Jak Wyznaczyć Pierwiastki Całkowite i Wymierne Wielomianu

Elwira Drzonek

28.04.2022

Matematyka

pierwiastki całkowite wielomianu

Przedmioty

Matematyka

Wielomiany

Działania na wielomianach

2027

•

28 kwi 2022

•

3 strony

Jak Wyznaczyć Pierwiastki Całkowite i Wymierne Wielomianu

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Elwira Drzonek

@elwiradrzonek_matmaonline

Wielomian trzeciego stopnia o współczynnikach całkowitych i jego pierwiastki całkowite... Pokaż więcej

1 / 3

PIERWIASTICI CAŁKOWITE
VITE
WIELOMIANU
TWIERDZENIE O PIERWIASTIACH
CAŁKOWITY CH
Jeżeli wielomian w(x) = a₁x^² + a₁-₁x^-^+...+C₁x + ao (ao+0)

Page 2: Solving Polynomial Equations

This page expands on the process of finding pierwiastki całkowite i wymierne wielomianu (integer and rational roots of polynomials) through a detailed example.

The problem presented is to solve the equation x^3 - 6x^2 + 9x - 4 = 0.

Step 1: Find integer roots

List divisors of -4: ±1, ±2, ±4
Test each divisor in the polynomial

Highlight: After testing, we find that x = 1 and x = 4 are integer roots of the polynomial.

Step 2: Factor the polynomial

Since x = 1 and x = 4 are roots, the polynomial is divisible by $x-1$ and $x-4$
Perform polynomial long division to find the remaining factor

Example: $x^3 - 6x^2 + 9x - 4$ = $x^2 - 5x + 4$ $x - 1$

This factorization helps in further analysis of the polynomial and its roots, demonstrating how to wyznacz pierwiastki wielomianu systematically.

Page 3: Completing the Solution

This final page focuses on solving the remaining quadratic equation to find all roots of the polynomial.

After factoring out $x-1$ , we're left with the quadratic equation x^2 - 5x + 4 = 0.

Vocabulary: The quadratic formula is used to solve equations in the form ax^2 + bx + c = 0, where a ≠ 0.

Steps to solve the quadratic equation:

Calculate the discriminant: Δ = b^2 - 4ac = 25 - 16 = 9
Apply the quadratic formula: x = $-b ± √Δ$ / (2a)

Example: x1 = $5 + √9$ / 2 = 4, x2 = $5 - √9$ / 2 = 1

The solution verifies our earlier findings that x = 1 and x = 4 are the only roots of the polynomial.

Highlight: This method demonstrates how to find pierwiastki wymierne wielomianu (rational roots of polynomials) by combining factoring and the quadratic formula.

This comprehensive approach showcases the Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych (Theorem on Rational Roots) in action, providing a thorough understanding of how to wyznacz pierwiastki wielomianu in various scenarios.

Page 1: Theorem on Integer Roots of Polynomials

This page introduces the fundamental theorem for finding pierwiastki całkowite wielomianu (integer roots of polynomials).

The theorem states that if a polynomial w $x$ = anx^n + an-1x^n-1 + ... + a1x + a0 (a0 ≠ 0) with integer coefficients has integer roots, they will be divisors of the constant term a0.

Definition: Integer roots of a polynomial are whole number solutions that make the polynomial equal to zero when substituted for x.

An example is provided to demonstrate the application of this theorem:

Find the integer roots of w $x$ = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 3

The process involves two main steps:

List the divisors of the constant term $-3 in this case$ : ±1, ±3
Test each divisor by evaluating the polynomial

Example: Evaluating w $1$ = 2 $1$ ^3 - 3 $1$ ^2 + 4 $1$ - 3 = 2 - 3 + 4 - 3 = 0, confirming that 1 is a root.

This systematic approach efficiently narrows down potential integer roots, making it easier to wyznacz całkowite pierwiastki wielomianu.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

stopień i współczynniki wielomianu

1057

Wielomiany

4518

Twierdzenie Bèzouta

421

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Wielomiany

Działania na wielomianach

Matematyka

•

2027

•

28 kwi 2022

•

3 strony

Jak Wyznaczyć Pierwiastki Całkowite i Wymierne Wielomianu

Elwira Drzonek

@elwiradrzonek_matmaonline

Wielomian trzeciego stopnia o współczynnikach całkowitych i jego pierwiastki całkowite są tematem tego materiału. Omówiono metody dzielenia wielomianów przez dwumiany oraz zastosowano twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu.

Przedstawiono krok po kroku proces znajdowania pierwiastków całkowitych wielomianu
Zaprezentowano przykłady rozwiązywania... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 2: Solving Polynomial Equations

This page expands on the process of finding pierwiastki całkowite i wymierne wielomianu (integer and rational roots of polynomials) through a detailed example.

The problem presented is to solve the equation x^3 - 6x^2 + 9x - 4 = 0.

Step 1: Find integer roots

List divisors of -4: ±1, ±2, ±4
Test each divisor in the polynomial

Highlight: After testing, we find that x = 1 and x = 4 are integer roots of the polynomial.

Step 2: Factor the polynomial

Since x = 1 and x = 4 are roots, the polynomial is divisible by $x-1$ and $x-4$
Perform polynomial long division to find the remaining factor

Example: $x^3 - 6x^2 + 9x - 4$ = $x^2 - 5x + 4$ $x - 1$

This factorization helps in further analysis of the polynomial and its roots, demonstrating how to wyznacz pierwiastki wielomianu systematically.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 3: Completing the Solution

This final page focuses on solving the remaining quadratic equation to find all roots of the polynomial.

After factoring out $x-1$ , we're left with the quadratic equation x^2 - 5x + 4 = 0.

Vocabulary: The quadratic formula is used to solve equations in the form ax^2 + bx + c = 0, where a ≠ 0.

Steps to solve the quadratic equation:

Calculate the discriminant: Δ = b^2 - 4ac = 25 - 16 = 9
Apply the quadratic formula: x = $-b ± √Δ$ / (2a)

Example: x1 = $5 + √9$ / 2 = 4, x2 = $5 - √9$ / 2 = 1

The solution verifies our earlier findings that x = 1 and x = 4 are the only roots of the polynomial.

Highlight: This method demonstrates how to find pierwiastki wymierne wielomianu (rational roots of polynomials) by combining factoring and the quadratic formula.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 1: Theorem on Integer Roots of Polynomials

This page introduces the fundamental theorem for finding pierwiastki całkowite wielomianu (integer roots of polynomials).

The theorem states that if a polynomial w $x$ = anx^n + an-1x^n-1 + ... + a1x + a0 (a0 ≠ 0) with integer coefficients has integer roots, they will be divisors of the constant term a0.

Definition: Integer roots of a polynomial are whole number solutions that make the polynomial equal to zero when substituted for x.

An example is provided to demonstrate the application of this theorem:

Find the integer roots of w $x$ = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 3

The process involves two main steps:

List the divisors of the constant term $-3 in this case$ : ±1, ±3
Test each divisor by evaluating the polynomial

Example: Evaluating w $1$ = 2 $1$ ^3 - 3 $1$ ^2 + 4 $1$ - 3 = 2 - 3 + 4 - 3 = 0, confirming that 1 is a root.

This systematic approach efficiently narrows down potential integer roots, making it easier to wyznacz całkowite pierwiastki wielomianu.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Knowunity ist besser in der App

Hol dir die App, um Zugang zu den smarten Tools mit interaktiven Karteikarten, Übungsaufgaben, Probeklausuren und Zusammenfassungen zu bekommen

Podobne notatki

Wielomiany: Stopień i Współczynniki

Zrozumienie stopnia i współczynników wielomianów. Praktyczne zadania i przykłady, które pomogą w wyznaczaniu tych elementów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Teoria Wielomianów

Zrozumienie teorii wielomianów, w tym twierdzeń Bézouta, o pierwiastkach całkowitych i wymiernych. Notatka zawiera kluczowe definicje, przykłady oraz zastosowania w kontekście matury. Idealna dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Bézouta i Wielomiany

Zrozumienie twierdzenia Bézouta oraz jego zastosowania w dzieleniu wielomianów. Przykłady zadań ilustrujące, jak znaleźć pierwiastki wielomianów i obliczyć reszty z dzielenia. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Mnożenie i Dzielenie Ułamków

Zrozum zasady mnożenia i dzielenia wyrażeń wymiernych. Przykłady ilustrujące operacje na ułamkach oraz techniki uproszczenia. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Operacje na Pierwiastkach

Zrozumienie działań na pierwiastkach, w tym mnożenie, dzielenie oraz wyciąganie czynników przed znak pierwiastka. Przykłady dla pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Wielomiany i ich Właściwości

Zrozumienie wielomianów stopnia n oraz jednomianów. Dowiedz się, jak zapisać wyrażenia matematyczne w postaci a.x^n, poznaj wspóczynniki i zasady dotyczące wielomianów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Podobne notatki

stopień i współczynniki wielomianu

1057

Wielomiany

4518

Twierdzenie Bèzouta

421

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS