Notatki do matury z matematyki PDF: Funkcje klasa 1 liceum, rodzaje i wzory

Natalia Buć

4.10.2025

Matematyka

Funkcje podstawy

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Funkcja f(x) = a/x

Korzystanie z wykresu funkcji do interpretacji zagadnień

1429

•

4 paź 2025

•

2 strony

Notatki do matury z matematyki PDF: Funkcje klasa 1 liceum, rodzaje i wzory

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Natalia Buć

@nbuc

• Funkcje elementarneto podstawowe funkcje matematyczne, takie jak liniowe,... Pokaż więcej

MATEMATYKA- FUNKCJE (^)
Funkcja jest wtedy, gdy każdemu elementari x le biom x pnyponądkujemy
dokładnie jeden element ze biom Y..
D-driedrin

Własności funkcji i ich analiza

Funkcje matematyczne posiadają szereg istotnych własności, które pozwalają na ich dokładną analizę i zrozumienie ich zachowania. Do najważniejszych własności funkcji należą:

Dziedzina i zbiór wartości
Miejsca zerowe
Monotoniczność
Różnowartościowość
Parzystość i nieparzystość
Okresowość
Wartości ekstremalne (maksymalne i minimalne)

Highlight: Analiza własności funkcji jest kluczowa dla zrozumienia jej zachowania i rozwiązywania zadań matematycznych.

Przy badaniu funkcji często wykorzystuje się pojęcie ilorazu różnicowego:

f $x₂$ - f $x₁$ / $x₂ - x₁$ , gdzie x₁ ≠ x₂

Iloraz ten pozwala na analizę monotoniczności funkcji w danym przedziale.

Funkcja okresowa to taka, dla której istnieje liczba T > 0 (okres funkcji), że:

f $x + T$ = f(x) dla każdego x z dziedziny funkcji

Przykład: Funkcja f $x$ = sin x jest funkcją okresową o okresie 2π.

Warto również zwrócić uwagę na funkcje kawałkami ciągłe, które są definiowane różnymi wzorami w różnych przedziałach dziedziny. Na przykład:

f $x$ = { x² dla x ≥ 0 { -x dla x < 0

Przy rozwiązywaniu zadań z funkcjami często korzysta się z nierówności i równań, a także z metod graficznych, które pozwalają na wizualizację zachowania funkcji.

Podstawowe informacje o funkcjach

Funkcja matematyczna to przyporządkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru X (dziedziny) przypisuje dokładnie jeden element ze zbioru Y (przeciwdziedziny). Istnieje kilka sposobów przedstawiania funkcji, takich jak opis słowny, wzór matematyczny, wykres, tabela czy zbiór par uporządkowanych.

Kluczowe pojęcia związane z funkcjami to:

Dziedzina funkcji $D$ - zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja jest określona.
Zbiór wartości funkcji $Y$ - zbiór wszystkich wartości, jakie przyjmuje funkcja.
Wykres funkcji - zbiór punktów na płaszczyźnie spełniających równanie funkcji.
Miejsce zerowe funkcji - argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero.

Definicja: Miejsce zerowe funkcji to liczba z dziedziny funkcji, której przyporządkowujemy wartość 0.

Aby obliczyć miejsce zerowe funkcji, należy:

Wyznaczyć dziedzinę funkcji.
Przyrównać funkcję do zera (w przypadku ułamka, tylko licznik).
Sprawdzić, czy otrzymany wynik należy do dziedziny funkcji.

Przykład: Dla funkcji liniowej y = -4x + 6, aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcji, rozwiązujemy równanie: -4x + 6 = 0 -4x = -6 x = 3/2 Sprawdzamy, czy 3/2 należy do dziedziny funkcji (w tym przypadku tak).

Wśród funkcji elementarnych wyróżniamy:

Funkcję liniową: y = ax + b
Funkcję kwadratową: y = ax² + bx + c
Funkcję wartość bezwzględna: y = |x|
Funkcję pierwiastek kwadratowy: y = √x (dla x ≥ 0)
Funkcję wykładniczą: y = aˣ (dla a > 0, a ≠ 1)
Funkcję homograficzną: y = a/ $x-p$ + q

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

funkcja wykładnicza

2710

funkcja wykladnicza

1411

Funkcja wykładnicza

2858

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Funkcja f(x) = a/x

Korzystanie z wykresu funkcji do interpretacji zagadnień

Matematyka

•

1429

•

4 paź 2025

•

2 strony

Notatki do matury z matematyki PDF: Funkcje klasa 1 liceum, rodzaje i wzory

Natalia Buć

@nbuc

• Funkcje elementarne to podstawowe funkcje matematyczne, takie jak liniowe, kwadratowe, wykładnicze i trygonometryczne.
• Dziedzina funkcji to zbiór argumentów, dla których funkcja jest określona.
• Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero.
• Funkcje można... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Własności funkcji i ich analiza

Funkcje matematyczne posiadają szereg istotnych własności, które pozwalają na ich dokładną analizę i zrozumienie ich zachowania. Do najważniejszych własności funkcji należą:

Dziedzina i zbiór wartości
Miejsca zerowe
Monotoniczność
Różnowartościowość
Parzystość i nieparzystość
Okresowość
Wartości ekstremalne (maksymalne i minimalne)

Highlight: Analiza własności funkcji jest kluczowa dla zrozumienia jej zachowania i rozwiązywania zadań matematycznych.

Przy badaniu funkcji często wykorzystuje się pojęcie ilorazu różnicowego:

f $x₂$ - f $x₁$ / $x₂ - x₁$ , gdzie x₁ ≠ x₂

Iloraz ten pozwala na analizę monotoniczności funkcji w danym przedziale.

Funkcja okresowa to taka, dla której istnieje liczba T > 0 (okres funkcji), że:

f $x + T$ = f(x) dla każdego x z dziedziny funkcji

Przykład: Funkcja f $x$ = sin x jest funkcją okresową o okresie 2π.

Warto również zwrócić uwagę na funkcje kawałkami ciągłe, które są definiowane różnymi wzorami w różnych przedziałach dziedziny. Na przykład:

f $x$ = { x² dla x ≥ 0 { -x dla x < 0

Przy rozwiązywaniu zadań z funkcjami często korzysta się z nierówności i równań, a także z metod graficznych, które pozwalają na wizualizację zachowania funkcji.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawowe informacje o funkcjach

Kluczowe pojęcia związane z funkcjami to:

Dziedzina funkcji $D$ - zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja jest określona.
Zbiór wartości funkcji $Y$ - zbiór wszystkich wartości, jakie przyjmuje funkcja.
Wykres funkcji - zbiór punktów na płaszczyźnie spełniających równanie funkcji.
Miejsce zerowe funkcji - argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero.

Definicja: Miejsce zerowe funkcji to liczba z dziedziny funkcji, której przyporządkowujemy wartość 0.

Aby obliczyć miejsce zerowe funkcji, należy:

Wyznaczyć dziedzinę funkcji.
Przyrównać funkcję do zera (w przypadku ułamka, tylko licznik).
Sprawdzić, czy otrzymany wynik należy do dziedziny funkcji.

Przykład: Dla funkcji liniowej y = -4x + 6, aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcji, rozwiązujemy równanie: -4x + 6 = 0 -4x = -6 x = 3/2 Sprawdzamy, czy 3/2 należy do dziedziny funkcji (w tym przypadku tak).

Wśród funkcji elementarnych wyróżniamy:

Funkcję liniową: y = ax + b
Funkcję kwadratową: y = ax² + bx + c
Funkcję wartość bezwzględna: y = |x|
Funkcję pierwiastek kwadratowy: y = √x (dla x ≥ 0)
Funkcję wykładniczą: y = aˣ (dla a > 0, a ≠ 1)
Funkcję homograficzną: y = a/ $x-p$ + q

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

funkcja wykładnicza

2710

funkcja wykladnicza

1411

Funkcja wykładnicza

2858

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS