Przedmioty

Kariera

Knowunity Pro

Otwórz aplikację

Przedmioty

Jak Wyznaczyć Pierwiastki Całkowite i Wymierne Wielomianu

Otwórz

60

1

user profile picture

Elwira Drzonek

28.04.2022

Matematyka

pierwiastki całkowite wielomianu

Przedmioty

/

Matematyka

/

Wielomiany

/

Działania na wielomianach

Jak Wyznaczyć Pierwiastki Całkowite i Wymierne Wielomianu

Wielomian trzeciego stopnia o współczynnikach całkowitych i jego pierwiastki całkowite są tematem tego materiału. Omówiono metody dzielenia wielomianów przez dwumiany oraz zastosowano twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu.

  • Przedstawiono krok po kroku proces znajdowania pierwiastków całkowitych wielomianu
  • Zaprezentowano przykłady rozwiązywania równań wielomianowych
  • Wyjaśniono, jak wykorzystać znalezione pierwiastki do rozkładu wielomianu na czynniki
...

28.04.2022

1989

PIERWIASTICI CAŁKOWITE VITE WIELOMIANU TWIERDZENIE O PIERWIASTIACH CAŁKOWITY CH Jeżeli wielomian w(x) = a₁x^² + a₁-₁x^-^+...+C₁x + ao (ao+0)

Zobacz

Page 2: Solving Polynomial Equations

This page expands on the process of finding pierwiastki całkowite i wymierne wielomianu (integer and rational roots of polynomials) through a detailed example.

The problem presented is to solve the equation x^3 - 6x^2 + 9x - 4 = 0.

Step 1: Find integer roots

  • List divisors of -4: ±1, ±2, ±4
  • Test each divisor in the polynomial

Highlight: After testing, we find that x = 1 and x = 4 are integer roots of the polynomial.

Step 2: Factor the polynomial

  • Since x = 1 and x = 4 are roots, the polynomial is divisible by (x-1) and (x-4)
  • Perform polynomial long division to find the remaining factor

Example: (x^3 - 6x^2 + 9x - 4) = (x^2 - 5x + 4)(x - 1)

This factorization helps in further analysis of the polynomial and its roots, demonstrating how to wyznacz pierwiastki wielomianu systematically.

PIERWIASTICI CAŁKOWITE VITE WIELOMIANU TWIERDZENIE O PIERWIASTIACH CAŁKOWITY CH Jeżeli wielomian w(x) = a₁x^² + a₁-₁x^-^+...+C₁x + ao (ao+0)

Zobacz

Page 3: Completing the Solution

This final page focuses on solving the remaining quadratic equation to find all roots of the polynomial.

After factoring out (x-1), we're left with the quadratic equation x^2 - 5x + 4 = 0.

Vocabulary: The quadratic formula is used to solve equations in the form ax^2 + bx + c = 0, where a ≠ 0.

Steps to solve the quadratic equation:

  1. Calculate the discriminant: Δ = b^2 - 4ac = 25 - 16 = 9
  2. Apply the quadratic formula: x = (-b ± √Δ) / (2a)

Example: x1 = (5 + √9) / 2 = 4, x2 = (5 - √9) / 2 = 1

The solution verifies our earlier findings that x = 1 and x = 4 are the only roots of the polynomial.

Highlight: This method demonstrates how to find pierwiastki wymierne wielomianu (rational roots of polynomials) by combining factoring and the quadratic formula.

This comprehensive approach showcases the Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych (Theorem on Rational Roots) in action, providing a thorough understanding of how to wyznacz pierwiastki wielomianu in various scenarios.

Podobne notatki

Know Wielomiany Rozszerzenie pierwiastki wielomianu thumbnail

12

555

1/2

Wielomiany Rozszerzenie pierwiastki wielomianu

Wielomiany Rozszerzenie pierwiastki wielomianu

Know Twierdzenie Bèzouta thumbnail

11

402

1/2

Twierdzenie Bèzouta

twierdzenie Bézouta, twierdzenie twierdzenie reszcie , przykłady zadań źródło-matematyka 2 Nowa Era

Know wielomiany thumbnail

188

6220

1/3

wielomiany

wielomiany

Know Równania i nierówności z parametrem. Poziom rozszerzony. thumbnail

13

602

4/2

Równania i nierówności z parametrem. Poziom rozszerzony.

Poziom rozszerzony.

Know WIELOMIANY thumbnail

38

4168

4/2

WIELOMIANY

ZADANIA MATURALNE

Know mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych thumbnail

31

1999

1/2

mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

zasady mnożenia i dzielenia wyrażeń wymiernych wraz z zasadami

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

20 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

/

Matematyka

/

Wielomiany

/

Działania na wielomianach

Jak Wyznaczyć Pierwiastki Całkowite i Wymierne Wielomianu

user profile picture

Elwira Drzonek

@elwiradrzonek_matmaonline

·

4409 Obserwujących

Obserwuj

Wielomian trzeciego stopnia o współczynnikach całkowitych i jego pierwiastki całkowite są tematem tego materiału. Omówiono metody dzielenia wielomianów przez dwumiany oraz zastosowano twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu.

  • Przedstawiono krok po kroku proces znajdowania pierwiastków całkowitych wielomianu
  • Zaprezentowano przykłady rozwiązywania równań wielomianowych
  • Wyjaśniono, jak wykorzystać znalezione pierwiastki do rozkładu wielomianu na czynniki
...

28.04.2022

1989

 

1/2

 

Matematyka

60

PIERWIASTICI CAŁKOWITE VITE WIELOMIANU TWIERDZENIE O PIERWIASTIACH CAŁKOWITY CH Jeżeli wielomian w(x) = a₁x^² + a₁-₁x^-^+...+C₁x + ao (ao+0)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 2: Solving Polynomial Equations

This page expands on the process of finding pierwiastki całkowite i wymierne wielomianu (integer and rational roots of polynomials) through a detailed example.

The problem presented is to solve the equation x^3 - 6x^2 + 9x - 4 = 0.

Step 1: Find integer roots

  • List divisors of -4: ±1, ±2, ±4
  • Test each divisor in the polynomial

Highlight: After testing, we find that x = 1 and x = 4 are integer roots of the polynomial.

Step 2: Factor the polynomial

  • Since x = 1 and x = 4 are roots, the polynomial is divisible by (x-1) and (x-4)
  • Perform polynomial long division to find the remaining factor

Example: (x^3 - 6x^2 + 9x - 4) = (x^2 - 5x + 4)(x - 1)

This factorization helps in further analysis of the polynomial and its roots, demonstrating how to wyznacz pierwiastki wielomianu systematically.

PIERWIASTICI CAŁKOWITE VITE WIELOMIANU TWIERDZENIE O PIERWIASTIACH CAŁKOWITY CH Jeżeli wielomian w(x) = a₁x^² + a₁-₁x^-^+...+C₁x + ao (ao+0)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 3: Completing the Solution

This final page focuses on solving the remaining quadratic equation to find all roots of the polynomial.

After factoring out (x-1), we're left with the quadratic equation x^2 - 5x + 4 = 0.

Vocabulary: The quadratic formula is used to solve equations in the form ax^2 + bx + c = 0, where a ≠ 0.

Steps to solve the quadratic equation:

  1. Calculate the discriminant: Δ = b^2 - 4ac = 25 - 16 = 9
  2. Apply the quadratic formula: x = (-b ± √Δ) / (2a)

Example: x1 = (5 + √9) / 2 = 4, x2 = (5 - √9) / 2 = 1

The solution verifies our earlier findings that x = 1 and x = 4 are the only roots of the polynomial.

Highlight: This method demonstrates how to find pierwiastki wymierne wielomianu (rational roots of polynomials) by combining factoring and the quadratic formula.

This comprehensive approach showcases the Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych (Theorem on Rational Roots) in action, providing a thorough understanding of how to wyznacz pierwiastki wielomianu in various scenarios.

PIERWIASTICI CAŁKOWITE VITE WIELOMIANU TWIERDZENIE O PIERWIASTIACH CAŁKOWITY CH Jeżeli wielomian w(x) = a₁x^² + a₁-₁x^-^+...+C₁x + ao (ao+0)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 1: Theorem on Integer Roots of Polynomials

This page introduces the fundamental theorem for finding pierwiastki całkowite wielomianu (integer roots of polynomials).

The theorem states that if a polynomial w(x) = anx^n + an-1x^n-1 + ... + a1x + a0 (a0 ≠ 0) with integer coefficients has integer roots, they will be divisors of the constant term a0.

Definition: Integer roots of a polynomial are whole number solutions that make the polynomial equal to zero when substituted for x.

An example is provided to demonstrate the application of this theorem:

  1. Find the integer roots of w(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 3

The process involves two main steps:

  1. List the divisors of the constant term (-3 in this case): ±1, ±3
  2. Test each divisor by evaluating the polynomial

Example: Evaluating w(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 4(1) - 3 = 2 - 3 + 4 - 3 = 0, confirming that 1 is a root.

This systematic approach efficiently narrows down potential integer roots, making it easier to wyznacz całkowite pierwiastki wielomianu.

Podobne notatki

Matematyka - Wielomiany Rozszerzenie pierwiastki wielomianu

Wielomiany Rozszerzenie pierwiastki wielomianu

12

555

0

Know Wielomiany Rozszerzenie pierwiastki wielomianu thumbnail

Matematyka - Twierdzenie Bèzouta

twierdzenie Bézouta, twierdzenie twierdzenie reszcie , przykłady zadań źródło-matematyka 2 Nowa Era

11

402

0

Know Twierdzenie Bèzouta thumbnail

Matematyka - wielomiany

wielomiany

188

6220

2

Know wielomiany thumbnail

Matematyka - Równania i nierówności z parametrem. Poziom rozszerzony.

Poziom rozszerzony.

13

602

0

Know Równania i nierówności z parametrem. Poziom rozszerzony. thumbnail

Matematyka - WIELOMIANY

ZADANIA MATURALNE

38

4168

1

Know WIELOMIANY thumbnail

Matematyka - mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

zasady mnożenia i dzielenia wyrażeń wymiernych wraz z zasadami

31

1999

0

Know mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych thumbnail

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

20 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.