Przedmioty

Matematyka

Planimetria

Okrąg opisany i wpisany w trójkąt

Rozwiązywanie zadań dotyczących okręgu opisanego w trójkąt

2563

•

2 lip 2025

•

2 strony

Okręgi wpisane i opisane na trójkątach: proste wyjaśnienia dla dzieci

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Nikola <3

@books_in_head

The okrąg wpisany i opisany na trójkącie(inscribed and circumscribed... Pokaż więcej

OKRAG WPISANY I OPISANY NA TRÓJKĄCIE
kątów tego trójkąta
Środek okręgu wpisanego w trójkąt lezy na przecięuv dwusiecznych
TROJKAT PROSTOKĄTN

Triangle Area and Circle Radii Formulas

This page continues with formulas for various triangle types and introduces the general area formula for any triangle.

For an equilateral triangle, the following formulas are provided:

Radius of the circumscribed circle: R = a / √3, where 'a' is the side length
Radius of the inscribed circle: r = a / $2√3$

Highlight: In an equilateral triangle, the ratio of the circumscribed circle radius to the inscribed circle radius is always 2:1.

The page also presents the general formula for calculating the area of any triangle using the semi-perimeter:

P = √ $s(s-a)(s-b)(s-c)$

Where:

P is the area of the triangle
s is the semi-perimeter: s = $a + b + c$ / 2
a, b, and c are the lengths of the triangle's sides

Example: For a triangle with sides 3, 4, and 5, the semi-perimeter s = $3 + 4 + 5$ / 2 = 6. The area would be P = √ $6(6-3)(6-4)(6-5)$ = √ $6 * 3 * 2 * 1$ = √36 = 6.

The radius of the circumscribed circle for any triangle can be calculated using:

R = abc / $4P$

Where abc is the product of the three side lengths, and P is the area of the triangle.

Definition: The circumscribed circle, also known as the circumcircle, is the unique circle that passes through all three vertices of a triangle.

These formulas provide powerful tools for analyzing triangles and their associated circles, allowing for the calculation of various geometric properties based on known triangle dimensions.

Inscribed and Circumscribed Circles of a Triangle

This page introduces the concepts of okrąg wpisany w trójkącie $inscribed circle$ and okrąg opisany na trójkącie $circumscribed circle$ for different types of triangles. It provides formulas for calculating the radii of these circles and related triangle properties.

Definition: The inscribed circle of a triangle is the largest circle that can be drawn inside the triangle, touching all three sides. The circumscribed circle passes through all three vertices of the triangle.

Highlight: The center of the inscribed circle is located at the intersection of the angle bisectors of the triangle.

For a trójkąt prostokątny $right triangle$ , the following formulas are provided:

Area: P = ah/2, where 'a' is the base and 'h' is the height
Radius of the circumscribed circle: R = c/2, where 'c' is the hypotenuse

Example: In a right triangle with legs 3 and 4, and hypotenuse 5, the radius of the circumscribed circle would be R = 5/2 = 2.5.

For a general triangle, the radius of the inscribed circle is given by:

r = P / s, where P is the area and s is the semi-perimeter

The semi-perimeter is calculated as: s = $a + b + c$ / 2, where a, b, and c are the side lengths of the triangle.

For a trójkąt równoramienny $isosceles triangle$ , specific formulas are provided for the radius of the circumscribed circle and the height:

R = a² / $4h$ , where 'a' is the length of the equal sides and 'h' is the height
h = a√3 / 2, relating the height to the side length

Vocabulary: The height $h$ in an isosceles triangle is the perpendicular line segment from the vertex angle to the base.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Koło i okrąg

3278

Planimetria

1232

Wzory skróconego mnożenia

3421

119

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Planimetria

Okrąg opisany i wpisany w trójkąt

Rozwiązywanie zadań dotyczących okręgu opisanego w trójkąt

Matematyka

•

2563

•

2 lip 2025

•

2 strony

Okręgi wpisane i opisane na trójkątach: proste wyjaśnienia dla dzieci

Nikola <3

@books_in_head

The okrąg wpisany i opisany na trójkącie(inscribed and circumscribed circles of a triangle) are fundamental concepts in geometry. These circles provide important relationships between a triangle's sides, angles, and area. The formulas for calculating the radii of these circles... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Triangle Area and Circle Radii Formulas

This page continues with formulas for various triangle types and introduces the general area formula for any triangle.

For an equilateral triangle, the following formulas are provided:

Radius of the circumscribed circle: R = a / √3, where 'a' is the side length
Radius of the inscribed circle: r = a / $2√3$

Highlight: In an equilateral triangle, the ratio of the circumscribed circle radius to the inscribed circle radius is always 2:1.

The page also presents the general formula for calculating the area of any triangle using the semi-perimeter:

P = √ $s(s-a)(s-b)(s-c)$

Where:

P is the area of the triangle
s is the semi-perimeter: s = $a + b + c$ / 2
a, b, and c are the lengths of the triangle's sides

Example: For a triangle with sides 3, 4, and 5, the semi-perimeter s = $3 + 4 + 5$ / 2 = 6. The area would be P = √ $6(6-3)(6-4)(6-5)$ = √ $6 * 3 * 2 * 1$ = √36 = 6.

The radius of the circumscribed circle for any triangle can be calculated using:

R = abc / $4P$

Where abc is the product of the three side lengths, and P is the area of the triangle.

Definition: The circumscribed circle, also known as the circumcircle, is the unique circle that passes through all three vertices of a triangle.

These formulas provide powerful tools for analyzing triangles and their associated circles, allowing for the calculation of various geometric properties based on known triangle dimensions.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Inscribed and Circumscribed Circles of a Triangle

Definition: The inscribed circle of a triangle is the largest circle that can be drawn inside the triangle, touching all three sides. The circumscribed circle passes through all three vertices of the triangle.

Highlight: The center of the inscribed circle is located at the intersection of the angle bisectors of the triangle.

For a trójkąt prostokątny $right triangle$ , the following formulas are provided:

Area: P = ah/2, where 'a' is the base and 'h' is the height
Radius of the circumscribed circle: R = c/2, where 'c' is the hypotenuse

Example: In a right triangle with legs 3 and 4, and hypotenuse 5, the radius of the circumscribed circle would be R = 5/2 = 2.5.

For a general triangle, the radius of the inscribed circle is given by:

r = P / s, where P is the area and s is the semi-perimeter

The semi-perimeter is calculated as: s = $a + b + c$ / 2, where a, b, and c are the side lengths of the triangle.

For a trójkąt równoramienny $isosceles triangle$ , specific formulas are provided for the radius of the circumscribed circle and the height:

R = a² / $4h$ , where 'a' is the length of the equal sides and 'h' is the height
h = a√3 / 2, relating the height to the side length

Vocabulary: The height $h$ in an isosceles triangle is the perpendicular line segment from the vertex angle to the base.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Koło i okrąg

3278

Planimetria

1232

Wzory skróconego mnożenia

3421

119

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS