Dokument przedstawia kluczowe pojęcia i wzory z zakresu geometrii płaskiej,... Pokaż więcej
Język polskiZarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
8,806
•
Zaktualizowano Mar 14, 2026
•
Geometria płaska: Koła i okręgi - Wzór na długość cięciwy i inne wzory
1 / 3
Kąty w kole i ich właściwości
Ta strona skupia się na kątach w kole, omawiając kąty środkowe, wpisane i dopisane. Przedstawia ich definicje, wzajemne zależności oraz kluczowe twierdzenia.
Definicja: Kąt środkowy koła to kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku koła.
Vocabulary: Kąt wpisany w koło to kąt wypukły, wyznaczony przez dwie cięciwy o wspólnym końcu, będącym wierzchołkiem kąta.
Strona prezentuje ważne zależności między kątami:
Highlight: Jeżeli kąt wpisany i kąt środkowy są oparte na tym samym łuku, to kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego.
Przedstawiono również wzór na długość cięciwy w zależności od kąta środkowego:
Example: Jeśli α to miara kąta środkowego koła o promieniu r, a ł jest długością łuku, na którym ten kąt jest oparty, to można użyć wzoru: α / 360° = ł / (2πr)
Omówiono także właściwości kątów dopisanych i wpisanych:
Highlight: Kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym. Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.
Ta strona dostarcza cennych informacji na temat kątów w kole, prezentując zadania z kątami wpisanymi i środkowymi oraz ich rozwiązania, co jest szczególnie przydatne przy przygotowaniach do matury z matematyki.
Okręgi opisane i wpisane w trójkąty
Ostatnia strona koncentruje się na okręgach opisanych i wpisanych w trójkąty, prezentując ich właściwości i związane z nimi twierdzenia.
Highlight: Symetralne boków dowolnego trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.
Omówiono szczególne przypadki dla trójkątów równoramiennych i równobocznych:
Example: W trójkącie równobocznym środek okręgu wpisanego jest punktem przecięcia wysokości i jest również środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.
Przedstawiono wzory związane z okręgami opisanymi i wpisanymi:
Vocabulary: Dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a i b oraz przeciwprostokątnej c, promień okręgu opisanego R = c/2.
Example: W trójkącie prostokątnym punkty styczności okręgu wpisanego z bokami dzielą przyprostokątne a, b na odcinki i r oraz i r, a przeciwprostokątną c na odcinki i .
Ta strona dostarcza cennych informacji na temat wzajemnego położenia okręgów i trójkątów, prezentując liczne zadania z geometrii płaskiej wraz z rozwiązaniami, co jest niezwykle pomocne przy nauce i przygotowaniach do egzaminów z matematyki.
Koła i okręgi - podstawowe pojęcia i właściwości
Strona ta wprowadza podstawowe pojęcia związane z kołami i okręgami, koncentrując się na ich elementach i wzajemnym położeniu. Omówiono tu promień, średnicę, cięciwę oraz styczne i sieczne okręgu.
Definicja: Koło o środku w punkcie O i promieniu r to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O jest mniejsza lub równa r.
Przedstawiono kluczowe właściwości stycznych i siecznych:
Highlight: Styczna do okręgu ma tylko jeden punkt wspólny z okręgiem, zwany punktem styczności. Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.
Vocabulary: Sieczna okręgu to prosta, która ma dwa punkty wspólne z danym okręgiem.
Omówiono również wzajemne położenie dwóch okręgów, wyróżniając pięć przypadków:
- Okręgi rozłączne zewnętrznie
- Okręgi styczne zewnętrznie
- Okręgi przecinające się
- Okręgi styczne wewnętrznie
- Okręgi rozłączne wewnętrznie
Example: Dla okręgów o(O₁, r₁) i o(O₂, r₂), są one styczne zewnętrznie, gdy |O₁O₂| = r₁ + r₂. W tym przypadku okręgi mają dwie styczne zewnętrzne i jedną wewnętrzną.
Ta strona stanowi solidną podstawę do zrozumienia geometrii płaskiej okręgów i kół, wprowadzając kluczowe pojęcia i wzory na cięciwę okręgu.
Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...
Co to jest kąt wpisany i jaki ma związek z kątem środkowym?
Kąt wpisany w koło to kąt wypukły, wyznaczony przez dwie cięciwy o wspólnym końcu. Ciekawostką jest, że kiedy kąt wpisany i środkowy są oparte na tym samym łuku, to kąt środkowy jest zawsze dwa razy większy od kąta wpisanego. To jedna z najważniejszych zależności wykorzystywanych w zadaniach z kątami w kole, szczególnie przydatna przy rozwiązywaniu problemów geometrycznych.
Jak obliczyć długość cięciwy w okręgu?
Aby obliczyć długość cięciwy, potrzebujesz znać promień okręgu i odległość cięciwy od środka okręgu. Wzór na długość cięciwy to d = 2·√(r² - h²), gdzie r to promień okręgu, a h to odległość cięciwy od środka. Jeśli promień przechodzi przez środek cięciwy, jest on prostopadły do niej i dzieli ją na dwie równe części, co również może pomóc w obliczeniach. Warto pamiętać, że geometria płaska okręgi i koła wzory często wykorzystują te zależności.
Jakie są możliwe wzajemne położenia dwóch okręgów?
Dwa okręgi mogą znajdować się względem siebie w pięciu różnych położeniach. Mogą być rozłączne zewnętrznie, styczne zewnętrznie, przecinające się, styczne wewnętrznie lub rozłączne wewnętrznie. O tym, w jakim położeniu są okręgi, decyduje odległość między ich środkami w porównaniu z sumą lub różnicą ich promieni. Przy rozwiązywaniu zadań dotyczących wzajemnego położenia dwóch okręgów warto pamiętać o wzorach określających te warunki, np. okręgi przecinają się, gdy |r₁ - r₂| < |O₁O₂| < r₁ + r₂.
Czym różni się okrąg opisany od okręgu wpisanego w trójkąt?
Okrąg opisany przechodzi przez wszystkie wierzchołki trójkąta, a jego środek znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych boków tego trójkąta. Natomiast okrąg wpisany w trójkąt jest styczny do wszystkich jego boków, a jego środek leży w punkcie przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta. W przypadku trójkąta równobocznego, środki obu okręgów pokrywają się, co jest wyjątkową właściwością. Warto wiedzieć, że wzajemne położenie okręgu i prostej (np. boku trójkąta) może być styczne lub sieczne.
Dodatkowe Źródła
-
Matematyka wokół nas - Geometria płaska przez Mariusz Pawlikowski, WSiP 2021, Podręcznik, Kompleksowe omówienie zagadnień geometrii płaskiej z naciskiem na koła i okręgi
-
Matematyka z plusem - Zbiór zadań dla liceum przez Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab, GWO 2020, Zbiór zadań, Zawiera praktyczne zadania z rozwiązaniami dotyczące kątów wpisanych i środkowych
-
Matematyka. Korepetycje maturzysty przez Helena Pawłowska, Wydawnictwo Nowa Era 2019, Poradnik, Doskonałe wyjaśnienia wzorów na cięciwy okręgu i kąty w kole
-
Geometria dla każdego przez Zdzisław Pogoda, Oficyna Edukacyjna Pazdro 2022, Poradnik, Przystępne wyjaśnienia wzajemnego położenia dwóch okręgów z praktycznymi przykładami
Sprawdź swoją wiedzę
-
Wykonaj interaktywne ćwiczenie badania wzajemnego położenia dwóch okręgów: narysuj dwa okręgi o różnych promieniach i zmieniaj odległość między ich środkami, obserwując kiedy są rozłączne, styczne, czy przecinające się.
-
Przygotuj model "kątomierza okręgowego" z kartonu - zaznacz kąt środkowy i odpowiadający mu kąt wpisany na tym samym łuku, aby praktycznie sprawdzić zależność, że kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego.
Najpopularniejsze notatki: Koło
Najpopularniejsze notatki z Matematyka
Najpopularniejsze notatki
Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.
Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.
4.6/5
App Store
4.7/5
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
QUIZY I FISZKI SĄ SUPER PRZYDATNE I UWIELBIAM Knowunity AI. TO JEST DOSŁOWNIE JAK CHATGPT ALE MĄDRZEJSZY!! POMÓGŁ MI NAWET Z PROBLEMAMI Z TUSZEM DO RZĘS!! A TAKŻE Z PRAWDZIWYMI PRZEDMIOTAMI! OCZYWIŚCIE 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
QUIZY I FISZKI SĄ SUPER PRZYDATNE I UWIELBIAM Knowunity AI. TO JEST DOSŁOWNIE JAK CHATGPT ALE MĄDRZEJSZY!! POMÓGŁ MI NAWET Z PROBLEMAMI Z TUSZEM DO RZĘS!! A TAKŻE Z PRAWDZIWYMI PRZEDMIOTAMI! OCZYWIŚCIE 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...
Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
Geometria płaska: Koła i okręgi - Wzór na długość cięciwy i inne wzory
Dokument przedstawia kluczowe pojęcia i wzory z zakresu geometrii płaskiej, koncentrując się na okręgach, kołach i trójkątach. Omawia wzajemne położenie okręgów, kąty w kole, okręgi opisane i wpisane w trójkąty oraz związane z nimi właściwości geometryczne.
• Szczegółowo wyjaśniono pojęcia... Pokaż więcej
Kąty w kole i ich właściwości
Ta strona skupia się na kątach w kole, omawiając kąty środkowe, wpisane i dopisane. Przedstawia ich definicje, wzajemne zależności oraz kluczowe twierdzenia.
Definicja: Kąt środkowy koła to kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku koła.
Vocabulary: Kąt wpisany w koło to kąt wypukły, wyznaczony przez dwie cięciwy o wspólnym końcu, będącym wierzchołkiem kąta.
Strona prezentuje ważne zależności między kątami:
Highlight: Jeżeli kąt wpisany i kąt środkowy są oparte na tym samym łuku, to kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego.
Przedstawiono również wzór na długość cięciwy w zależności od kąta środkowego:
Example: Jeśli α to miara kąta środkowego koła o promieniu r, a ł jest długością łuku, na którym ten kąt jest oparty, to można użyć wzoru: α / 360° = ł / (2πr)
Omówiono także właściwości kątów dopisanych i wpisanych:
Highlight: Kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym. Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.
Ta strona dostarcza cennych informacji na temat kątów w kole, prezentując zadania z kątami wpisanymi i środkowymi oraz ich rozwiązania, co jest szczególnie przydatne przy przygotowaniach do matury z matematyki.
Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Okręgi opisane i wpisane w trójkąty
Ostatnia strona koncentruje się na okręgach opisanych i wpisanych w trójkąty, prezentując ich właściwości i związane z nimi twierdzenia.
Highlight: Symetralne boków dowolnego trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.
Omówiono szczególne przypadki dla trójkątów równoramiennych i równobocznych:
Example: W trójkącie równobocznym środek okręgu wpisanego jest punktem przecięcia wysokości i jest również środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.
Przedstawiono wzory związane z okręgami opisanymi i wpisanymi:
Vocabulary: Dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a i b oraz przeciwprostokątnej c, promień okręgu opisanego R = c/2.
Example: W trójkącie prostokątnym punkty styczności okręgu wpisanego z bokami dzielą przyprostokątne a, b na odcinki i r oraz i r, a przeciwprostokątną c na odcinki i .
Ta strona dostarcza cennych informacji na temat wzajemnego położenia okręgów i trójkątów, prezentując liczne zadania z geometrii płaskiej wraz z rozwiązaniami, co jest niezwykle pomocne przy nauce i przygotowaniach do egzaminów z matematyki.
Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Koła i okręgi - podstawowe pojęcia i właściwości
Strona ta wprowadza podstawowe pojęcia związane z kołami i okręgami, koncentrując się na ich elementach i wzajemnym położeniu. Omówiono tu promień, średnicę, cięciwę oraz styczne i sieczne okręgu.
Definicja: Koło o środku w punkcie O i promieniu r to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O jest mniejsza lub równa r.
Przedstawiono kluczowe właściwości stycznych i siecznych:
Highlight: Styczna do okręgu ma tylko jeden punkt wspólny z okręgiem, zwany punktem styczności. Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.
Vocabulary: Sieczna okręgu to prosta, która ma dwa punkty wspólne z danym okręgiem.
Omówiono również wzajemne położenie dwóch okręgów, wyróżniając pięć przypadków:
- Okręgi rozłączne zewnętrznie
- Okręgi styczne zewnętrznie
- Okręgi przecinające się
- Okręgi styczne wewnętrznie
- Okręgi rozłączne wewnętrznie
Example: Dla okręgów o(O₁, r₁) i o(O₂, r₂), są one styczne zewnętrznie, gdy |O₁O₂| = r₁ + r₂. W tym przypadku okręgi mają dwie styczne zewnętrzne i jedną wewnętrzną.
Ta strona stanowi solidną podstawę do zrozumienia geometrii płaskiej okręgów i kół, wprowadzając kluczowe pojęcia i wzory na cięciwę okręgu.
Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...
Co to jest kąt wpisany i jaki ma związek z kątem środkowym?
Kąt wpisany w koło to kąt wypukły, wyznaczony przez dwie cięciwy o wspólnym końcu. Ciekawostką jest, że kiedy kąt wpisany i środkowy są oparte na tym samym łuku, to kąt środkowy jest zawsze dwa razy większy od kąta wpisanego. To jedna z najważniejszych zależności wykorzystywanych w zadaniach z kątami w kole, szczególnie przydatna przy rozwiązywaniu problemów geometrycznych.
Jak obliczyć długość cięciwy w okręgu?
Aby obliczyć długość cięciwy, potrzebujesz znać promień okręgu i odległość cięciwy od środka okręgu. Wzór na długość cięciwy to d = 2·√(r² - h²), gdzie r to promień okręgu, a h to odległość cięciwy od środka. Jeśli promień przechodzi przez środek cięciwy, jest on prostopadły do niej i dzieli ją na dwie równe części, co również może pomóc w obliczeniach. Warto pamiętać, że geometria płaska okręgi i koła wzory często wykorzystują te zależności.
Jakie są możliwe wzajemne położenia dwóch okręgów?
Dwa okręgi mogą znajdować się względem siebie w pięciu różnych położeniach. Mogą być rozłączne zewnętrznie, styczne zewnętrznie, przecinające się, styczne wewnętrznie lub rozłączne wewnętrznie. O tym, w jakim położeniu są okręgi, decyduje odległość między ich środkami w porównaniu z sumą lub różnicą ich promieni. Przy rozwiązywaniu zadań dotyczących wzajemnego położenia dwóch okręgów warto pamiętać o wzorach określających te warunki, np. okręgi przecinają się, gdy |r₁ - r₂| < |O₁O₂| < r₁ + r₂.
Czym różni się okrąg opisany od okręgu wpisanego w trójkąt?
Okrąg opisany przechodzi przez wszystkie wierzchołki trójkąta, a jego środek znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych boków tego trójkąta. Natomiast okrąg wpisany w trójkąt jest styczny do wszystkich jego boków, a jego środek leży w punkcie przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta. W przypadku trójkąta równobocznego, środki obu okręgów pokrywają się, co jest wyjątkową właściwością. Warto wiedzieć, że wzajemne położenie okręgu i prostej (np. boku trójkąta) może być styczne lub sieczne.
Dodatkowe Źródła
-
Matematyka wokół nas - Geometria płaska przez Mariusz Pawlikowski, WSiP 2021, Podręcznik, Kompleksowe omówienie zagadnień geometrii płaskiej z naciskiem na koła i okręgi
-
Matematyka z plusem - Zbiór zadań dla liceum przez Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab, GWO 2020, Zbiór zadań, Zawiera praktyczne zadania z rozwiązaniami dotyczące kątów wpisanych i środkowych
-
Matematyka. Korepetycje maturzysty przez Helena Pawłowska, Wydawnictwo Nowa Era 2019, Poradnik, Doskonałe wyjaśnienia wzorów na cięciwy okręgu i kąty w kole
-
Geometria dla każdego przez Zdzisław Pogoda, Oficyna Edukacyjna Pazdro 2022, Poradnik, Przystępne wyjaśnienia wzajemnego położenia dwóch okręgów z praktycznymi przykładami
Sprawdź swoją wiedzę
-
Wykonaj interaktywne ćwiczenie badania wzajemnego położenia dwóch okręgów: narysuj dwa okręgi o różnych promieniach i zmieniaj odległość między ich środkami, obserwując kiedy są rozłączne, styczne, czy przecinające się.
-
Przygotuj model "kątomierza okręgowego" z kartonu - zaznacz kąt środkowy i odpowiadający mu kąt wpisany na tym samym łuku, aby praktycznie sprawdzić zależność, że kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego.
286
Inteligentne Narzędzia NOWE
Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny egzamin próbny ✓ Plany Eseju
Egzamin próbny
Quiz
Fiszki
Esej
Podobne notatki
Zadania z Geometrii Analitycznej
Rozwiąż 10 zadań maturalnych z geometrii analitycznej, obejmujących okręgi, trójkąty i kwadraty. Sprawdź swoje umiejętności w obliczaniu pól, obwodów oraz równań geometrycznych. Idealne materiały do nauki przed maturą.
Matematyka3
Długość Łuku Okręgu
Zrozumienie długości łuku okręgu oraz kątów środkowych. Przykłady obliczeń długości okręgu i zadań praktycznych. Idealne dla uczniów planujących egzaminy z geometrii. Kluczowe wzory i ilustracje ułatwiające naukę.
Matematyka2
Kąty w Okręgu: Matura
Zbiór zadań dotyczących kątów wpisanych i środkowych w okręgu. Dowiedz się, jak obliczać miary kątów oraz zastosować te zasady w praktycznych zadaniach maturalnych. Idealne materiały do nauki dla uczniów przygotowujących się do matury z matematyki.
Matematyka1
Długość Łuku Okręgu
Zrozumienie długości łuku okręgu oraz obliczania promienia i kąta środkowego. W tym materiale omówiono wzory na obwód, długość łuku oraz przykłady z obliczeniami. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z planimetrii.
Matematyka2
Własności trójkątów
Zgłębiaj kluczowe właściwości trójkątów, w tym symetralne, dwusieczne, wysokości oraz punkty przecięcia. Dowiedz się, jak te elementy wpływają na okręgi opisane i wpisane. Idealne dla uczniów przygotowujących się do matury z matematyki.
Matematyka3
Równanie Okręgu w Układzie Współrzędnych
Zrozumienie równania okręgu w układzie współrzędnych. Przykłady zadań dotyczących obliczania środka i promienia okręgu oraz odległości między punktami. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
Matematyka4
Najpopularniejsze notatki: Koło
Najpopularniejsze notatki z Matematyka
Najpopularniejsze notatki
Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.
Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.
4.6/5
App Store
4.7/5
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
QUIZY I FISZKI SĄ SUPER PRZYDATNE I UWIELBIAM Knowunity AI. TO JEST DOSŁOWNIE JAK CHATGPT ALE MĄDRZEJSZY!! POMÓGŁ MI NAWET Z PROBLEMAMI Z TUSZEM DO RZĘS!! A TAKŻE Z PRAWDZIWYMI PRZEDMIOTAMI! OCZYWIŚCIE 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
QUIZY I FISZKI SĄ SUPER PRZYDATNE I UWIELBIAM Knowunity AI. TO JEST DOSŁOWNIE JAK CHATGPT ALE MĄDRZEJSZY!! POMÓGŁ MI NAWET Z PROBLEMAMI Z TUSZEM DO RZĘS!! A TAKŻE Z PRAWDZIWYMI PRZEDMIOTAMI! OCZYWIŚCIE 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...
Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.