221

Równania kwadratowe

Przedmioty

Matematyka

Równania i nierówności

Nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Rozwiązanie nierówności kwadratowej z jedną niewiadomą

9640

•

6 lip 2025

•

1 strona

Równania Kwadratowe - Zadania, Wzory, PDF i Delta

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Wilcza Jagoda

@wilczajagoda_xrrv

Równania kwadratowe to kluczowy temat w matematyce, obejmujący różne typy... Pokaż więcej

Równania kwadratowe
Typy i rozwiązywanie
ax² + bx + c = 0
→x²=a
W takim wypadku rozwiązanie to pierwiastek z liczby a,
zarówno w wersji na +

Typy i rozwiązywanie równań kwadratowych

Dokument przedstawia kompleksowe omówienie równań kwadratowych, ich typów i metod rozwiązywania. Rozpoczyna się od podstawowej formy ax² + bx + c = 0, a następnie przechodzi do szczegółowego opisu różnych przypadków.

Definicja: Równanie kwadratowe to równanie algebraiczne drugiego stopnia, które można zapisać w postaci ax² + bx + c = 0, gdzie a ≠ 0.

Pierwszym omówionym przypadkiem jest x² = a, gdzie rozwiązaniem są pierwiastki kwadratowe z a, zarówno dodatnie, jak i ujemne.

Przykład: Dla równania x² = 9, rozwiązaniami są x = 3 lub x = -3.

Dokument zwraca uwagę na przypadek szczególny, gdy -x² = a i a > 0, co prowadzi do równania sprzecznego.

Kolejnym typem jest równanie x² + ax = 0, które można przekształcić do postaci x $x+a$ = 0.

Highlight: Kluczową techniką jest przyrównywanie czynników do zera, co pozwala na szybkie znalezienie rozwiązań.

Omówiono również równania w postaci $x+a$ $x+b$ = 0, które rozwiązuje się podobną metodą.

Przykład: Dla równania $x+4$ $x-6$ = 0, rozwiązaniami są x = -4 lub x = 6.

Dokument przedstawia także równania kwadratowe wykorzystujące wzór skróconego mnożenia, np. x² + 6x + 9 = 0, które można przekształcić do $x+3$ ² = 0.

Na końcu omówiono postać ogólną równania kwadratowego $ax² + bx + c = 0$ i wprowadzono pojęcie delty $Δ = b² - 4ac$ .

Vocabulary: Delta $Δ$ to wyrażenie b² - 4ac, które determinuje liczbę i charakter rozwiązań równania kwadratowego.

Dokument kończy się przedstawieniem wzorów na rozwiązania równania kwadratowego w zależności od wartości delty, co stanowi podstawę do rozwiązywania bardziej złożonych równań kwadratowych.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Równania z wartością bezwzględną. Matematyka 2 , podstawa .

1660

Równania sprowadzalne do równań kwadratowych

464

Nierówność kwadratowa - przykład zadania

2191

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Równania i nierówności

Nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Rozwiązanie nierówności kwadratowej z jedną niewiadomą

Matematyka

•

9640

•

6 lip 2025

•

1 strona

Równania Kwadratowe - Zadania, Wzory, PDF i Delta

Wilcza Jagoda

@wilczajagoda_xrrv

Równania kwadratowe to kluczowy temat w matematyce, obejmujący różne typy i metody rozwiązywania. Dokument przedstawia kompleksowe omówienie tego zagadnienia, koncentrując się na:

Podstawowej formie równania kwadratowego: ax² + bx + c = 0
Różnych typach równań kwadratowych i metodach ich... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Typy i rozwiązywanie równań kwadratowych

Definicja: Równanie kwadratowe to równanie algebraiczne drugiego stopnia, które można zapisać w postaci ax² + bx + c = 0, gdzie a ≠ 0.

Pierwszym omówionym przypadkiem jest x² = a, gdzie rozwiązaniem są pierwiastki kwadratowe z a, zarówno dodatnie, jak i ujemne.

Przykład: Dla równania x² = 9, rozwiązaniami są x = 3 lub x = -3.

Dokument zwraca uwagę na przypadek szczególny, gdy -x² = a i a > 0, co prowadzi do równania sprzecznego.

Kolejnym typem jest równanie x² + ax = 0, które można przekształcić do postaci x $x+a$ = 0.

Highlight: Kluczową techniką jest przyrównywanie czynników do zera, co pozwala na szybkie znalezienie rozwiązań.

Omówiono również równania w postaci $x+a$ $x+b$ = 0, które rozwiązuje się podobną metodą.

Przykład: Dla równania $x+4$ $x-6$ = 0, rozwiązaniami są x = -4 lub x = 6.

Dokument przedstawia także równania kwadratowe wykorzystujące wzór skróconego mnożenia, np. x² + 6x + 9 = 0, które można przekształcić do $x+3$ ² = 0.

Na końcu omówiono postać ogólną równania kwadratowego $ax² + bx + c = 0$ i wprowadzono pojęcie delty $Δ = b² - 4ac$ .

Vocabulary: Delta $Δ$ to wyrażenie b² - 4ac, które determinuje liczbę i charakter rozwiązań równania kwadratowego.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Równania z wartością bezwzględną. Matematyka 2 , podstawa .

1660

Równania sprowadzalne do równań kwadratowych

464

Nierówność kwadratowa - przykład zadania

2191

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS