Przedmioty
Kariera
Język polski
Biologia
Chemia
Geografia
Historia
Komórka
Organizm człowieka jako funkcjonalna całość
Bakterie i wirusy. organizmy beztkankowe
Układ krążenia
Genetyka klasyczna
Ekologia
Stawonogi. mięczaki
Metabolizm
Układ wydalniczy
Genetyka molekularna
Układ pokarmowy
Kręgowce zmiennocieplne
Genetyka
Rozmnażanie i rozwój człowieka
Chemiczne podstawy życia
Pokaż wszystkie tematy
Efekty energetyczne i szybkość reakcji chemicznych
Gazy i ich mieszaniny
Budowa atomu a układ okresowy pierwiastków chemicznych
Węglowodory
Reakcje chemiczne w roztworach wodnych
Stechiometria
Układ okresowy pierwiastków chemicznych
Systematyka związków nieorganicznych
Pochodne węglowodorów
Sole
Świat substancji
Kwasy
Roztwory
Reakcje utleniania-redukcji. elektrochemia
Łączenie się atomów
Pokaż wszystkie tematy
265
4
kuba_study
11.07.2025
Matematyka
Koła i okręgi
7728
•
11 lip 2025
•
Dokument przedstawia kluczowe pojęcia i wzory z zakresu geometrii płaskiej,... Pokaż więcej
Ta strona skupia się na kątach w kole, omawiając kąty środkowe, wpisane i dopisane. Przedstawia ich definicje, wzajemne zależności oraz kluczowe twierdzenia.
Definicja: Kąt środkowy koła to kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku koła.
Vocabulary: Kąt wpisany w koło to kąt wypukły, wyznaczony przez dwie cięciwy o wspólnym końcu, będącym wierzchołkiem kąta.
Strona prezentuje ważne zależności między kątami:
Highlight: Jeżeli kąt wpisany i kąt środkowy są oparte na tym samym łuku, to kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego.
Przedstawiono również wzór na długość cięciwy w zależności od kąta środkowego:
Example: Jeśli α to miara kąta środkowego koła o promieniu r, a ł jest długością łuku, na którym ten kąt jest oparty, to można użyć wzoru: α / 360° = ł /
Omówiono także właściwości kątów dopisanych i wpisanych:
Highlight: Kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym. Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.
Ta strona dostarcza cennych informacji na temat kątów w kole, prezentując zadania z kątami wpisanymi i środkowymi oraz ich rozwiązania, co jest szczególnie przydatne przy przygotowaniach do matury z matematyki.
Ostatnia strona koncentruje się na okręgach opisanych i wpisanych w trójkąty, prezentując ich właściwości i związane z nimi twierdzenia.
Highlight: Symetralne boków dowolnego trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.
Omówiono szczególne przypadki dla trójkątów równoramiennych i równobocznych:
Example: W trójkącie równobocznym środek okręgu wpisanego jest punktem przecięcia wysokości i jest również środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.
Przedstawiono wzory związane z okręgami opisanymi i wpisanymi:
Vocabulary: Dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a i b oraz przeciwprostokątnej c, promień okręgu opisanego R = c/2.
Example: W trójkącie prostokątnym punkty styczności okręgu wpisanego z bokami dzielą przyprostokątne a, b na odcinki i r oraz i r, a przeciwprostokątną c na odcinki i .
Ta strona dostarcza cennych informacji na temat wzajemnego położenia okręgów i trójkątów, prezentując liczne zadania z geometrii płaskiej wraz z rozwiązaniami, co jest niezwykle pomocne przy nauce i przygotowaniach do egzaminów z matematyki.
Strona ta wprowadza podstawowe pojęcia związane z kołami i okręgami, koncentrując się na ich elementach i wzajemnym położeniu. Omówiono tu promień, średnicę, cięciwę oraz styczne i sieczne okręgu.
Definicja: Koło o środku w punkcie O i promieniu r to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O jest mniejsza lub równa r.
Przedstawiono kluczowe właściwości stycznych i siecznych:
Highlight: Styczna do okręgu ma tylko jeden punkt wspólny z okręgiem, zwany punktem styczności. Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.
Vocabulary: Sieczna okręgu to prosta, która ma dwa punkty wspólne z danym okręgiem.
Omówiono również wzajemne położenie dwóch okręgów, wyróżniając pięć przypadków:
Example: Dla okręgów o i o, są one styczne zewnętrznie, gdy |O₁O₂| = r₁ + r₂. W tym przypadku okręgi mają dwie styczne zewnętrzne i jedną wewnętrzną.
Ta strona stanowi solidną podstawę do zrozumienia geometrii płaskiej okręgów i kół, wprowadzając kluczowe pojęcia i wzory na cięciwę okręgu.
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Dokument przedstawia kluczowe pojęcia i wzory z zakresu geometrii płaskiej, koncentrując się na okręgach, kołach i trójkątach. Omawia wzajemne położenie okręgów, kąty w kole, okręgi opisane i wpisane w trójkąty oraz związane z nimi właściwości geometryczne.
• Szczegółowo wyjaśniono pojęcia... Pokaż więcej
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Ta strona skupia się na kątach w kole, omawiając kąty środkowe, wpisane i dopisane. Przedstawia ich definicje, wzajemne zależności oraz kluczowe twierdzenia.
Definicja: Kąt środkowy koła to kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku koła.
Vocabulary: Kąt wpisany w koło to kąt wypukły, wyznaczony przez dwie cięciwy o wspólnym końcu, będącym wierzchołkiem kąta.
Strona prezentuje ważne zależności między kątami:
Highlight: Jeżeli kąt wpisany i kąt środkowy są oparte na tym samym łuku, to kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego.
Przedstawiono również wzór na długość cięciwy w zależności od kąta środkowego:
Example: Jeśli α to miara kąta środkowego koła o promieniu r, a ł jest długością łuku, na którym ten kąt jest oparty, to można użyć wzoru: α / 360° = ł /
Omówiono także właściwości kątów dopisanych i wpisanych:
Highlight: Kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym. Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.
Ta strona dostarcza cennych informacji na temat kątów w kole, prezentując zadania z kątami wpisanymi i środkowymi oraz ich rozwiązania, co jest szczególnie przydatne przy przygotowaniach do matury z matematyki.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Ostatnia strona koncentruje się na okręgach opisanych i wpisanych w trójkąty, prezentując ich właściwości i związane z nimi twierdzenia.
Highlight: Symetralne boków dowolnego trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.
Omówiono szczególne przypadki dla trójkątów równoramiennych i równobocznych:
Example: W trójkącie równobocznym środek okręgu wpisanego jest punktem przecięcia wysokości i jest również środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.
Przedstawiono wzory związane z okręgami opisanymi i wpisanymi:
Vocabulary: Dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a i b oraz przeciwprostokątnej c, promień okręgu opisanego R = c/2.
Example: W trójkącie prostokątnym punkty styczności okręgu wpisanego z bokami dzielą przyprostokątne a, b na odcinki i r oraz i r, a przeciwprostokątną c na odcinki i .
Ta strona dostarcza cennych informacji na temat wzajemnego położenia okręgów i trójkątów, prezentując liczne zadania z geometrii płaskiej wraz z rozwiązaniami, co jest niezwykle pomocne przy nauce i przygotowaniach do egzaminów z matematyki.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Strona ta wprowadza podstawowe pojęcia związane z kołami i okręgami, koncentrując się na ich elementach i wzajemnym położeniu. Omówiono tu promień, średnicę, cięciwę oraz styczne i sieczne okręgu.
Definicja: Koło o środku w punkcie O i promieniu r to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O jest mniejsza lub równa r.
Przedstawiono kluczowe właściwości stycznych i siecznych:
Highlight: Styczna do okręgu ma tylko jeden punkt wspólny z okręgiem, zwany punktem styczności. Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.
Vocabulary: Sieczna okręgu to prosta, która ma dwa punkty wspólne z danym okręgiem.
Omówiono również wzajemne położenie dwóch okręgów, wyróżniając pięć przypadków:
Example: Dla okręgów o i o, są one styczne zewnętrznie, gdy |O₁O₂| = r₁ + r₂. W tym przypadku okręgi mają dwie styczne zewnętrzne i jedną wewnętrzną.
Ta strona stanowi solidną podstawę do zrozumienia geometrii płaskiej okręgów i kół, wprowadzając kluczowe pojęcia i wzory na cięciwę okręgu.
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
