Okręgi opisane i wpisane w trójkąty

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku a wynosi R = (a√3)/3. Jest to ważny wzór w geometrii trójkątów.

Highlight: Okrąg opisany na trójkącie to okrąg przechodzący przez wszystkie wierzchołki trójkąta.

Pole trójkąta o bokach długości a, b, c wpisanego w okrąg o promieniu R można obliczyć ze wzoru P = abc/(4R). Ten wzór jest szczególnie przydatny, gdy znamy długości boków trójkąta i promień okręgu opisanego.

Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a wynosi r = (a√3)/6. Jest to połowa promienia okręgu opisanego na tym samym trójkącie.

Definition: Okrąg wpisany w trójkąt to okrąg styczny do wszystkich boków trójkąta.

Ważna zależność: Pole trójkąta jest równe iloczynowi połowy obwodu tego trójkąta i promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Promień okręgu wpisanego w trójkąt o bokach a, b, c oraz polu P można obliczyć ze wzoru r = 2P/$a+b+c$.

Example: Dla trójkąta równobocznego o boku 6 cm, promień okręgu wpisanego wynosi √3 cm.

Te wzory i zależności są kluczowe dla rozwiązywania zadań z geometrii płaskiej, szczególnie tych dotyczących trójkątów i okręgów. Znajomość tych formuł znacznie ułatwia obliczenia i analizę figur geometrycznych.

Długość okręgu i pole koła

Długość okręgu o promieniu r wynosi l = 2πr. Jest to podstawowy wzór na długość okręgu, który pozwala obliczyć obwód koła znając jego promień.

Długość łuku okręgu o promieniu r, wyznaczonego przez kąt środkowy α, obliczamy ze wzoru l = $α/360°$ · 2πr. Wzór ten umożliwia obliczenie długości dowolnego fragmentu okręgu.

Highlight: Długość łuku jest proporcjonalna do miary kąta środkowego, który go wyznacza.

Pole koła o promieniu r wynosi P = πr². Jest to kluczowy wzór na pole koła, który pozwala obliczyć powierzchnię koła na podstawie jego promienia.

Pole wycinka koła wyznaczonego przez kąt środkowy α obliczamy ze wzoru P = $α/360°$ · πr². Wzór ten umożliwia obliczenie pola dowolnej części koła.

Example: Dla kąta środkowego 90°, pole wycinka koła będzie równe 1/4 pola całego koła.

Ważne zależności dotyczące stycznych do okręgu:

• Jeśli styczne do okręgu w punktach A i B przecinają się w punkcie P, to |PA| = |PB|.
• Styczne do okręgu tworzą kąt prosty z okręgiem w punkcie styczności.

Definition: Styczna do okręgu to prosta, która ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny.

Kąt środkowy ma miarę dwa razy większą od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku. Jest to ważna zależność wykorzystywana w wielu zadaniach geometrycznych.

Vocabulary: Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku okręgu, a ramiona przechodzą przez punkty na okręgu.