Przedmioty

SchoolGPT

Kariera

SchoolAI

Knowunity Pro

Otwórz aplikację

Przedmioty

Matematyka

Wyrażenia i Formy Kwadratowe

Równanie kwadratowe

Matematyka

25 lis 2025

6841

4 strony

Równania kwadratowe i nierówności - zadania i rozwiązania dla dzieci

N

Natalia Wajda @nataliawajda_bunz

Równania kwadratowe i nierówności to kluczowe zagadnienia w algebrze. Metody rozwiązywania tych problemów są niezbędne dla uczniów, aby... Pokaż więcej

townania kwadra lowe Raonanie kwadratowe mo posteć: 0x³²+bx+c = 0₂ gazie exo. Równanie kwadratowe mogą mieć jedno die 16 lub zero rozwiązań.

Page 2 Equations Reducible to Quadratic Form

This page explores equations that can be transformed into quadratic equations, focusing on biquadratic equations.

Definition A biquadratic equation has the form ax⁴ + bx² + c = 0, where a, b, and c are constants and a ≠ 0.

To solve biquadratic equations

  1. Substitute t = x²
  2. Solve the resulting quadratic equation in t
  3. Solve x = ±√t for each solution of t

Example Solve x⁴ - 3x² + 2 = 0

  1. Let t = x²
  2. Solve t² - 3t + 2 = 0
  3. Find t₁ = 2 and t₂ = 1
  4. Solve x² = 2 and x² = 1
  5. Final solutions x = ±√2 and x = ±1

This method demonstrates how complex equations can be simplified and solved using quadratic equation techniques.

townania kwadra lowe Raonanie kwadratowe mo posteć: 0x³²+bx+c = 0₂ gazie exo. Równanie kwadratowe mogą mieć jedno die 16 lub zero rozwiązań.

Page 3 Quadratic Inequalities

This page introduces the concept of quadratic inequalities and outlines a method for solving them.

Definition A quadratic inequality is an inequality that involves a quadratic expression and one of the symbols <, ≤, >, or ≥.

The solution to a quadratic inequality is typically an interval or union of intervals on the real number line.

Method for solving quadratic inequalities

  1. Move all terms to one side of the inequality sign
  2. Treat the left side as a quadratic function
  3. Graph the quadratic function
  4. Read the solution from the graph, considering the inequality sign

Highlight The graph of a quadratic function is a parabola, which is crucial for visualizing and solving quadratic inequalities.

Understanding the relationship between the graph and the inequality sign is key to correctly interpreting the solution.

townania kwadra lowe Raonanie kwadratowe mo posteć: 0x³²+bx+c = 0₂ gazie exo. Równanie kwadratowe mogą mieć jedno die 16 lub zero rozwiązań.

Page 4 Graphing Quadratic Functions

This page focuses on the graphical representation of quadratic functions and their relationship to the x-axis.

Vocabulary The roots of a quadratic equation are the x-intercepts of its corresponding quadratic function graph.

The page presents several cases for the position of a parabola relative to the x-axis

  • Parabola intersects the x-axis at two points (two real roots)
  • Parabola touches the x-axis at one point onerealroot,Δ=0one real root, Δ = 0
  • Parabola does not intersect the x-axis (no real roots)

Highlight The discriminant (Δ) determines the nature of the roots and the position of the parabola.

Vieta's formulas are introduced, relating the sum and product of roots to the coefficients of the quadratic equation

  • Sum of roots x₁ + x₂ = -b/a
  • Product of roots x₁ · x₂ = c/a

Example For ax² + bx + c = 0,

  • If x₁ + x₂ > 0, the parabola intersects the positive x-axis
  • If x₁ · x₂ < 0, the roots have opposite signs

These relationships help in analyzing the behavior of quadratic functions without solving the equation explicitly.

townania kwadra lowe Raonanie kwadratowe mo posteć: 0x³²+bx+c = 0₂ gazie exo. Równanie kwadratowe mogą mieć jedno die 16 lub zero rozwiązań.

Page 1 Solving Quadratic Equations

This page introduces the basics of quadratic equations and provides step-by-step solutions to example problems.

Definition A quadratic equation has the general form ax² + bx + c = 0, where a, b, and c are constants and a ≠ 0.

Quadratic equations can have one, two, or no real solutions. To solve them, we calculate the discriminant (Δ) using the formula Δ = b² - 4ac.

Example Solve 3x² - 7x + 2 = 0

  1. Calculate Δ = (-7)² - 4(3)(2) = 49 - 24 = 25
  2. Use the quadratic formula x = −b±√Δ-b ± √Δ / (2a)
  3. x₁ = −(−7)+√25-(-7) + √25 / (2(3)) = (7 + 5) / 6 = 2
  4. x₂ = −(−7)−√25-(-7) - √25 / (2(3)) = (7 - 5) / 6 = 1/3

Highlight Always check your solutions by substituting them back into the original equation.

The page also includes another example of solving a quadratic equation with fractional coefficients, demonstrating the versatility of the quadratic formula.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Co to jest równanie kwadratowe i jak je rozpoznać?

Równanie kwadratowe to równanie w postaci ax² + bx + c = 0, gdzie a jest różne od zera. Równanie kwadratowe wzory są łatwe do zapamiętania, a najważniejszym z nich jest wzór na deltę: Δ = b² - 4ac. W zależności od wartości delty, równanie może mieć dwa, jedno lub zero rozwiązań, co jest kluczowe przy rozwiązywaniu zadań.

Jak rozwiązuje się nierówności kwadratowe?

Przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowych najpierw przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę, a następnie traktujemy lewą stronę jako funkcję kwadratową. Po wyznaczeniu miejsc zerowych (jeśli istnieją) i naszkicowaniu wykresu, możemy odczytać rozwiązanie. Nierówności kwadratowe zadania często wymagają określenia przedziałów liczbowych, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie lub ujemne.

Jaka jest różnica między równaniem kwadratowym a równaniem dwukwadratowym?

Równanie kwadratowe ma postać ax² + bx + c = 0, natomiast równanie dwukwadratowe ma postać ax⁴ + bx² + c = 0. Aby rozwiązać równanie dwukwadratowe, stosujemy podstawienie t = x², dzięki czemu przekształcamy je do postaci równania kwadratowego at² + bt + c = 0. Po rozwiązaniu tego równania i znalezieniu wartości t, wracamy do zmiennej x, pamiętając że t = x².

Kiedy wykorzystujemy wzory Viète'a przy rozwiązywaniu równań kwadratowych?

Wzory Viète'a wykorzystujemy, gdy chcemy szybko określić sumę i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego bez faktycznego ich obliczania. Zgodnie z tymi wzorami, dla równania ax² + bx + c = 0, suma pierwiastków wynosi -b/a, a iloczyn c/a. Rozwiązywanie równań kwadratowych deltą to podstawowa metoda, ale wzory Viète'a są niezwykle przydatne przy analizowaniu własności pierwiastków, np. gdy chcemy sprawdzić, czy oba są dodatnie, ujemne lub różnych znaków.

Dodatkowe Źródła

  1. Matematyka z plusem. Podręcznik dla klasy 1 gimnazjum przez M. Dobrowolska, GWO 2022, Podręcznik, Kompleksowe omówienie równań i nierówności kwadratowych z wieloma przykładami i zadaniami

  2. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zbiór zadań dla klasy 1 liceum i technikum przez W. Babiński, WSiP 2021, Zbiór zadań, Zawiera różnorodne zadania dotyczące równań kwadratowych i sprowadzalnych do kwadratowych

  3. Matematyka w zadaniach. Równania i nierówności przez A. Cewe, H. Nahorska, Podkowa 2020, Zbiór zadań, Specjalistyczna pozycja skupiająca się na równaniach i nierównościach różnych typów

  4. Vademecum maturalne. Matematyka przez M. Antek, J. Mrzigod, K. Mrzigod, Oficyna Edukacyjna 2023, Repetytorium, Kompleksowe opracowanie zagadnień związanych z równaniami i nierównościami kwadratowymi

Sprawdź swoją wiedzę

  1. Zaprogramuj kalkulator równań kwadratowych w arkuszu Excel lub prostym języku programowania (np. Python) - pomoże Ci lepiej zrozumieć algorytm rozwiązywania równań i związki między współczynnikami a pierwiastkami.

  2. Utwórz własną "mapę myśli" przedstawiającą powiązania między różnymi typami równań kwadratowych, wzorami Viète'a, położeniem paraboli względem osi OX i metodami rozwiązywania nierówności kwadratowych.

139

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny
Quiz
Fiszki
Esej

Podobne notatki

Rozwiązywanie Równań Kwadratowych

Przewodnik po metodach rozwiązywania równań sprowadzalnych do równań kwadratowych, z przykładami dla równań 4-tego stopnia. Dowiedz się, jak stosować podstawienia i obliczenia, aby znaleźć rozwiązania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

MatematykaMatematyka
1

Rozwiązywanie Równań Kwadratowych

Przewodnik po metodach rozwiązywania równań kwadratowych, w tym formy $ax^2 + bx + c = 0$, wzory skróconego mnożenia oraz obliczanie delty. Dowiedz się, jak znaleźć pierwiastki równań kwadratowych oraz interpretować wyniki. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

MatematykaMatematyka
1

Nierównosci kwadratowe

Równości kwadratowe i rozwiązywanie Przykładowych zadań

MatematykaMatematyka
2

Zbiory i Nierówności

Praktyczne zadania dotyczące zbiorów, wartości bezwzględnej oraz rozwiązywania nierówności. Obejmuje zagadnienia takie jak: operacje na zbiorach, wyznaczanie przedziałów, oraz zastosowanie wartości bezwzględnej w kontekście nierówności. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

MatematykaMatematyka
4

Rozwiązywanie Nierówności Kwadratowych

Praktyczny przewodnik po rozwiązywaniu nierówności kwadratowych, w tym obliczanie delty oraz rysowanie wykresów funkcji kwadratowych. Zawiera przykłady i szczegółowe obliczenia, które pomogą w zrozumieniu kluczowych koncepcji związanych z funkcjami i wielomianami.

MatematykaMatematyka
3

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Matematyka

Wyrażenia i Formy Kwadratowe

Równanie kwadratowe

 

Matematyka

•

6841

•

25 lis 2025

•

4 strony

Równania kwadratowe i nierówności - zadania i rozwiązania dla dzieci

N

Natalia Wajda

@nataliawajda_bunz

Równania kwadratowe i nierówności to kluczowe zagadnienia w algebrze. Metody rozwiązywania tych problemów są niezbędne dla uczniów, aby zrozumieć bardziej zaawansowane koncepcje matematyczne.

  • Rozwiązywanie równań kwadratowych krok po kroku obejmuje obliczanie wyróżnika i stosowanie wzoru na pierwiastki.
  • Metody rozwiązywania nierówności... Pokaż więcej

townania kwadra lowe Raonanie kwadratowe mo posteć: 0x³²+bx+c = 0₂ gazie exo. Równanie kwadratowe mogą mieć jedno die 16 lub zero rozwiązań.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 2: Equations Reducible to Quadratic Form

This page explores equations that can be transformed into quadratic equations, focusing on biquadratic equations.

Definition: A biquadratic equation has the form ax⁴ + bx² + c = 0, where a, b, and c are constants and a ≠ 0.

To solve biquadratic equations:

  1. Substitute t = x²
  2. Solve the resulting quadratic equation in t
  3. Solve x = ±√t for each solution of t

Example: Solve x⁴ - 3x² + 2 = 0

  1. Let t = x²
  2. Solve t² - 3t + 2 = 0
  3. Find t₁ = 2 and t₂ = 1
  4. Solve x² = 2 and x² = 1
  5. Final solutions: x = ±√2 and x = ±1

This method demonstrates how complex equations can be simplified and solved using quadratic equation techniques.

townania kwadra lowe Raonanie kwadratowe mo posteć: 0x³²+bx+c = 0₂ gazie exo. Równanie kwadratowe mogą mieć jedno die 16 lub zero rozwiązań.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 3: Quadratic Inequalities

This page introduces the concept of quadratic inequalities and outlines a method for solving them.

Definition: A quadratic inequality is an inequality that involves a quadratic expression and one of the symbols <, ≤, >, or ≥.

The solution to a quadratic inequality is typically an interval or union of intervals on the real number line.

Method for solving quadratic inequalities:

  1. Move all terms to one side of the inequality sign
  2. Treat the left side as a quadratic function
  3. Graph the quadratic function
  4. Read the solution from the graph, considering the inequality sign

Highlight: The graph of a quadratic function is a parabola, which is crucial for visualizing and solving quadratic inequalities.

Understanding the relationship between the graph and the inequality sign is key to correctly interpreting the solution.

townania kwadra lowe Raonanie kwadratowe mo posteć: 0x³²+bx+c = 0₂ gazie exo. Równanie kwadratowe mogą mieć jedno die 16 lub zero rozwiązań.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 4: Graphing Quadratic Functions

This page focuses on the graphical representation of quadratic functions and their relationship to the x-axis.

Vocabulary: The roots of a quadratic equation are the x-intercepts of its corresponding quadratic function graph.

The page presents several cases for the position of a parabola relative to the x-axis:

  • Parabola intersects the x-axis at two points (two real roots)
  • Parabola touches the x-axis at one point onerealroot,Δ=0one real root, Δ = 0
  • Parabola does not intersect the x-axis (no real roots)

Highlight: The discriminant (Δ) determines the nature of the roots and the position of the parabola.

Vieta's formulas are introduced, relating the sum and product of roots to the coefficients of the quadratic equation:

  • Sum of roots: x₁ + x₂ = -b/a
  • Product of roots: x₁ · x₂ = c/a

Example: For ax² + bx + c = 0,

  • If x₁ + x₂ > 0, the parabola intersects the positive x-axis
  • If x₁ · x₂ < 0, the roots have opposite signs

These relationships help in analyzing the behavior of quadratic functions without solving the equation explicitly.

townania kwadra lowe Raonanie kwadratowe mo posteć: 0x³²+bx+c = 0₂ gazie exo. Równanie kwadratowe mogą mieć jedno die 16 lub zero rozwiązań.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 1: Solving Quadratic Equations

This page introduces the basics of quadratic equations and provides step-by-step solutions to example problems.

Definition: A quadratic equation has the general form ax² + bx + c = 0, where a, b, and c are constants and a ≠ 0.

Quadratic equations can have one, two, or no real solutions. To solve them, we calculate the discriminant (Δ) using the formula Δ = b² - 4ac.

Example: Solve 3x² - 7x + 2 = 0

  1. Calculate Δ = (-7)² - 4(3)(2) = 49 - 24 = 25
  2. Use the quadratic formula: x = −b±√Δ-b ± √Δ / (2a)
  3. x₁ = −(−7)+√25-(-7) + √25 / (2(3)) = (7 + 5) / 6 = 2
  4. x₂ = −(−7)−√25-(-7) - √25 / (2(3)) = (7 - 5) / 6 = 1/3

Highlight: Always check your solutions by substituting them back into the original equation.

The page also includes another example of solving a quadratic equation with fractional coefficients, demonstrating the versatility of the quadratic formula.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Co to jest równanie kwadratowe i jak je rozpoznać?

Równanie kwadratowe to równanie w postaci ax² + bx + c = 0, gdzie a jest różne od zera. Równanie kwadratowe wzory są łatwe do zapamiętania, a najważniejszym z nich jest wzór na deltę: Δ = b² - 4ac. W zależności od wartości delty, równanie może mieć dwa, jedno lub zero rozwiązań, co jest kluczowe przy rozwiązywaniu zadań.

Jak rozwiązuje się nierówności kwadratowe?

Przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowych najpierw przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę, a następnie traktujemy lewą stronę jako funkcję kwadratową. Po wyznaczeniu miejsc zerowych (jeśli istnieją) i naszkicowaniu wykresu, możemy odczytać rozwiązanie. Nierówności kwadratowe zadania często wymagają określenia przedziałów liczbowych, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie lub ujemne.

Jaka jest różnica między równaniem kwadratowym a równaniem dwukwadratowym?

Równanie kwadratowe ma postać ax² + bx + c = 0, natomiast równanie dwukwadratowe ma postać ax⁴ + bx² + c = 0. Aby rozwiązać równanie dwukwadratowe, stosujemy podstawienie t = x², dzięki czemu przekształcamy je do postaci równania kwadratowego at² + bt + c = 0. Po rozwiązaniu tego równania i znalezieniu wartości t, wracamy do zmiennej x, pamiętając że t = x².

Kiedy wykorzystujemy wzory Viète'a przy rozwiązywaniu równań kwadratowych?

Wzory Viète'a wykorzystujemy, gdy chcemy szybko określić sumę i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego bez faktycznego ich obliczania. Zgodnie z tymi wzorami, dla równania ax² + bx + c = 0, suma pierwiastków wynosi -b/a, a iloczyn c/a. Rozwiązywanie równań kwadratowych deltą to podstawowa metoda, ale wzory Viète'a są niezwykle przydatne przy analizowaniu własności pierwiastków, np. gdy chcemy sprawdzić, czy oba są dodatnie, ujemne lub różnych znaków.

Dodatkowe Źródła

  1. Matematyka z plusem. Podręcznik dla klasy 1 gimnazjum przez M. Dobrowolska, GWO 2022, Podręcznik, Kompleksowe omówienie równań i nierówności kwadratowych z wieloma przykładami i zadaniami

  2. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zbiór zadań dla klasy 1 liceum i technikum przez W. Babiński, WSiP 2021, Zbiór zadań, Zawiera różnorodne zadania dotyczące równań kwadratowych i sprowadzalnych do kwadratowych

  3. Matematyka w zadaniach. Równania i nierówności przez A. Cewe, H. Nahorska, Podkowa 2020, Zbiór zadań, Specjalistyczna pozycja skupiająca się na równaniach i nierównościach różnych typów

  4. Vademecum maturalne. Matematyka przez M. Antek, J. Mrzigod, K. Mrzigod, Oficyna Edukacyjna 2023, Repetytorium, Kompleksowe opracowanie zagadnień związanych z równaniami i nierównościami kwadratowymi

Sprawdź swoją wiedzę

  1. Zaprogramuj kalkulator równań kwadratowych w arkuszu Excel lub prostym języku programowania (np. Python) - pomoże Ci lepiej zrozumieć algorytm rozwiązywania równań i związki między współczynnikami a pierwiastkami.

  2. Utwórz własną "mapę myśli" przedstawiającą powiązania między różnymi typami równań kwadratowych, wzorami Viète'a, położeniem paraboli względem osi OX i metodami rozwiązywania nierówności kwadratowych.

139

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny
Quiz
Fiszki
Esej

Podobne notatki

Rozwiązywanie Równań Kwadratowych

Przewodnik po metodach rozwiązywania równań sprowadzalnych do równań kwadratowych, z przykładami dla równań 4-tego stopnia. Dowiedz się, jak stosować podstawienia i obliczenia, aby znaleźć rozwiązania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

MatematykaMatematyka
1

Rozwiązywanie Równań Kwadratowych

Przewodnik po metodach rozwiązywania równań kwadratowych, w tym formy $ax^2 + bx + c = 0$, wzory skróconego mnożenia oraz obliczanie delty. Dowiedz się, jak znaleźć pierwiastki równań kwadratowych oraz interpretować wyniki. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

MatematykaMatematyka
1

Nierównosci kwadratowe

Równości kwadratowe i rozwiązywanie Przykładowych zadań

MatematykaMatematyka
2

Zbiory i Nierówności

Praktyczne zadania dotyczące zbiorów, wartości bezwzględnej oraz rozwiązywania nierówności. Obejmuje zagadnienia takie jak: operacje na zbiorach, wyznaczanie przedziałów, oraz zastosowanie wartości bezwzględnej w kontekście nierówności. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

MatematykaMatematyka
4

Rozwiązywanie Nierówności Kwadratowych

Praktyczny przewodnik po rozwiązywaniu nierówności kwadratowych, w tym obliczanie delty oraz rysowanie wykresów funkcji kwadratowych. Zawiera przykłady i szczegółowe obliczenia, które pomogą w zrozumieniu kluczowych koncepcji związanych z funkcjami i wielomianami.

MatematykaMatematyka
3

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.