Co to jest wzór skróconego mnożenia? Nauka obliczania różnicy kwadratów i wzorów z pierwiastkami

117

mania

5.10.2025

Matematyka

Wzory skróconego mnożenia

Matematyka

Wyrażenia i Formy Kwadratowe

Różnica kwadratów

3441

•

5 paź 2025

•

1 strona

Co to jest wzór skróconego mnożenia? Nauka obliczania różnicy kwadratów i wzorów z pierwiastkami

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

mania

@grzybolud

Wzory skróconego mnożenia to kluczowe narzędzie w algebrze, ułatwiające obliczenia... Pokaż więcej

# WZORY SKRÓCONEGO MNOZENIA

wzór na voznicę kwadratów 2 liczb

$(a+b) (a-b)= a²-b²$

przykład $(x-3)(x+3)=x²-32 = x²-9$

$(6+5x) (5x-6) = (

Wzory skróconego mnożenia

Definition: Wzory skróconego mnożenia to formuły algebraiczne, które pozwalają na szybkie obliczanie iloczynów i kwadratów wyrażeń algebraicznych bez konieczności wykonywania pełnego mnożenia.

Pierwszym omówionym wzorem jest różnica kwadratów. Wzór ten przedstawia się następująco: $a + b$ $a - b$ = a² - b².

Example: Zastosowanie tego wzoru można zobaczyć w przykładzie: $x - 3$ $x + 3$ = x² - 3² = x² - 9.

Kolejnym ważnym wzorem jest kwadrat sumy, który wyraża się jako: $a + b$ ² = a² + 2ab + b².

Example: Przykładem zastosowania tego wzoru jest: $x + 2$ ² = x² + 2·x·2 + 2² = x² + 4x + 4.

Highlight: Warto zwrócić uwagę, że wzór ten można zastosować również do wyrażeń zawierających pierwiastki, np. $√7 + 1$ ² = $√7$ ² + 2·√7·1 + 1² = 7 + 2√7 + 1 = 8 + 2√7.

Ostatnim omówionym wzorem jest kwadrat różnicy: $a - b$ ² = a² - 2ab + b².

Example: Przykład zastosowania tego wzoru to: $2x - y$ ² = $2x$ ² - 2·2x·y + y² = 4x² - 4xy + y².

Vocabulary: Pierwiastek - w matematyce, liczba, która pomnożona przez siebie daje daną liczbę. Na przykład, pierwiastek kwadratowy z 9 to 3, ponieważ 3 * 3 = 9.

Stosowanie tych wzorów skróconego mnożenia znacznie przyspiesza obliczenia algebraiczne i pozwala na efektywne upraszczanie złożonych wyrażeń matematycznych. Są one szczególnie przydatne przy rozwiązywaniu równań kwadratowych i w wielu innych dziedzinach matematyki wyższej.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Planimetria

1257

Koło i okrąg

3435

Okrąg opisany na trójkącie

5304

194

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Matematyka

Wyrażenia i Formy Kwadratowe

Różnica kwadratów

Matematyka

•

3441

•

5 paź 2025

•

1 strona

Co to jest wzór skróconego mnożenia? Nauka obliczania różnicy kwadratów i wzorów z pierwiastkami

mania

@grzybolud

Wzory skróconego mnożenia to kluczowe narzędzie w algebrze, ułatwiające obliczenia i upraszczanie wyrażeń algebraicznych. Pomagają one w szybkim rozwiązywaniu zadań matematycznych.

Przykład wzoru skróconego mnożenia to (a + b)(a - b) = a² - b², który pozwala na łatwe obliczanie... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia to potężne narzędzie algebraiczne, które znacznie upraszcza obliczenia matematyczne. Na tej stronie przedstawiono trzy kluczowe wzory wraz z przykładami ich zastosowania.

Definition: Wzory skróconego mnożenia to formuły algebraiczne, które pozwalają na szybkie obliczanie iloczynów i kwadratów wyrażeń algebraicznych bez konieczności wykonywania pełnego mnożenia.

Pierwszym omówionym wzorem jest różnica kwadratów. Wzór ten przedstawia się następująco: $a + b$ $a - b$ = a² - b².

Example: Zastosowanie tego wzoru można zobaczyć w przykładzie: $x - 3$ $x + 3$ = x² - 3² = x² - 9.

Kolejnym ważnym wzorem jest kwadrat sumy, który wyraża się jako: $a + b$ ² = a² + 2ab + b².

Example: Przykładem zastosowania tego wzoru jest: $x + 2$ ² = x² + 2·x·2 + 2² = x² + 4x + 4.

Highlight: Warto zwrócić uwagę, że wzór ten można zastosować również do wyrażeń zawierających pierwiastki, np. $√7 + 1$ ² = $√7$ ² + 2·√7·1 + 1² = 7 + 2√7 + 1 = 8 + 2√7.

Ostatnim omówionym wzorem jest kwadrat różnicy: $a - b$ ² = a² - 2ab + b².

Example: Przykład zastosowania tego wzoru to: $2x - y$ ² = $2x$ ² - 2·2x·y + y² = 4x² - 4xy + y².

Vocabulary: Pierwiastek - w matematyce, liczba, która pomnożona przez siebie daje daną liczbę. Na przykład, pierwiastek kwadratowy z 9 to 3, ponieważ 3 * 3 = 9.

Stosowanie tych wzorów skróconego mnożenia znacznie przyspiesza obliczenia algebraiczne i pozwala na efektywne upraszczanie złożonych wyrażeń matematycznych. Są one szczególnie przydatne przy rozwiązywaniu równań kwadratowych i w wielu innych dziedzinach matematyki wyższej.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

117

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Planimetria: Obliczanie Pol
Zgłębiaj kluczowe pojęcia planimetrii, w tym obliczanie pól wielokątów, promieni okręgów opisanych i wpisanych oraz miar kątów. Dowiedz się, jak stosować wzory do obliczeń w trójkątach równobocznych i innych figurach. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
Matematyka
1
Wzory na Koło i Okrąg
Zrozumienie podstawowych wzorów dotyczących koła i okręgu, w tym obliczania pola, długości okręgu oraz wycinka koła. Materiał zawiera kluczowe informacje o promieniu, średnicy oraz jednostkach miary. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
Matematyka
4
Okrąg opisany w trójkącie
Zrozumienie okręgu opisanego i wpisanego w trójkąty: ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne. Przykłady obliczeń dla trójkąta równobocznego, w tym wzory na promień, pole i obwód. Idealne dla uczniów uczących się geometrii.
Matematyka
1
Geometria Trójkątów i Okręgów
Zrozumienie geometrii trójkątów, w tym obliczania pól, promieni okręgów opisanych i wpisanych. Materiał obejmuje trójkąty równoboczne, prostokątne oraz metody obliczania wysokości i obwodów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z planimetrii.
Matematyka
2
Równania Okręgów i Twierdzenia
Zrozumienie równań okręgów, wzajemnego położenia okręgów i prostych, oraz zastosowanie twierdzenia Pitagorasa. Obejmuje wzory na odległość między punktami, środek odcinka oraz odległość punktu od prostej. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii analitycznej.
Matematyka
1
Geometria Trójkątów
Zbiór kluczowych wzorów dotyczących trójkątów, w tym obliczanie pól, promieni okręgów wpisanych i opisanych oraz wysokości. Obejmuje trójkąty różnoboczne, prostokątne, równoramienne i równoboczne. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.
Matematyka
1

Podobne notatki

Planimetria
1257
35

Koło i okrąg
3435
28

Okrąg opisany na trójkącie
5304
194

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS