Przedmioty

Matematyka

Równania i nierówności

Nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania kwadratowe i nierówności - zadania i rozwiązania dla dzieci

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Zobacz

Równania kwadratowe i nierówności - zadania i rozwiązania dla dzieci

Natalia Wajda

@nataliawajda_bunz

5 Obserwujących

Obserwuj

Równania kwadratowe i nierówności to kluczowe zagadnienia w algebrze. Metody rozwiązywania tych problemów są niezbędne dla uczniów, aby zrozumieć bardziej zaawansowane koncepcje matematyczne.

Rozwiązywanie równań kwadratowych krok po kroku obejmuje obliczanie wyróżnika i stosowanie wzoru na pierwiastki.
Metody rozwiązywania nierówności kwadratowych wymagają analizy wykresu funkcji kwadratowej.
Przekształcanie równań dwukwadratowych na kwadratowe pozwala na rozwiązanie bardziej złożonych równań.
Wzory Viète'a są przydatne do analizy właściwości pierwiastków równania kwadratowego.
Położenie wykresu funkcji kwadratowej względem osi OX dostarcza informacji o liczbie i naturze rozwiązań.

3.11.2022

3668

townania kwadra
lowe
Raonanie kwadratowe mo posteć: 0x³²+bx+c = 0₂
gazie exo.
Równanie kwadratowe mogą mieć jedno die
16
lub zero rozwiązań.

Zobacz

Page 1: Solving Quadratic Equations

This page introduces the basics of quadratic equations and provides step-by-step solutions to example problems.

Definition: A quadratic equation has the general form ax² + bx + c = 0, where a, b, and c are constants and a ≠ 0.

Quadratic equations can have one, two, or no real solutions. To solve them, we calculate the discriminant (Δ) using the formula Δ = b² - 4ac.

Example: Solve 3x² - 7x + 2 = 0

Calculate Δ = (-7)² - 4(3)(2) = 49 - 24 = 25

Use the quadratic formula: x = [-b ± √Δ] / (2a)

x₁ = [-(-7) + √25] / (2(3)) = (7 + 5) / 6 = 2

x₂ = [-(-7) - √25] / (2(3)) = (7 - 5) / 6 = 1/3

Highlight: Always check your solutions by substituting them back into the original equation.

The page also includes another example of solving a quadratic equation with fractional coefficients, demonstrating the versatility of the quadratic formula.

Zobacz

Page 3: Quadratic Inequalities

This page introduces the concept of quadratic inequalities and outlines a method for solving them.

Definition: A quadratic inequality is an inequality that involves a quadratic expression and one of the symbols <, ≤, >, or ≥.

The solution to a quadratic inequality is typically an interval or union of intervals on the real number line.

Method for solving quadratic inequalities:

Move all terms to one side of the inequality sign
Treat the left side as a quadratic function
Graph the quadratic function
Read the solution from the graph, considering the inequality sign

Highlight: The graph of a quadratic function is a parabola, which is crucial for visualizing and solving quadratic inequalities.

Understanding the relationship between the graph and the inequality sign is key to correctly interpreting the solution.

Zobacz

Page 2: Equations Reducible to Quadratic Form

This page explores equations that can be transformed into quadratic equations, focusing on biquadratic equations.

Definition: A biquadratic equation has the form ax⁴ + bx² + c = 0, where a, b, and c are constants and a ≠ 0.

To solve biquadratic equations:

Substitute t = x²
Solve the resulting quadratic equation in t
Solve x = ±√t for each solution of t

Example: Solve x⁴ - 3x² + 2 = 0

Let t = x²

Solve t² - 3t + 2 = 0

Find t₁ = 2 and t₂ = 1

Solve x² = 2 and x² = 1

Final solutions: x = ±√2 and x = ±1

This method demonstrates how complex equations can be simplified and solved using quadratic equation techniques.

Zobacz

Page 4: Graphing Quadratic Functions

This page focuses on the graphical representation of quadratic functions and their relationship to the x-axis.

Vocabulary: The roots of a quadratic equation are the x-intercepts of its corresponding quadratic function graph.

The page presents several cases for the position of a parabola relative to the x-axis:

Parabola intersects the x-axis at two points (two real roots)
Parabola touches the x-axis at one point (one real root, Δ = 0)
Parabola does not intersect the x-axis (no real roots)

Highlight: The discriminant (Δ) determines the nature of the roots and the position of the parabola.

Vieta's formulas are introduced, relating the sum and product of roots to the coefficients of the quadratic equation:

Sum of roots: x₁ + x₂ = -b/a
Product of roots: x₁ · x₂ = c/a

Example: For ax² + bx + c = 0,

If x₁ + x₂ > 0, the parabola intersects the positive x-axis

If x₁ · x₂ < 0, the roots have opposite signs

These relationships help in analyzing the behavior of quadratic functions without solving the equation explicitly.

Podobne notatki

205

7353

1/2

Równania kwadratowe

Notatka na temat rozwiązywania równań kwadratowych

Know Równania sprowadzalne do równań kwadratowych thumbnail

360

1/2

Równania sprowadzalne do równań kwadratowych

metoda rozwiązywania równań sprowadzalnych do równań kwadratowych wraz z przykładami (równania 4-tego stopnia)

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

Matematyka

Równania i nierówności

Nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania kwadratowe i nierówności - zadania i rozwiązania dla dzieci

Natalia Wajda

@nataliawajda_bunz

5 Obserwujących

Obserwuj

Rozwiązywanie równań kwadratowych krok po kroku obejmuje obliczanie wyróżnika i stosowanie wzoru na pierwiastki.
Metody rozwiązywania nierówności kwadratowych wymagają analizy wykresu funkcji kwadratowej.
Przekształcanie równań dwukwadratowych na kwadratowe pozwala na rozwiązanie bardziej złożonych równań.
Wzory Viète'a są przydatne do analizy właściwości pierwiastków równania kwadratowego.
Położenie wykresu funkcji kwadratowej względem osi OX dostarcza informacji o liczbie i naturze rozwiązań.

3.11.2022

3668

1/2

Matematyka

109

Darmowe notatki od najlepszych studentów - odblokuj teraz!

Darmowe notatki do każdego przedmiotu, stworzone przez najlepszych studentów

Uzyskaj lepsze oceny dzięki inteligentnemu wsparciu AI

Ucz się mądrzej, stresuj się mniej - zawsze i wszędzie

Zarejestruj się za poprzez email

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 1: Solving Quadratic Equations

This page introduces the basics of quadratic equations and provides step-by-step solutions to example problems.

Definition: A quadratic equation has the general form ax² + bx + c = 0, where a, b, and c are constants and a ≠ 0.

Quadratic equations can have one, two, or no real solutions. To solve them, we calculate the discriminant (Δ) using the formula Δ = b² - 4ac.

Example: Solve 3x² - 7x + 2 = 0

Calculate Δ = (-7)² - 4(3)(2) = 49 - 24 = 25

Use the quadratic formula: x = [-b ± √Δ] / (2a)

x₁ = [-(-7) + √25] / (2(3)) = (7 + 5) / 6 = 2

x₂ = [-(-7) - √25] / (2(3)) = (7 - 5) / 6 = 1/3

Highlight: Always check your solutions by substituting them back into the original equation.

The page also includes another example of solving a quadratic equation with fractional coefficients, demonstrating the versatility of the quadratic formula.

Darmowe notatki od najlepszych studentów - odblokuj teraz!

Darmowe notatki do każdego przedmiotu, stworzone przez najlepszych studentów

Uzyskaj lepsze oceny dzięki inteligentnemu wsparciu AI

Ucz się mądrzej, stresuj się mniej - zawsze i wszędzie

Zarejestruj się za poprzez email

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 3: Quadratic Inequalities

This page introduces the concept of quadratic inequalities and outlines a method for solving them.

Definition: A quadratic inequality is an inequality that involves a quadratic expression and one of the symbols <, ≤, >, or ≥.

The solution to a quadratic inequality is typically an interval or union of intervals on the real number line.

Method for solving quadratic inequalities:

Move all terms to one side of the inequality sign
Treat the left side as a quadratic function
Graph the quadratic function
Read the solution from the graph, considering the inequality sign

Highlight: The graph of a quadratic function is a parabola, which is crucial for visualizing and solving quadratic inequalities.

Understanding the relationship between the graph and the inequality sign is key to correctly interpreting the solution.

Darmowe notatki od najlepszych studentów - odblokuj teraz!

Darmowe notatki do każdego przedmiotu, stworzone przez najlepszych studentów

Uzyskaj lepsze oceny dzięki inteligentnemu wsparciu AI

Ucz się mądrzej, stresuj się mniej - zawsze i wszędzie

Zarejestruj się za poprzez email

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 2: Equations Reducible to Quadratic Form

This page explores equations that can be transformed into quadratic equations, focusing on biquadratic equations.

Definition: A biquadratic equation has the form ax⁴ + bx² + c = 0, where a, b, and c are constants and a ≠ 0.

To solve biquadratic equations:

Substitute t = x²
Solve the resulting quadratic equation in t
Solve x = ±√t for each solution of t

Example: Solve x⁴ - 3x² + 2 = 0

Let t = x²

Solve t² - 3t + 2 = 0

Find t₁ = 2 and t₂ = 1

Solve x² = 2 and x² = 1

Final solutions: x = ±√2 and x = ±1

This method demonstrates how complex equations can be simplified and solved using quadratic equation techniques.

Darmowe notatki od najlepszych studentów - odblokuj teraz!

Darmowe notatki do każdego przedmiotu, stworzone przez najlepszych studentów

Uzyskaj lepsze oceny dzięki inteligentnemu wsparciu AI

Ucz się mądrzej, stresuj się mniej - zawsze i wszędzie

Zarejestruj się za poprzez email

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 4: Graphing Quadratic Functions

This page focuses on the graphical representation of quadratic functions and their relationship to the x-axis.

Vocabulary: The roots of a quadratic equation are the x-intercepts of its corresponding quadratic function graph.

The page presents several cases for the position of a parabola relative to the x-axis:

Parabola intersects the x-axis at two points (two real roots)
Parabola touches the x-axis at one point (one real root, Δ = 0)
Parabola does not intersect the x-axis (no real roots)

Highlight: The discriminant (Δ) determines the nature of the roots and the position of the parabola.

Vieta's formulas are introduced, relating the sum and product of roots to the coefficients of the quadratic equation:

Sum of roots: x₁ + x₂ = -b/a
Product of roots: x₁ · x₂ = c/a

Example: For ax² + bx + c = 0,

If x₁ + x₂ > 0, the parabola intersects the positive x-axis

If x₁ · x₂ < 0, the roots have opposite signs

These relationships help in analyzing the behavior of quadratic functions without solving the equation explicitly.

Podobne notatki

Matematyka - Równania kwadratowe

Notatka na temat rozwiązywania równań kwadratowych

205

7353

Matematyka - Równania sprowadzalne do równań kwadratowych

metoda rozwiązywania równań sprowadzalnych do równań kwadratowych wraz z przykładami (równania 4-tego stopnia)

360

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS