Jak obliczyć promień i obwód okręgu oraz pole trójkąta

Aleksandra Karwowska

28.10.2025

Matematyka

Planimetria

Przedmioty

Matematyka

Planimetria

Okrąg opisany i wpisany w trójkąt

Rozwiązywanie zadań dotyczących okręgu opisanego w trójkąt

1274

•

28 paź 2025

•

2 strony

Jak obliczyć promień i obwód okręgu oraz pole trójkąta

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Aleksandra Karwowska

@alexiss

Okrąg i trójkąt - kluczowe wzory i zależności geometryczne

Podsumowanie... Pokaż więcej

planimetria
телотую
DŁUGOŚĆ OKRĘGU o promieniu
l = 21r
DŁUGOŚĆ ZUKU OKREGU to promieniu
przez kąt srodkowy o mierze
&
promieniu r wyznaczone

Okręgi opisane i wpisane w trójkąty

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku a wynosi R = (a√3)/3. Jest to ważny wzór w geometrii trójkątów.

Highlight: Okrąg opisany na trójkącie to okrąg przechodzący przez wszystkie wierzchołki trójkąta.

Pole trójkąta o bokach długości a, b, c wpisanego w okrąg o promieniu R można obliczyć ze wzoru P = abc/(4R). Ten wzór jest szczególnie przydatny, gdy znamy długości boków trójkąta i promień okręgu opisanego.

Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a wynosi r = (a√3)/6. Jest to połowa promienia okręgu opisanego na tym samym trójkącie.

Definition: Okrąg wpisany w trójkąt to okrąg styczny do wszystkich boków trójkąta.

Ważna zależność: Pole trójkąta jest równe iloczynowi połowy obwodu tego trójkąta i promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Promień okręgu wpisanego w trójkąt o bokach a, b, c oraz polu P można obliczyć ze wzoru r = 2P/ $a+b+c$ .

Example: Dla trójkąta równobocznego o boku 6 cm, promień okręgu wpisanego wynosi √3 cm.

Te wzory i zależności są kluczowe dla rozwiązywania zadań z geometrii płaskiej, szczególnie tych dotyczących trójkątów i okręgów. Znajomość tych formuł znacznie ułatwia obliczenia i analizę figur geometrycznych.

Długość okręgu i pole koła

Długość okręgu o promieniu r wynosi l = 2πr. Jest to podstawowy wzór na długość okręgu, który pozwala obliczyć obwód koła znając jego promień.

Długość łuku okręgu o promieniu r, wyznaczonego przez kąt środkowy α, obliczamy ze wzoru l = (α/360°) · 2πr. Wzór ten umożliwia obliczenie długości dowolnego fragmentu okręgu.

Highlight: Długość łuku jest proporcjonalna do miary kąta środkowego, który go wyznacza.

Pole koła o promieniu r wynosi P = πr². Jest to kluczowy wzór na pole koła, który pozwala obliczyć powierzchnię koła na podstawie jego promienia.

Pole wycinka koła wyznaczonego przez kąt środkowy α obliczamy ze wzoru P = (α/360°) · πr². Wzór ten umożliwia obliczenie pola dowolnej części koła.

Example: Dla kąta środkowego 90°, pole wycinka koła będzie równe 1/4 pola całego koła.

Ważne zależności dotyczące stycznych do okręgu:

Jeśli styczne do okręgu w punktach A i B przecinają się w punkcie P, to |PA| = |PB|.
Styczne do okręgu tworzą kąt prosty z okręgiem w punkcie styczności.

Definition: Styczna do okręgu to prosta, która ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny.

Kąt środkowy ma miarę dwa razy większą od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku. Jest to ważna zależność wykorzystywana w wielu zadaniach geometrycznych.

Vocabulary: Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku okręgu, a ramiona przechodzą przez punkty na okręgu.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Geometria analityczna

4917

103

Okrąg wpisany i opisany na trójkącie

2856

Okrąg opisany na trójkącie

5391

196

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Planimetria

Okrąg opisany i wpisany w trójkąt

Rozwiązywanie zadań dotyczących okręgu opisanego w trójkąt

Matematyka

•

1274

•

28 paź 2025

•

2 strony

Jak obliczyć promień i obwód okręgu oraz pole trójkąta

Aleksandra Karwowska

@alexiss

Okrąg i trójkąt - kluczowe wzory i zależności geometryczne

Podsumowanie obejmuje najważniejsze wzory i zależności dotyczące okręgów oraz trójkątów, w tym:

Wzory na długość okręgu i łuku
Wzory na pole koła i wycinka koła
Zależności między kątami środkowymi i wpisanymi... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Okręgi opisane i wpisane w trójkąty

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku a wynosi R = (a√3)/3. Jest to ważny wzór w geometrii trójkątów.

Highlight: Okrąg opisany na trójkącie to okrąg przechodzący przez wszystkie wierzchołki trójkąta.

Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a wynosi r = (a√3)/6. Jest to połowa promienia okręgu opisanego na tym samym trójkącie.

Definition: Okrąg wpisany w trójkąt to okrąg styczny do wszystkich boków trójkąta.

Ważna zależność: Pole trójkąta jest równe iloczynowi połowy obwodu tego trójkąta i promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Promień okręgu wpisanego w trójkąt o bokach a, b, c oraz polu P można obliczyć ze wzoru r = 2P/ $a+b+c$ .

Example: Dla trójkąta równobocznego o boku 6 cm, promień okręgu wpisanego wynosi √3 cm.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Długość okręgu i pole koła

Długość okręgu o promieniu r wynosi l = 2πr. Jest to podstawowy wzór na długość okręgu, który pozwala obliczyć obwód koła znając jego promień.

Długość łuku okręgu o promieniu r, wyznaczonego przez kąt środkowy α, obliczamy ze wzoru l = (α/360°) · 2πr. Wzór ten umożliwia obliczenie długości dowolnego fragmentu okręgu.

Highlight: Długość łuku jest proporcjonalna do miary kąta środkowego, który go wyznacza.

Pole koła o promieniu r wynosi P = πr². Jest to kluczowy wzór na pole koła, który pozwala obliczyć powierzchnię koła na podstawie jego promienia.

Pole wycinka koła wyznaczonego przez kąt środkowy α obliczamy ze wzoru P = (α/360°) · πr². Wzór ten umożliwia obliczenie pola dowolnej części koła.

Example: Dla kąta środkowego 90°, pole wycinka koła będzie równe 1/4 pola całego koła.

Ważne zależności dotyczące stycznych do okręgu:

Jeśli styczne do okręgu w punktach A i B przecinają się w punkcie P, to |PA| = |PB|.
Styczne do okręgu tworzą kąt prosty z okręgiem w punkcie styczności.

Definition: Styczna do okręgu to prosta, która ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny.

Kąt środkowy ma miarę dwa razy większą od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku. Jest to ważna zależność wykorzystywana w wielu zadaniach geometrycznych.

Vocabulary: Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku okręgu, a ramiona przechodzą przez punkty na okręgu.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Równania Okręgów i Twierdzenia

Zrozumienie równań okręgów, wzajemnego położenia okręgów i prostych, oraz zastosowanie twierdzenia Pitagorasa. Obejmuje wzory na odległość między punktami, środek odcinka oraz odległość punktu od prostej. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii analitycznej.

Matematyka

Geometria Trójkątów

Zbiór kluczowych wzorów dotyczących trójkątów, w tym obliczanie pól, promieni okręgów wpisanych i opisanych oraz wysokości. Obejmuje trójkąty różnoboczne, prostokątne, równoramienne i równoboczne. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.

Matematyka

Okrąg opisany w trójkącie

Zrozumienie okręgu opisanego i wpisanego w trójkąty: ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne. Przykłady obliczeń dla trójkąta równobocznego, w tym wzory na promień, pole i obwód. Idealne dla uczniów uczących się geometrii.

Matematyka

Wzory Mnożenia Kwadratów

Zrozum wzory skróconego mnożenia, w tym różnicę kwadratów oraz kwadraty sumy i różnicy. Przykłady ilustrujące zastosowanie wzorów, takie jak (a+b)(a-b) i (a-b)². Idealne dla uczniów 1LO na poziomie rozszerzonym.

Matematyka

Geometria Trójkątów i Okręgów

Zrozumienie geometrii trójkątów, w tym obliczania pól, promieni okręgów opisanych i wpisanych. Materiał obejmuje trójkąty równoboczne, prostokątne oraz metody obliczania wysokości i obwodów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z planimetrii.

Matematyka

Wzory na Pola i Objętości

Zbiór kluczowych wzorów na pola i objętości figur płaskich oraz brył. Obejmuje wzory dla kwadratu, prostokąta, trójkąta, koła, sześcianu, walca i innych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Typ: Podsumowanie.

Matematyka

Podobne notatki

Geometria analityczna

4917

103

Okrąg wpisany i opisany na trójkącie

2856

Okrąg opisany na trójkącie

5391

196

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS