Równania kwadratowe i nierówności - zadania i rozwiązania dla dzieci

Otwórz

133

Natalia Wajda

3.11.2022

Matematyka

Równania i nierówności kwadratowe

Przedmioty

Matematyka

Równania i nierówności

Nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Rozwiązanie nierówności kwadratowej z jedną niewiadomą

Równania kwadratowe i nierówności - zadania i rozwiązania dla dzieci

Równania kwadratowe i nierówności to kluczowe zagadnienia w algebrze. Metody rozwiązywania tych problemów są niezbędne dla uczniów, aby zrozumieć bardziej zaawansowane koncepcje matematyczne.

Rozwiązywanie równań kwadratowych krok po kroku obejmuje obliczanie wyróżnika i stosowanie wzoru na pierwiastki.
Metody rozwiązywania nierówności kwadratowych wymagają analizy wykresu funkcji kwadratowej.
Przekształcanie równań dwukwadratowych na kwadratowe pozwala na rozwiązanie bardziej złożonych równań.
Wzory Viète'a są przydatne do analizy właściwości pierwiastków równania kwadratowego.
Położenie wykresu funkcji kwadratowej względem osi OX dostarcza informacji o liczbie i naturze rozwiązań.

3.11.2022

townania kwadra
lowe
Raonanie kwadratowe mo posteć: 0x³²+bx+c = 0₂
gazie exo.
Równanie kwadratowe mogą mieć jedno die
16
lub zero rozwiązań.

Zobacz

Page 2: Equations Reducible to Quadratic Form

This page explores equations that can be transformed into quadratic equations, focusing on biquadratic equations.

Definition: A biquadratic equation has the form ax⁴ + bx² + c = 0, where a, b, and c are constants and a ≠ 0.

To solve biquadratic equations:

Substitute t = x²
Solve the resulting quadratic equation in t
Solve x = ±√t for each solution of t

Example: Solve x⁴ - 3x² + 2 = 0

Let t = x²

Solve t² - 3t + 2 = 0

Find t₁ = 2 and t₂ = 1

Solve x² = 2 and x² = 1

Final solutions: x = ±√2 and x = ±1

This method demonstrates how complex equations can be simplified and solved using quadratic equation techniques.

Zobacz

Page 3: Quadratic Inequalities

This page introduces the concept of quadratic inequalities and outlines a method for solving them.

Definition: A quadratic inequality is an inequality that involves a quadratic expression and one of the symbols <, ≤, >, or ≥.

The solution to a quadratic inequality is typically an interval or union of intervals on the real number line.

Method for solving quadratic inequalities:

Move all terms to one side of the inequality sign
Treat the left side as a quadratic function
Graph the quadratic function
Read the solution from the graph, considering the inequality sign

Highlight: The graph of a quadratic function is a parabola, which is crucial for visualizing and solving quadratic inequalities.

Understanding the relationship between the graph and the inequality sign is key to correctly interpreting the solution.

Zobacz

Page 4: Graphing Quadratic Functions

This page focuses on the graphical representation of quadratic functions and their relationship to the x-axis.

Vocabulary: The roots of a quadratic equation are the x-intercepts of its corresponding quadratic function graph.

The page presents several cases for the position of a parabola relative to the x-axis:

Parabola intersects the x-axis at two points $two real roots$
Parabola touches the x-axis at one point $one real root, Δ = 0$
Parabola does not intersect the x-axis $no real roots$

Highlight: The discriminant $Δ$ determines the nature of the roots and the position of the parabola.

Vieta's formulas are introduced, relating the sum and product of roots to the coefficients of the quadratic equation:

Sum of roots: x₁ + x₂ = -b/a
Product of roots: x₁ · x₂ = c/a

Example: For ax² + bx + c = 0,

If x₁ + x₂ > 0, the parabola intersects the positive x-axis

If x₁ · x₂ < 0, the roots have opposite signs

These relationships help in analyzing the behavior of quadratic functions without solving the equation explicitly.

Podobne notatki

1654

Równania z wartością bezwzględną. Matematyka 2 , podstawa .

Zadania + wytłumaczenie. Co i jak robić.

Know Równania sprowadzalne do równań kwadratowych thumbnail

464

1/2

Równania sprowadzalne do równań kwadratowych

metoda rozwiązywania równań sprowadzalnych do równań kwadratowych wraz z przykładami (równania 4-tego stopnia)

220

9629

1/2

Równania kwadratowe

Notatka na temat rozwiązywania równań kwadratowych

Know Nierówność kwadratowa - przykład zadania thumbnail

2188

2/5

Nierówność kwadratowa - przykład zadania

Nierówność kwadratowa - przykład rozwiązywania zadania maturalnego

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

21 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

Matematyka

Równania i nierówności

Nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Rozwiązanie nierówności kwadratowej z jedną niewiadomą

Matematyka

•

6032

•

3 lis 2022

•

4 strony

Równania kwadratowe i nierówności - zadania i rozwiązania dla dzieci

Natalia Wajda

@nataliawajda_bunz

Rozwiązywanie równań kwadratowych krok po kroku obejmuje obliczanie wyróżnika i stosowanie wzoru na pierwiastki.
Metody rozwiązywania nierówności... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 2: Equations Reducible to Quadratic Form

This page explores equations that can be transformed into quadratic equations, focusing on biquadratic equations.

Definition: A biquadratic equation has the form ax⁴ + bx² + c = 0, where a, b, and c are constants and a ≠ 0.

To solve biquadratic equations:

Substitute t = x²

Solve the resulting quadratic equation in t

Solve x = ±√t for each solution of t

Example: Solve x⁴ - 3x² + 2 = 0

Let t = x²

Solve t² - 3t + 2 = 0

Find t₁ = 2 and t₂ = 1

Solve x² = 2 and x² = 1

Final solutions: x = ±√2 and x = ±1

This method demonstrates how complex equations can be simplified and solved using quadratic equation techniques.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 3: Quadratic Inequalities

This page introduces the concept of quadratic inequalities and outlines a method for solving them.

Definition: A quadratic inequality is an inequality that involves a quadratic expression and one of the symbols <, ≤, >, or ≥.

The solution to a quadratic inequality is typically an interval or union of intervals on the real number line.

Method for solving quadratic inequalities:

Move all terms to one side of the inequality sign

Treat the left side as a quadratic function

Graph the quadratic function

Read the solution from the graph, considering the inequality sign

Highlight: The graph of a quadratic function is a parabola, which is crucial for visualizing and solving quadratic inequalities.

Understanding the relationship between the graph and the inequality sign is key to correctly interpreting the solution.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 4: Graphing Quadratic Functions

This page focuses on the graphical representation of quadratic functions and their relationship to the x-axis.

Vocabulary: The roots of a quadratic equation are the x-intercepts of its corresponding quadratic function graph.

The page presents several cases for the position of a parabola relative to the x-axis:

Parabola intersects the x-axis at two points $two real roots$

Parabola touches the x-axis at one point $one real root, Δ = 0$

Parabola does not intersect the x-axis $no real roots$

Highlight: The discriminant $Δ$ determines the nature of the roots and the position of the parabola.

Vieta's formulas are introduced, relating the sum and product of roots to the coefficients of the quadratic equation:

Sum of roots: x₁ + x₂ = -b/a

Product of roots: x₁ · x₂ = c/a

Example: For ax² + bx + c = 0,

If x₁ + x₂ > 0, the parabola intersects the positive x-axis

If x₁ · x₂ < 0, the roots have opposite signs

These relationships help in analyzing the behavior of quadratic functions without solving the equation explicitly.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 1: Solving Quadratic Equations

This page introduces the basics of quadratic equations and provides step-by-step solutions to example problems.

Definition: A quadratic equation has the general form ax² + bx + c = 0, where a, b, and c are constants and a ≠ 0.

Quadratic equations can have one, two, or no real solutions. To solve them, we calculate the discriminant $Δ$ using the formula Δ = b² - 4ac.

Example: Solve 3x² - 7x + 2 = 0

Calculate Δ = $-7$ ² - 4 $3$ $2$ = 49 - 24 = 25

Use the quadratic formula: x = $-b ± √Δ$ / $2a$

x₁ = $-(-7) + √25$ / $2(3$ ) = $7 + 5$ / 6 = 2

x₂ = $-(-7) - √25$ / $2(3$ ) = $7 - 5$ / 6 = 1/3

Highlight: Always check your solutions by substituting them back into the original equation.

The page also includes another example of solving a quadratic equation with fractional coefficients, demonstrating the versatility of the quadratic formula.

Podobne notatki

Równania z wartością bezwzględną. Matematyka 2 , podstawa .
1654
16

Równania sprowadzalne do równań kwadratowych
464
11

Równania kwadratowe
9629
220

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS