Ciąg arytmetyczny i suma ciągu arytmetycznego

Alternatywny zapis:

Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego (a), jeśli: b) ag-a3 = 10 i 2a5 + 3a7 = 37 d) aga6 = 21 i aga = 2146. analopiczne do a) ib) a) a7 + a13 = 14 i 10 + a22 = 10 c) a3 + a5 = 24 i a3 a5 = 135 analogiczne do a) ib) affar + + Q93 010 + aw = 14 = 10 [Q₁+ 6r + Q₁ + 12v = 14 a₁ + gr + a₁ + 24 = 10 √2a₁ + 18v = 14 /: 2 20₁ +30v = 10/2 +9✓ = 7 a₁ + 15v = 5 a₁ = 7-9r 7-9r+15r=5 7+6v=5 6r=-2 a₁ = 7-9 (1) a = 7+3 Q₁ = 7+3=10 2.44 b) [a₁ + 7v - (a₁ +2v) = 10 (2(a + 4r) + 3 (a₁ + 6v) = 37 | α/²₁ +7=-6²₂₁-2v = 10 12a₁ +8r+ 3a₁ + 18v = 37 √5 + = 10 Sa₁ +2637 fr=2 2 ciag olla k= 3 (3.3²-2-3 +3 3² - 3+1, -2·3² + 3 + 5) > (3-9-6 +3, 9-2₁ - 18+8) (24,7,10) 2.44. Wyznacz liczbę k, dla której ciąg (3k² - 2k + 3, k²-k + 1, -2k² + k + 5) jest ciągiem arytmetycznym. Dla wyznaczonej liczby k podaj ten ciąg. 50₁ = -15/+15 a₁ = -3 2.45. Wyznacz liczby x, y tak, aby czterowyrazowy ciąg (12, x, y, 27) był ciągiem arytmetycznym. (3k²-2k +3 a I sp. z definicji k²-k+1-(3k² - 2k + 3) = − 2k² + k +5 − (k²-k+1) k²-k+1-3k² + 2k - 3 = - 2k² + k +5 −k² + k-1 - 2k² +k-2 = -3k² +2k +4 скг -к-6=0, równanie kwadratowe 1-4 (-6) = 1+24=25₁ 50=5 k₁ = 1²=5 = ²²/²/2 = 2₁ k ₂ = 1 +5 = € = 3 1 ciąg dla k = -2 (3-(2)- 2(-2) +3₁ (2)² − (−2)+1, −2(-2)²+ (-2) + 5) (12+4+3, 4+2 +1₁ -2-4-2+5) (1917,-5) 50,= 37-52 -) k²-k+1, -2k² +k+5) b r=2 → b-a = c = 6 II sp. 2 własności k²-k+1= √8=5 ay = Q₁ +3r 27 = 12 +3r 15=3r r = 5 3k²-2k + 3 +(2k² +k+5)/-2 2 2k²-2k +2=3k²-2k+3-2k²+k+5 2k²-2k +2 = k²-k +8 k²-k-6=0 A = 25 k₁=-2 ( лив в 2.45 a 6 d (12, x, y, 27) a₁ Qu I SP. 12+5=17 => x 17+5 = 22 y k₂=3 = Q+C 2 sp. sb-a=c-b 1c-b=d-c √x - 12 = y - x Ly-x = 2 &- y fy=2x-12 (2x-12-x = 27-2x+12 X-12-2x +39 3x = 51 x = 17 1 Y = 2·17-12=22 2 suma Clagu arytmetyerneg sumaлади SUMA CIAGU ARYTMETYCZNEGO - suma pierwszych u (а,, аг, аз a₂ + a S₁ = a₁ + + 2.50 a) a₁ Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego c)05 аг 3 2.50. Suma n początkowych wyrazów nieskończonego ciągu (a) wyraża się wzo- (n+1)(n+2) rem S₁ = gdzie n e N₁. Oblicz: 2 a) a₁ c) as b) S Następnie wyznacz ogólny wyraz ciągu (a). D 2.51. Suma n początkowych wyrazów ciągu (a) wyraża się wzorem S,= n(n²-1), gdzie n e N₁. Wykaż, że: a) a = 3n(n-1), gdzie n € N₁. b) ciąg (a) nie jest ciągiem arytmetycznym. 55-54 d) analogicznie + = 5₁ n = 1 1 (1+1)(1+2) = 2+3 = = =3 2 аз = an) => S5 = a₁ + a₂ + = tau Su = n(u²-1) + S₁ = a + a + a + a (5+1)(5+2) 2 2.51 a) au = Bu(и-1) au = Su - Su-₁ = n(u² - 1) – = n3 b) 56 Sc at d) a9+010 +011+012- = 7uENt = 3-2 (2-1) = 6·1=6 3-3 (3-1) = 9.2 = 18 +05 (4+1)(4+2) 2 Sn = a₁ + an 2 1 (6+1)(6+2) 2 n=6 => 7.8= = wyrazów ciągu arytmetycznego. n EN t ~~(~³ - 2n² - n² +2n) = ²³-n-²³³ +3u² − 2₁ = 3₁² - 3₁ = 3u (n-1) в) au = 3 и (и-1) Q₂ 3.1 (1-1)=0 n 5₁ 0,6,18 с a b 6-a = c-b = 56=28 =) jeśli Su odejniey od 55 to otyzmay 25 u=4 u=5 12 - 30 = 21-15= 6 an wzór (n-1) ((~^~ 1)² - 1) = n³- n− (n-1) (u²-2u+1-1) = n²³-n-(n-1) (n²-2n) = CND 6-0 =18-6 6712 ciąg nie jest cięgiem arytmetyczym =>Q₂-Q₁+Q₂-Q₂ 3 2.58. Oblicz: a) -7-4-1 + 2 + 5 +...+ 227 b) 8²-10² + 12² - 14² + 16² - 182+...+2012² - 2014². a) Sn=?, an = 227 au= a₁ + (²1) v 227 = 7+ (n-1). 3 227 = 7+3n-3 237=3u 1:3 n = 79 ) +2 2.59 +2 AN a) 2, 4, a₁ = 2 2.59. Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych a) parzystych, nie większych od 250 b) dwucyfrowych, podzielnych przez 4. au= a₁ = (n-1) r 250= 2 + (n-1)-2 250 = 3x+2 ~ -2 n = 125 +2 ) au = 250, 2.60 +3 +3 2₁ a) ₁₁ 4₁ 8 ло 250 2₁ 2.60. Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych: a) mniejszych od 200, których reszta z dzielenia przez 3 jest równa 1 b) większych od 100 i jednocześnie mniejszych od 500, których reszta z dzielenia przez 5 jest równa 1 lub 4. ) 1 v = 3 an 199= 1 + (n-1).3 199-1= зи-з 198+3=зи 201 =зи u=67 67 0₁ = 101 496 = 101 +5w=5 400 =5w n=80 =-7, n=? ₁ r=3 Su = a₁ + Qu S₁₁ ==7+227 Sw=11079 = 8690) = -32-52-68... -8052/ Qu v = 2√ Su 1 -15750 an 199 2 + 250 2 Qu=199 . 1 + 199 1 an = 496 / . v=5 W •125= 79 Sn= = 100.67 = 6700 Su = wzór wzór wzóv 6) 8²-10² + 12² - 14² + 16² - 18 ² + ... + 2012 ² - 2015- = (8-10)(8+10)+ (12-14)(12+14)+ (16-18) (16+18)+.. (2012-2014) p = = -2.18-2-26-2.34... -2.4026= (2012-2014) an wzór a₁²-36(n-1) (-16) = -36-16u + 16 = ~16~-20 - 16m-20= -8052, S5o₂= b₁+6502 n = 502 = 8088 S Q²-6² = Qu= a₁ + (n − 1) - v 1+ 398 z = 134850 •67 = 200.67= 988- = (a - b)(a+b) 6) 12, 16,20,24 .96 Q,=12, au=96 | v=4 96 = 12 +41-4. n=22 150 40 101+49680 = 23880 21 -502= (-36-8052) 251 = 251-2030088 сл 0₁² 1Q4=898 u=300r = 3 12+36 2 = 1188 22= 4