji wymiernej typu f(x)=1/x?

Funkcja f(x)=1/x jest podstawowym przykładem funkcji homograficznej, która ma charakterystyczny kształt hiperboli. Dla a>0, funkcja maleje w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych, a dla a<0, funkcja rośnie. Funkcja ta ma asymptoty funkcji wymiernej - pionową x=0 oraz poziomą y=0, które są kluczowe przy rysowaniu jej wykresu. Pamiętaj, że funkcja nigdy nie przecina tych asymptot.

Jak narysować wykres funkcji wymiernej?

Aby narysować wykres funkcji wymiernej, należy najpierw określić jej dziedzinę, znaleźć asymptoty pionowe (gdzie mianownik się zeruje) i poziome, a następnie wyznaczyć miejsca zerowe (gdzie licznik się zeruje). Potem należy zbadać zachowanie funkcji w pobliżu asymptot i narysować odpowiednie gałęzie hiperboli. W przypadku bardziej złożonych funkcji wymiernych zadania często wymagają również analizy przebiegu zmienności, aby dokładnie określić kształt wykresu.

Dodatkowe Źródła

  1. Matematyka z plusem. Funkcje wymierne przez Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab, Elżbieta Świda, GWO 2019, Podręcznik, Kompleksowe omówienie funkcji wymiernych z licznymi przykładami i zadaniami

  2. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Funkcje i ich własności przez Wojciecha Balka, WSiP 2020, Podręcznik, Szczegółowe wyjaśnienie własności funkcji wymiernych

  3. Zbiór zadań z matematyki dla liceum przez Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas, GiS 2018, Zbiór zadań, Bogaty wybór zadań dotyczących funkcji wymiernych z rozwiązaniami

  4. Matematyka. Repetytorium maturalne. Poziom rozszerzony przez Piotra Gulgowskiego, Pazdro 2021, Repetytorium, Rozdział o funkcjach wymiernych zawiera teorię i zadania maturalne

Sprawdź swoją wiedzę

  1. Przeanalizuj wpływ parametrów na kształt wykresu funkcji homograficznej fxx = ax+bax+b/cx+dcx+d - wykonaj serię wykresów zmieniając wartości a, b, c i d, obserwując przesunięcia asymptot i zmianę kształtu.

  2. Zbadaj związek między miejscami zerowymi licznika i mianownika a asymptotami funkcji wymiernej - stwórz własne przykłady funkcji i sprawdź, jak punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych zależą od tych miejsc zerowych.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Matematyka

Wyrażenia wymierne i pierwiastki

funkcja wymierna

 

Matematyka

•

3365

•

1 wrz 2025

•

2 strony

Zabawa z funkcją wymierną: rysujemy wykresy i poznajemy wzory!

user profile picture

YUKI_SUZU

@akiii

Funkcje wymierne są kluczowym tematem w matematyce, obejmującym ilorazy wielomianów. Zrozumienie ich definicji, dziedziny i właściwości jest istotne dla dalszej nauki matematyki.

  • Funkcja wymierna to iloraz dwóch wielomianów, gdzie mianownik nie może być zerem.
  • Kluczowe aspekty to określenie dziedziny, badanie... Pokaż więcej

FUNKEJA WYMIERNA Definicja funkcji wymiernej пр. 3x9 ~ to też wielomiany, ponieważ 3x+5 W (x) y = P ( x ) y 3 = 2x+5 To co w mianowniku nie

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Rysowanie Wykresów Funkcji Wymiernych

Rysowanie wykresów funkcji wymiernych wymaga zrozumienia ich zachowania w różnych przedziałach oraz znajomości pojęcia asymptot.

Dla funkcji fxx = 1/x, możemy wyróżnić dwa przypadki:

  1. Dla a > 0:

    • Funkcja maleje w I i III ćwiartce układu współrzędnych
    • Asymptota pionowa: x = 0
    • Asymptota pozioma: y = 0

  2. Dla a < 0:

    • Funkcja rośnie w II i IV ćwiartce układu współrzędnych
    • Asymptota pionowa: x = 0
    • Asymptota pozioma: y = 0

Example: Wykres funkcji fxx = 1/x dla a > 0 przypomina hiperbolę, która zbliża się do osi x i y, ale nigdy ich nie przecina.

Highlight: Asymptoty to linie proste, do których wykres funkcji zbliża się, ale nigdy ich nie przecina. Dla funkcji wymiernych, asymptoty mogą być pionowe (gdy mianownik jest równy zero) lub poziome (gdy stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika).

Przy rysowaniu wykresów funkcji wymiernych, należy:

  1. Określić dziedzinę funkcji
  2. Znaleźć asymptoty pionowe i poziome
  3. Zbadać zachowanie funkcji w otoczeniu asymptot
  4. Znaleźć punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych
  5. Określić przedziały monotoniczności funkcji

Vocabulary: Wykres funkcji wymiernej to graficzna reprezentacja wszystkich punktów (x, y) spełniających równanie funkcji wymiernej.

Zrozumienie tych koncepcji jest kluczowe dla efektywnego rysowania i interpretacji wykresów funkcji wymiernych.

FUNKEJA WYMIERNA Definicja funkcji wymiernej пр. 3x9 ~ to też wielomiany, ponieważ 3x+5 W (x) y = P ( x ) y 3 = 2x+5 To co w mianowniku nie

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Definicja i Dziedzina Funkcji Wymiernej

Funkcja wymierna to funkcja, która może być wyrażona jako iloraz dwóch wielomianów. Jej ogólna postać to:

y = P(x) / Q(x)

gdzie P(x) i Q(x) są wielomianami, a Q(x) ≠ 0.

Definition: Funkcja wymierna to iloraz dwóch wielomianów, gdzie mianownik nie może być równy zeru.

Przy określaniu dziedziny funkcji wymiernej, kluczowe jest znalezienie wartości x, dla których mianownik nie jest równy zeru.

Example: Dla funkcji y = 3x+53x+5 / 2x+32x+3, musimy rozwiązać równanie 2x+3 ≠ 0, co daje x ≠ -3/2.

Dla bardziej złożonych funkcji, takich jak y = x+3x+3x−2x-2 / 3x−63x-6, proces jest podobny:

  1. Rozwiązujemy równanie 3x-6 ≠ 0
  2. Otrzymujemy x ≠ 2
  3. Dziedzina funkcji to wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 2, czyli D: x ∈ R - {2}

Highlight: Przy określaniu dziedziny funkcji wymiernej, zawsze szukamy wartości x, dla których mianownik jest równy zero, i wykluczamy te wartości z dziedziny.

Dla funkcji z pierwiastkami w mianowniku, takich jak y = x2+5x²+5 / √x+2x+2, musimy dodatkowo uwzględnić, że wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne:

  1. x+2 ≥ 0
  2. x ≥ -2

Ostatecznie, dziedzina takiej funkcji to D: x ∈ [−2,∞).

Vocabulary: Dziedzina funkcji wymiernej to zbiór wszystkich wartości x, dla których funkcja jest określona, czyli dla których mianownik nie jest równy zero.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Co to jest funkcja wymierna?

Funkcja wymierna to funkcja, która jest zapisana jako iloraz dwóch wielomianów W(x) i P(x), czyli w postaci f(x) = W(x)/P(x). Ważne jest, aby pamiętać, że dziedzina funkcji wymiernej obejmuje wszystkie liczby rzeczywiste poza tymi, które powodują zerowanie się mianownika. Na przykład dla funkcji f(x) = (2x+3)/(3x-6) musimy wykluczyć wartość x=2, ponieważ dla niej mianownik przyjmuje wartość zero.

Jak wyznaczyć dziedzinę funkcji wymiernej?

Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji wymiernej, musimy znaleźć wartości, dla których mianownik jest różny od zera. Na przykład dla funkcji f(x) = (2x+5)/((x+3)(x-2)) rozwiązujemy nierówność (x+3)(x-2) ≠ 0, co daje nam x ≠ -3 i x ≠ 2. Dziedziną funkcji wymiernej z pierwiastkiem może być jeszcze bardziej ograniczona, jeśli w liczniku lub mianowniku występują pierwiastki, które wprowadzają dodatkowe warunki.

Jakie są podstawowe własności funkcji wymiernej typu f(x)=1/x?

Funkcja f(x)=1/x jest podstawowym przykładem funkcji homograficznej, która ma charakterystyczny kształt hiperboli. Dla a>0, funkcja maleje w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych, a dla a<0, funkcja rośnie. Funkcja ta ma asymptoty funkcji wymiernej - pionową x=0 oraz poziomą y=0, które są kluczowe przy rysowaniu jej wykresu. Pamiętaj, że funkcja nigdy nie przecina tych asymptot.

Jak narysować wykres funkcji wymiernej?

Aby narysować wykres funkcji wymiernej, należy najpierw określić jej dziedzinę, znaleźć asymptoty pionowe (gdzie mianownik się zeruje) i poziome, a następnie wyznaczyć miejsca zerowe (gdzie licznik się zeruje). Potem należy zbadać zachowanie funkcji w pobliżu asymptot i narysować odpowiednie gałęzie hiperboli. W przypadku bardziej złożonych funkcji wymiernych zadania często wymagają również analizy przebiegu zmienności, aby dokładnie określić kształt wykresu.

Dodatkowe Źródła

  1. Matematyka z plusem. Funkcje wymierne przez Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab, Elżbieta Świda, GWO 2019, Podręcznik, Kompleksowe omówienie funkcji wymiernych z licznymi przykładami i zadaniami

  2. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Funkcje i ich własności przez Wojciecha Balka, WSiP 2020, Podręcznik, Szczegółowe wyjaśnienie własności funkcji wymiernych

  3. Zbiór zadań z matematyki dla liceum przez Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas, GiS 2018, Zbiór zadań, Bogaty wybór zadań dotyczących funkcji wymiernych z rozwiązaniami

  4. Matematyka. Repetytorium maturalne. Poziom rozszerzony przez Piotra Gulgowskiego, Pazdro 2021, Repetytorium, Rozdział o funkcjach wymiernych zawiera teorię i zadania maturalne

Sprawdź swoją wiedzę

  1. Przeanalizuj wpływ parametrów na kształt wykresu funkcji homograficznej fxx = ax+bax+b/cx+dcx+d - wykonaj serię wykresów zmieniając wartości a, b, c i d, obserwując przesunięcia asymptot i zmianę kształtu.

  2. Zbadaj związek między miejscami zerowymi licznika i mianownika a asymptotami funkcji wymiernej - stwórz własne przykłady funkcji i sprawdź, jak punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych zależą od tych miejsc zerowych.

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny
Quiz
Fiszki
Esej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.