Otwórz aplikację

Przedmioty

Jak Wyznaczać Dziedzinę Funkcji i Zbiory Wartości - Proste Wyjaśnienie dla Każdego!

Otwórz

25

0

user profile picture

Teluś

10.05.2022

Matematyka

funkcje i dziedzina

Jak Wyznaczać Dziedzinę Funkcji i Zbiory Wartości - Proste Wyjaśnienie dla Każdego!

Funkcje matematyczne i ich właściwości - kluczowe pojęcia i zastosowania

Funkcje matematyczne to fundamentalne narzędzia w analizie matematycznej, pozwalające na modelowanie zależności między zmiennymi. Dokument omawia kluczowe aspekty funkcji, w tym określenie dziedziny funkcji krok po kroku, analizę wartości bezwzględnej oraz interpretację wykresów funkcji.

  • Definicja funkcji jako przyporządkowania jednoznacznego
  • Metody określania dziedziny funkcji, w tym dla funkcji z pierwiastkami i ułamkami
  • Analiza funkcji wartości bezwzględnej i jej właściwości
  • Interpretacja wykresów funkcji i określanie ich kluczowych cech
...

10.05.2022

1724

FUNKCJE
1) Poniżej podano przykłady przyporządkowań. Funkcją nie jest przyporządkowanie:
C.
A.
a
X
y
X
27012
-2
1
-1
1
-1
-0,3
0
1
4
0
1
1
3

Zobacz

Determining Function Domains and Calculating Values

This page focuses on jak wyznaczyć dziedzinę funkcji ze wzoru (how to determine a function's domain from its formula) and calculating function values for given arguments.

The domain of a function is defined as the set of all real numbers for which the function can be calculated. Two examples are provided:

  1. For f(x) = √(2-5x), the domain is determined by solving the inequality 2-5x ≥ 0, resulting in x ≤ 2/5.
  2. For g(x) = (x-1)², the domain is all real numbers except 1, written as R - {1}.

Vocabulary: Dziedzina funkcji (function domain) is the set of all possible input values (x) for which the function is defined.

The page also demonstrates how to calculate function values for given arguments, using f(x) = (x-1)² as an example. A table is created with x values {-2, -1, 0, 1, 2} and their corresponding y values.

Example: For f(x) = (x-1)², when x = -2, f(-2) = (-2-1)² = (-3)² = 9

This process of calculating values helps in determining the zbiór wartości funkcji (range of the function), which in this case is {0, 1, 4, 9}.

Highlight: When determining the domain of a fraction function, remember that the denominator cannot equal zero.

FUNKCJE
1) Poniżej podano przykłady przyporządkowań. Funkcją nie jest przyporządkowanie:
C.
A.
a
X
y
X
27012
-2
1
-1
1
-1
-0,3
0
1
4
0
1
1
3

Zobacz

Graphing Functions and Absolute Value

This page covers graphing functions, particularly focusing on the absolute value function f(x) = |x| for different domains.

Two scenarios are presented:

  1. x ∈ Z (integers): The function is graphed for values -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.
  2. x ∈ (-1, 3]: The function is graphed for the continuous interval from -1 to 3, including 3.

Definition: The wartość bezwzględna (absolute value) of a number is its distance from zero on a number line, regardless of whether it's positive or negative.

The page provides step-by-step instructions for plotting these functions:

  1. Calculate function values for given x values.
  2. Plot points on a coordinate plane.
  3. Connect the points to form the graph.

Highlight: The absolute value function creates a V-shaped graph, with the vertex at the origin (0,0).

This graphing exercise helps students visualize how the domain affects the shape and extent of the function's graph, which is crucial for understanding rodzaje funkcji i ich wykresy (types of functions and their graphs).

Example: For f(x) = |x|, f(-2) = |-2| = 2, showing that the absolute value of a negative number is positive.

FUNKCJE
1) Poniżej podano przykłady przyporządkowań. Funkcją nie jest przyporządkowanie:
C.
A.
a
X
y
X
27012
-2
1
-1
1
-1
-0,3
0
1
4
0
1
1
3

Zobacz

Function Applications and Graph Analysis

This final page explores practical applications of functions and graph analysis.

The first example involves a function that assigns the greatest common divisor (GCD) of n and 10 to natural numbers n in the set {3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Vocabulary: Największy wspólny dzielnik (NWD) means the greatest common divisor.

Students are tasked with: a) Creating a table of values for this function. b) Determining the range of the function.

This exercise demonstrates how mathematical concepts like GCD can be represented as functions, bridging abstract math with practical applications.

The second part of the page focuses on analyzing a given function graph, asking students to determine:

a) The function's domain b) The function's range c) The function's zeros (roots) d) Intervals where the function is positive e) Minimum and maximum values of the function

Highlight: When analyzing a function graph, the domain is read from the x-axis, while the range is read from the y-axis.

This comprehensive graph analysis exercise helps students practice jak odczytać dziedzinę funkcji z wykresu (how to read a function's domain from a graph) and other crucial skills in function interpretation.

Example: In the given graph, the function's zeros occur at x = -5, x = -1, and x = 5, where the graph intersects the x-axis.

These practical exercises reinforce the importance of understanding function concepts for solving real-world problems and interpreting mathematical data.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

20 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

 

Matematyka

1724

10 maj 2022

4 strony

Jak Wyznaczać Dziedzinę Funkcji i Zbiory Wartości - Proste Wyjaśnienie dla Każdego!

user profile picture

Teluś

@telus

Funkcje matematyczne i ich właściwości - kluczowe pojęcia i zastosowania

Funkcje matematyczne to fundamentalne narzędzia w analizie matematycznej, pozwalające na modelowanie zależności między zmiennymi. Dokument omawia kluczowe aspekty funkcji, w tym określenie dziedziny funkcji krok po kroku, analizę wartości... Pokaż więcej

FUNKCJE
1) Poniżej podano przykłady przyporządkowań. Funkcją nie jest przyporządkowanie:
C.
A.
a
X
y
X
27012
-2
1
-1
1
-1
-0,3
0
1
4
0
1
1
3

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Determining Function Domains and Calculating Values

This page focuses on jak wyznaczyć dziedzinę funkcji ze wzoru (how to determine a function's domain from its formula) and calculating function values for given arguments.

The domain of a function is defined as the set of all real numbers for which the function can be calculated. Two examples are provided:

  1. For f(x) = √(2-5x), the domain is determined by solving the inequality 2-5x ≥ 0, resulting in x ≤ 2/5.
  2. For g(x) = (x-1)², the domain is all real numbers except 1, written as R - {1}.

Vocabulary: Dziedzina funkcji (function domain) is the set of all possible input values (x) for which the function is defined.

The page also demonstrates how to calculate function values for given arguments, using f(x) = (x-1)² as an example. A table is created with x values {-2, -1, 0, 1, 2} and their corresponding y values.

Example: For f(x) = (x-1)², when x = -2, f(-2) = (-2-1)² = (-3)² = 9

This process of calculating values helps in determining the zbiór wartości funkcji (range of the function), which in this case is {0, 1, 4, 9}.

Highlight: When determining the domain of a fraction function, remember that the denominator cannot equal zero.

FUNKCJE
1) Poniżej podano przykłady przyporządkowań. Funkcją nie jest przyporządkowanie:
C.
A.
a
X
y
X
27012
-2
1
-1
1
-1
-0,3
0
1
4
0
1
1
3

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Graphing Functions and Absolute Value

This page covers graphing functions, particularly focusing on the absolute value function f(x) = |x| for different domains.

Two scenarios are presented:

  1. x ∈ Z (integers): The function is graphed for values -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.
  2. x ∈ (-1, 3]: The function is graphed for the continuous interval from -1 to 3, including 3.

Definition: The wartość bezwzględna (absolute value) of a number is its distance from zero on a number line, regardless of whether it's positive or negative.

The page provides step-by-step instructions for plotting these functions:

  1. Calculate function values for given x values.
  2. Plot points on a coordinate plane.
  3. Connect the points to form the graph.

Highlight: The absolute value function creates a V-shaped graph, with the vertex at the origin (0,0).

This graphing exercise helps students visualize how the domain affects the shape and extent of the function's graph, which is crucial for understanding rodzaje funkcji i ich wykresy (types of functions and their graphs).

Example: For f(x) = |x|, f(-2) = |-2| = 2, showing that the absolute value of a negative number is positive.

FUNKCJE
1) Poniżej podano przykłady przyporządkowań. Funkcją nie jest przyporządkowanie:
C.
A.
a
X
y
X
27012
-2
1
-1
1
-1
-0,3
0
1
4
0
1
1
3

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Function Applications and Graph Analysis

This final page explores practical applications of functions and graph analysis.

The first example involves a function that assigns the greatest common divisor (GCD) of n and 10 to natural numbers n in the set {3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Vocabulary: Największy wspólny dzielnik (NWD) means the greatest common divisor.

Students are tasked with: a) Creating a table of values for this function. b) Determining the range of the function.

This exercise demonstrates how mathematical concepts like GCD can be represented as functions, bridging abstract math with practical applications.

The second part of the page focuses on analyzing a given function graph, asking students to determine:

a) The function's domain b) The function's range c) The function's zeros (roots) d) Intervals where the function is positive e) Minimum and maximum values of the function

Highlight: When analyzing a function graph, the domain is read from the x-axis, while the range is read from the y-axis.

This comprehensive graph analysis exercise helps students practice jak odczytać dziedzinę funkcji z wykresu (how to read a function's domain from a graph) and other crucial skills in function interpretation.

Example: In the given graph, the function's zeros occur at x = -5, x = -1, and x = 5, where the graph intersects the x-axis.

These practical exercises reinforce the importance of understanding function concepts for solving real-world problems and interpreting mathematical data.

FUNKCJE
1) Poniżej podano przykłady przyporządkowań. Funkcją nie jest przyporządkowanie:
C.
A.
a
X
y
X
27012
-2
1
-1
1
-1
-0,3
0
1
4
0
1
1
3

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Understanding Mathematical Functions

This page introduces the concept of funkcje matematyczne (mathematical functions) and provides examples to distinguish functions from non-functions.

A function is defined as a mapping where each element from set X is assigned exactly one element from set Y. This fundamental concept is crucial for understanding more complex mathematical relationships.

Definition: A function is a relationship between two sets where each element in the input set (domain) corresponds to exactly one element in the output set (range).

The page presents several examples to illustrate the concept:

  1. A diagram showing a valid function where each element in X has one corresponding element in Y.
  2. A real number mapping where each number is assigned its opposite, demonstrating a function.
  3. An example of a non-function where some elements in X have no corresponding Y value.

Example: In a function assigning real numbers to their opposites, 2 would correspond to -2, 1 to -1, and so on.

These examples help students visualize the difference between functions and non-functions, reinforcing the key concept of one-to-one correspondence in funkcje zadania 1 liceum (function exercises for first-year high school).

Highlight: When determining if a relationship is a function, ensure that each element in the domain (X) has exactly one corresponding element in the range (Y).

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS