Podstawowe działania i przekształcenia algebraiczne

Pierwsze zadania sprawdzają podstawowe umiejętności algebraiczne. Przekształcanie wyrażeń z pierwiastkami wymaga pamiętania, że $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. W zadaniu z $(2\sqrt{8}-3\sqrt{2})^2$ kluczowe jest uproszczenie $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Logarytmy wymagają znajomości własności: $n\log_a b = \log_a b^n$ oraz $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$. W praktyce często sprawdzaj, czy wynik można uprościć do prostej liczby.

Zadania procentowe rozwiązuje się układając równanie. Jeśli cena spadła dwukrotnie o 10%, to końcowa cena to $0,9 \times 0,9 = 0,81$ początkowej ceny.

Wskazówka: Zawsze sprawdzaj swoje obliczenia podstawiając wynik do równania wyjściowego.

Równania, nierówności i funkcje podstawowe

Układy równań liniowych rozwiązuj metodą podstawiania lub eliminacji. W zadaniu 6 po rozwiązaniu sprawdź znaki - to często decyduje o poprawnej odpowiedzi.

Nierówności liniowe przekształcaj jak równania, pamiętając o zmianie znaku przy mnożeniu przez liczbę ujemną. W zadaniu 7: $\frac{2}{5}x > \frac{3}{5}x$ prowadzi do $0 > \frac{1}{5}x$.

Równania iloczynowe typu $2x(x^2-9)(x+1) = 0$ rozwiązuj przyrównując każdy czynnik do zera. Miejsca zerowe to: $x = 0, x = 3, x = -3, x = -1$.

Odczytywanie z wykresu to podstawowa umiejętność - punkt $(a,b)$ oznacza, że $f(a) = b$.

Pamiętaj: W równaniach iloczynowych iloczyn wszystkich pierwiastków może być równy zero, jeśli jeden z pierwiastków to zero.

Przekształcenia funkcji

Przesunięcia wykresów funkcji to kluczowy temat. Gdy wykres przesuwa się w lewo o 2 jednostki, oznacza to, że $g(x) = f(x+2)$.

Zapamiętaj podstawowe reguły:

• $f(x) + a$ - przesunięcie w górę o $a$
• $f(x) - a$ - przesunięcie w dół o $a$
• $f(x + a)$ - przesunięcie w lewo o $a$
• $f(x - a)$ - przesunięcie w prawo o $a$

Porównując wykresy, zwracaj uwagę na charakterystyczne punkty i jak się przesunęły.

Uwaga: Przesunięcia w poziomie mogą być mylące - gdy wykres idzie w lewo, w wzorze mamy plus!

Funkcje liniowe, kwadratowe i ciągi

Miejsca zerowe funkcji liniowej znajdziesz przyrównując funkcję do zera. W zadaniu 11: $-\frac{1}{5}(x+3) + 5 = 0$ daje $x = 12$.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to $f(x) = a(x-p)^2 + q$, gdzie $(p,q)$ to wierzchołek. Jeśli wierzchołek to $(-3,2)$ i $a=3$, to $f(x) = 3(x+3)^2 + 2$.

Ciągi arytmetyczne mają stałą różnicę. Z wzoru $a_{10} = a_5 + 5r$ obliczasz różnicę $r$.

Ciągi geometryczne mają stały iloraz. Jeśli $9a_5 = 4a_3$, to $q^2 = \frac{4}{9}$, więc $q = \frac{2}{3}$.

Wzory trygonometryczne: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.

Sprawdź: W ciągach geometrycznych z dodatnimi wyrazami iloraz też jest dodatni!

Geometria okręgu i figur płaskich

Kąty wpisane i środkowe w okręgu mają ważną właściwość: kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

Pole wycinka koła obliczasz ze wzoru $P = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2$, gdzie $\alpha$ to kąt w stopniach. W zadaniu 18 kąt $120°$ daje pole $\frac{120°}{360°} \cdot \pi \cdot 6^2 = 12\pi$.

Romb w okręgu: gdy czworokąt ASBP jest rombem wpisanym w okręg, wszystkie jego boki mają długość promienia.

Wskazówka: W zadaniach z okręgiem zawsze szukaj związków między kątami wpisanymi a środkowymi.

Geometria trójkątów i analityczna

Trójkąt równoboczny o wysokości $h$ ma bok $a = \frac{2h}{\sqrt{3}}$ i pole $P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Dla $h = 6\sqrt{3}$ otrzymujemy $a = 12$ i $P = 36\sqrt{3}$.

Pole równoległoboku: $P = ab\sin\gamma$. Dla boków 6 i 10 oraz kąta $120°$ mamy $P = 6 \cdot 10 \cdot \sin 120° = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}$.

Prosta przez początek ma równanie $y = ax$. Dla punktów $A(-2,6)$ i $B(3,b)$ współczynnik $a = -3$, więc $b = -9$.

Proste prostopadłe mają współczynniki kierunkowe $a_1 \cdot a_2 = -1$.

Środek odcinka: $x_s = \frac{x_1 + x_2}{2}$. Jeśli $x_s = -12$, to $-12 = \frac{4 + b}{2}$, skąd $b = -28$.

Pamiętaj: W trójkątach równobocznych wszystkie wzory są ze sobą powiązane przez stronę $a$.

Geometria przestrzenna i kombinatoryka

Długość przekątnej kwadratu: dla boku $a$ wynosi $a\sqrt{2}$. Obliczając bok z sąsiednich wierzchołków $|AB| = \sqrt{64 + 16} = 4\sqrt{5}$, przekątna to $4\sqrt{5} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{10}$.

Objętość graniastosłupa: $V = P_p \cdot h$. Dla rombu o przekątnych 7 i 10 cm pole podstawy to $P_p = \frac{7 \cdot 10}{2} = 35$ cm².

Ostrosłup w sześcianie: podstawa to trójkąt równoboczny, ściany boczne to trójkąty prostokątne. Pole całkowite: $P_c = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + 3 \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{a^2(3\sqrt{3} + 6)}{4}$.

Liczby czterocyfrowe nieparzyste podzielne przez 5 kończą się cyfrą 5. Mamy $9 \times 10 \times 10 \times 1 = 900$ takich liczb.

Średnia arytmetyczna: $\bar{x} = \frac{2x + 4 + 6 + 8 + 11 + 13}{6} = 5$ daje $x = -6$.

Uwaga: W geometrii przestrzennej zawsze szkicuj rysunek i oznaczaj wszystkie wymiary.

Zadania otwarte - nierówności i ciągi

Nierówność kwadratowa $3x^2 - 2x - 9 \geq 7$ przekształcamy do postaci $3x^2 - 2x - 16 \geq 0$. Obliczamy deltę: $\Delta = 4 + 192 = 196$, pierwiastki $x_1 = -2$, $x_2 = \frac{8}{3}$.

Rozwiązanie: $x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{8}{3}, +\infty)$.

Suma ciągu arytmetycznego: dla $a_1 = -1$ i $a_4 = 8$ różnica $r = 3$. Suma stu początkowych wyrazów: $S_{100} = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n = \frac{-2 + 99 \cdot 3}{2} \cdot 100 = 14750$.

Metodyka: W nierównościach kwadratowych zawsze szkicuj parabolę i oznaczaj pierwiastki.

Dowodzenie i trygonometria

Dowód nierówności $\frac{a^2 + b^2}{2} > \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$ prowadzisz przez przekształcenia algebraiczne do postaci $(a-b)^2 > 0$, co jest prawdziwe dla $a \neq b$.

Funkcje trygonometryczne: jeśli $\tg\alpha = 2$ i kąt jest ostry, to z trójkąta prostokątnego przeciwprostokątna $c = x\sqrt{5}$, więc $\sin^2\alpha = \frac{4x^2}{5x^2} = \frac{4}{5}$.

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym, gdzie przeciwkątna to $2x$, przyległa to $x$, możesz obliczyć wszystkie pozostałe funkcje.

Wskazówka: W dowodach algebraicznych często celem jest doprowadzenie do wyrażenia, które jest zawsze dodatnie.

Geometria i prawdopodobieństwo

Trójkąt równoramienny z dwusieczną: gdy trójkąty ABC i BDA są podobne, suma kątów w trójkącie daje równanie $\frac{1}{2}\alpha + \alpha + \alpha = 180°$. Stąd $2,5\alpha = 180°$, więc $\alpha = 72°$.

Prawdopodobieństwo klasyczne: $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$. Losujemy ze zwracaniem dwie liczby ze zbioru ${1,2,3,4,5,6,7,8,9}$. Zdarzeń elementarnych jest $|\Omega| = 9^2 = 81$.

Zdarzenie A $iloczyn = 24$ to pary: $(3,8), (4,6), (6,4), (8,3)$. Mamy $|A| = 4$, więc $P(A) = \frac{4}{81}$.

Pamiętaj: W prawdopodobieństwie ze zwracaniem kolejność ma znaczenie - $(3,8)$ i $(8,3)$ to różne zdarzenia!