Otwórz aplikację

Przedmioty

Jak rozwiązywać równania i nierówności z wartością bezwzględną - Proste zadania i wzory

447

2

user profile picture

Madzmel

8.09.2025

Matematyka

Równania i nierówności z wartością bezwzględną

12 157

8 wrz 2025

12 strony

Jak rozwiązywać równania i nierówności z wartością bezwzględną - Proste zadania i wzory

Matematyka wyższa wymaga zrozumienia wartości bezwzględneji jej zastosowania w... Pokaż więcej

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny
Quiz
Fiszki
Esej
1-21=2101=0
| 21 = 2 ||1 - π/= -(1-1) = 1 +√7 = 2,64
|
.=.77-1
- 2 10 22--2-2
liczba c równoległa od liczb a i b
x w odległości d od liczby

Wartość bezwzględna i równania z wartością bezwzględną

Wartość bezwzględna to fundamentalne pojęcie w matematyce, które określa odległość liczby od zera na osi liczbowej. Dla liczb nieujemnych wartość bezwzględna jest równa tej liczbie, a dla liczb ujemnych jest równa liczbie przeciwnej.

Definicja: Wartością bezwzględną liczby rzeczywistej x nazywamy:

  • x dla x ≥ 0 (liczby nieujemne)
  • -x dla x < 0 (liczby ujemne)

Przy rozwiązywaniu równań z wartością bezwzględną kluczowe jest zrozumienie, że |x| = a oznacza, że x może przyjmować dwie wartości: a lub -a. Na przykład równanie |x-2| = 3 można zapisać jako: x-2 = 3 lub x-2 = -3 co daje rozwiązania x = 5 lub x = -1

Przykład: Rozwiąż równanie |2x+1| = 5

  1. 2x+1 = 5 lub 2x+1 = -5
  2. 2x = 4 lub 2x = -6
  3. x = 2 lub x = -3
1-21=2101=0
| 21 = 2 ||1 - π/= -(1-1) = 1 +√7 = 2,64
|
.=.77-1
- 2 10 22--2-2
liczba c równoległa od liczb a i b
x w odległości d od liczby

Nierówności z wartością bezwzględną

Przy rozwiązywaniu nierówności z wartością bezwzględną należy pamiętać o kilku kluczowych zasadach:

|x| < a oznacza, że -a < x < a |x| > a oznacza, że x < -a lub x > a

Wzory: Podstawowe wzory dla nierówności z wartością bezwzględną:

  • |x| ≤ a ⇔ -a ≤ x ≤ a
  • |x| ≥ a ⇔ x ≤ -a lub x ≥ a

Szczególnie ważne jest zrozumienie geometrycznej interpretacji wartości bezwzględnej na osi liczbowej. Nierówność |x-a| < r opisuje wszystkie punkty osi liczbowej znajdujące się w odległości mniejszej niż r od punktu a.

1-21=2101=0
| 21 = 2 ||1 - π/= -(1-1) = 1 +√7 = 2,64
|
.=.77-1
- 2 10 22--2-2
liczba c równoległa od liczb a i b
x w odległości d od liczby

Zastosowania wartości bezwzględnej

Wartość bezwzględna znajduje szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach matematyki i nauk ścisłych. Najważniejsze zastosowania to:

  1. Obliczanie odległości między punktami na osi liczbowej
  2. Określanie błędu przybliżenia w obliczeniach
  3. Rozwiązywanie równań i nierówności

Przykład: Odległość między punktami a i b na osi liczbowej wyraża się wzorem: d = |a-b|

Przy rozwiązywaniu zadań z wartością bezwzględną warto pamiętać o podstawowych własnościach:

  • |x| ≥ 0 dla każdego x
  • |xy| = |x|·|y|
  • |x+y| ≤ |x| + |y|
1-21=2101=0
| 21 = 2 ||1 - π/= -(1-1) = 1 +√7 = 2,64
|
.=.77-1
- 2 10 22--2-2
liczba c równoległa od liczb a i b
x w odległości d od liczby

Zadania z wartością bezwzględną

Rozwiązując zadania z wartością bezwzględną, należy:

  1. Zidentyfikować typ zadania (równanie/nierówność)
  2. Zastosować odpowiednie wzory i własności
  3. Sprawdzić otrzymane rozwiązania

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu nierówności typu |x-a| < r, rozwiązaniem jest przedział ar,a+ra-r, a+r

Typowe błędy przy rozwiązywaniu zadań:

  • Nieprawidłowe rozłożenie wartości bezwzględnej
  • Pominięcie sprawdzenia warunków
  • Błędna interpretacja geometryczna

Warto ćwiczyć różne typy zadań, aby nabrać wprawy w ich rozwiązywaniu.

1-21=2101=0
| 21 = 2 ||1 - π/= -(1-1) = 1 +√7 = 2,64
|
.=.77-1
- 2 10 22--2-2
liczba c równoległa od liczb a i b
x w odległości d od liczby

Rozwiązywanie Równań i Nierówności z Wartością Bezwzględną

Wartość bezwzględna zadania wymagają systematycznego podejścia i zrozumienia podstawowych zasad. Zacznijmy od interpretacji geometrycznej.

Definicja: Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej. Dla dowolnej liczby rzeczywistej x, |x| oznacza wartość bezwzględną x.

Przy rozwiązywaniu równań z wartością bezwzględną należy pamiętać o następujących regułach:

  1. Jeśli |x| = a, gdzie a > 0, to x = a lub x = -a
  2. Jeśli |x| = 0, to x = 0
  3. Jeśli |x| = -a, gdzie a > 0, to równanie jest sprzeczne

Przykład: Rozwiążmy równanie |x-2| = 3

  • |x-2| = 3 oznacza, że x-2 = 3 lub x-2 = -3
  • Stąd x = 5 lub x = -1
  • Zbiór rozwiązań: {-1, 5}
1-21=2101=0
| 21 = 2 ||1 - π/= -(1-1) = 1 +√7 = 2,64
|
.=.77-1
- 2 10 22--2-2
liczba c równoległa od liczb a i b
x w odległości d od liczby

Nierówności z Wartością Bezwzględną

Nierówności z wartością bezwzględną jak rozwiązywać wymaga zrozumienia kilku kluczowych zasad:

  1. Jeśli |x| < a, to -a < x < a
  2. Jeśli |x| > a, to x < -a lub x > a
  3. Jeśli |x| ≤ a, to -a ≤ x ≤ a

Highlight: Przy rozwiązywaniu nierówności z wartością bezwzględną kluczowe jest określenie, czy mamy do czynienia z nierównością ostrą czy nieostrą.

Nierówności z wartością bezwzględną wzory podstawowe:

  • |x| < a ⟺ -a < x < a
  • |x| > a ⟺ x < -a ∨ x > a
  • |x| ≤ a ⟺ -a ≤ x ≤ a
  • |x| ≥ a ⟺ x ≤ -a ∨ x ≥ a
1-21=2101=0
| 21 = 2 ||1 - π/= -(1-1) = 1 +√7 = 2,64
|
.=.77-1
- 2 10 22--2-2
liczba c równoległa od liczb a i b
x w odległości d od liczby

Zadania z Wartością Bezwzględną

Wartość bezwzględna - zadania z rozwiązaniami pomagają utrwalić wiedzę. Rozważmy kilka przykładów:

Example: Rozwiąż nierówność |x+2| < 3

  1. Stosujemy wzór |x| < a ⟺ -a < x < a
  2. -3 < x+2 < 3
  3. -5 < x < 1
  4. Odpowiedź: x ∈ 5,1-5,1

Wartość bezwzględna zadania maturalne często łączą różne koncepcje i wymagają wieloetapowego rozwiązania.

1-21=2101=0
| 21 = 2 ||1 - π/= -(1-1) = 1 +√7 = 2,64
|
.=.77-1
- 2 10 22--2-2
liczba c równoległa od liczb a i b
x w odległości d od liczby

Praktyczne Zastosowania

Równania z wartością bezwzględną jak rozwiązać znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach:

  1. Fizyka - przy obliczaniu odległości
  2. Ekonomia - przy analizie odchyleń
  3. Statystyka - przy obliczaniu błędów pomiarowych

Vocabulary: Wartość bezwzględna w praktyce oznacza zawsze nieujemną odległość między dwoma punktami na osi liczbowej.

Nierówności z wartością bezwzględną kiedy i a kiedy lub zależy od znaku nierówności:

  • Dla < lub ≤ używamy "i"
  • Dla > lub ≥ używamy "lub"
1-21=2101=0
| 21 = 2 ||1 - π/= -(1-1) = 1 +√7 = 2,64
|
.=.77-1
- 2 10 22--2-2
liczba c równoległa od liczb a i b
x w odległości d od liczby

Rozwiązywanie Równań i Nierówności z Wartością Bezwzględną

Wartość bezwzględna zadania wymagają systematycznego podejścia i zrozumienia podstawowych zasad. Przy rozwiązywaniu równań z wartością bezwzględną należy pamiętać o kluczowej własności - wartość bezwzględna liczby jest zawsze nieujemna.

Definicja: Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej x, oznaczana jako |x|, to odległość punktu x od zera na osi liczbowej. Dla x≥0 mamy |x|=x, dla x<0 mamy |x|=-x.

Przy rozwiązywaniu nierówności z wartością bezwzględną kluczowe jest zrozumienie, kiedy stosujemy koniunkcję ii, a kiedy alternatywę lublub. Rozważmy przykład |x-4|=5. Równanie to możemy rozwiązać dwoma sposobami: x-4=5 lub x-4=-5, co daje nam x=9 lub x=-1.

Przykład: Rozwiążmy nierówność |2x+7|≤6

  1. -6≤2x+7≤6
  2. -13≤2x≤-1
  3. -6.5≤x≤-0.5

W przypadku wartości bezwzględnej zadania z rozwiązaniami warto zwrócić uwagę na metodę graficzną, która często pozwala lepiej zrozumieć istotę problemu. Na osi liczbowej wartość bezwzględna reprezentuje odległość, co może znacząco ułatwić rozwiązywanie zadań.

1-21=2101=0
| 21 = 2 ||1 - π/= -(1-1) = 1 +√7 = 2,64
|
.=.77-1
- 2 10 22--2-2
liczba c równoległa od liczb a i b
x w odległości d od liczby

Zaawansowane Metody Rozwiązywania Zadań z Wartością Bezwzględną

Nierówności z wartością bezwzględną - rozszerzenie wymaga głębszego zrozumienia własności wartości bezwzględnej. Szczególnie istotne jest rozumienie, że |ab|=|a|·|b| oraz |a+b|≤|a|+|b|.

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu nierówności z wartością bezwzględną zadania maturalne warto najpierw sprawdzić, czy można uprościć wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej.

W przypadku złożonych wyrażeń, jak na przykład |2-|3-x|+1|, należy rozwiązywać problem od wewnętrznej wartości bezwzględnej. Takie równania z wartością bezwzględną jak rozwiązać wymagają systematycznego podejścia i analizy przypadków.

Przykład: Rozwiązanie |x²-4|=5 wymaga rozważenia przypadków: x²-4=5 lub x²-4=-5 x²=9 lub x²=-1 x=±3 lub brak rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych

Przy rozwiązywaniu nierówności z wartością bezwzględną wzory należy pamiętać o podstawowych własnościach, takich jak |x|<a ⟺ -a<x<a oraz |x|>a ⟺ x<-a lub x>a, gdzie a>0.



Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

 

Matematyka

12 157

8 wrz 2025

12 strony

Jak rozwiązywać równania i nierówności z wartością bezwzględną - Proste zadania i wzory

Matematyka wyższa wymaga zrozumienia wartości bezwzględnej i jej zastosowania w równaniach i nierównościach.

Równania z wartością bezwzględnąto fundamentalny temat w matematyce, który wymaga systematycznego podejścia do rozwiązywania. Podstawową zasadą jest zrozumienie, że wartość bezwzględna liczby to jej odległość od... Pokaż więcej

1-21=2101=0
| 21 = 2 ||1 - π/= -(1-1) = 1 +√7 = 2,64
|
.=.77-1
- 2 10 22--2-2
liczba c równoległa od liczb a i b
x w odległości d od liczby

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wartość bezwzględna i równania z wartością bezwzględną

Wartość bezwzględna to fundamentalne pojęcie w matematyce, które określa odległość liczby od zera na osi liczbowej. Dla liczb nieujemnych wartość bezwzględna jest równa tej liczbie, a dla liczb ujemnych jest równa liczbie przeciwnej.

Definicja: Wartością bezwzględną liczby rzeczywistej x nazywamy:

  • x dla x ≥ 0 (liczby nieujemne)
  • -x dla x < 0 (liczby ujemne)

Przy rozwiązywaniu równań z wartością bezwzględną kluczowe jest zrozumienie, że |x| = a oznacza, że x może przyjmować dwie wartości: a lub -a. Na przykład równanie |x-2| = 3 można zapisać jako: x-2 = 3 lub x-2 = -3 co daje rozwiązania x = 5 lub x = -1

Przykład: Rozwiąż równanie |2x+1| = 5

  1. 2x+1 = 5 lub 2x+1 = -5
  2. 2x = 4 lub 2x = -6
  3. x = 2 lub x = -3
1-21=2101=0
| 21 = 2 ||1 - π/= -(1-1) = 1 +√7 = 2,64
|
.=.77-1
- 2 10 22--2-2
liczba c równoległa od liczb a i b
x w odległości d od liczby

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Nierówności z wartością bezwzględną

Przy rozwiązywaniu nierówności z wartością bezwzględną należy pamiętać o kilku kluczowych zasadach:

|x| < a oznacza, że -a < x < a |x| > a oznacza, że x < -a lub x > a

Wzory: Podstawowe wzory dla nierówności z wartością bezwzględną:

  • |x| ≤ a ⇔ -a ≤ x ≤ a
  • |x| ≥ a ⇔ x ≤ -a lub x ≥ a

Szczególnie ważne jest zrozumienie geometrycznej interpretacji wartości bezwzględnej na osi liczbowej. Nierówność |x-a| < r opisuje wszystkie punkty osi liczbowej znajdujące się w odległości mniejszej niż r od punktu a.

1-21=2101=0
| 21 = 2 ||1 - π/= -(1-1) = 1 +√7 = 2,64
|
.=.77-1
- 2 10 22--2-2
liczba c równoległa od liczb a i b
x w odległości d od liczby

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Zastosowania wartości bezwzględnej

Wartość bezwzględna znajduje szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach matematyki i nauk ścisłych. Najważniejsze zastosowania to:

  1. Obliczanie odległości między punktami na osi liczbowej
  2. Określanie błędu przybliżenia w obliczeniach
  3. Rozwiązywanie równań i nierówności

Przykład: Odległość między punktami a i b na osi liczbowej wyraża się wzorem: d = |a-b|

Przy rozwiązywaniu zadań z wartością bezwzględną warto pamiętać o podstawowych własnościach:

  • |x| ≥ 0 dla każdego x
  • |xy| = |x|·|y|
  • |x+y| ≤ |x| + |y|
1-21=2101=0
| 21 = 2 ||1 - π/= -(1-1) = 1 +√7 = 2,64
|
.=.77-1
- 2 10 22--2-2
liczba c równoległa od liczb a i b
x w odległości d od liczby

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Zadania z wartością bezwzględną

Rozwiązując zadania z wartością bezwzględną, należy:

  1. Zidentyfikować typ zadania (równanie/nierówność)
  2. Zastosować odpowiednie wzory i własności
  3. Sprawdzić otrzymane rozwiązania

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu nierówności typu |x-a| < r, rozwiązaniem jest przedział ar,a+ra-r, a+r

Typowe błędy przy rozwiązywaniu zadań:

  • Nieprawidłowe rozłożenie wartości bezwzględnej
  • Pominięcie sprawdzenia warunków
  • Błędna interpretacja geometryczna

Warto ćwiczyć różne typy zadań, aby nabrać wprawy w ich rozwiązywaniu.

1-21=2101=0
| 21 = 2 ||1 - π/= -(1-1) = 1 +√7 = 2,64
|
.=.77-1
- 2 10 22--2-2
liczba c równoległa od liczb a i b
x w odległości d od liczby

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Rozwiązywanie Równań i Nierówności z Wartością Bezwzględną

Wartość bezwzględna zadania wymagają systematycznego podejścia i zrozumienia podstawowych zasad. Zacznijmy od interpretacji geometrycznej.

Definicja: Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej. Dla dowolnej liczby rzeczywistej x, |x| oznacza wartość bezwzględną x.

Przy rozwiązywaniu równań z wartością bezwzględną należy pamiętać o następujących regułach:

  1. Jeśli |x| = a, gdzie a > 0, to x = a lub x = -a
  2. Jeśli |x| = 0, to x = 0
  3. Jeśli |x| = -a, gdzie a > 0, to równanie jest sprzeczne

Przykład: Rozwiążmy równanie |x-2| = 3

  • |x-2| = 3 oznacza, że x-2 = 3 lub x-2 = -3
  • Stąd x = 5 lub x = -1
  • Zbiór rozwiązań: {-1, 5}
1-21=2101=0
| 21 = 2 ||1 - π/= -(1-1) = 1 +√7 = 2,64
|
.=.77-1
- 2 10 22--2-2
liczba c równoległa od liczb a i b
x w odległości d od liczby

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Nierówności z Wartością Bezwzględną

Nierówności z wartością bezwzględną jak rozwiązywać wymaga zrozumienia kilku kluczowych zasad:

  1. Jeśli |x| < a, to -a < x < a
  2. Jeśli |x| > a, to x < -a lub x > a
  3. Jeśli |x| ≤ a, to -a ≤ x ≤ a

Highlight: Przy rozwiązywaniu nierówności z wartością bezwzględną kluczowe jest określenie, czy mamy do czynienia z nierównością ostrą czy nieostrą.

Nierówności z wartością bezwzględną wzory podstawowe:

  • |x| < a ⟺ -a < x < a
  • |x| > a ⟺ x < -a ∨ x > a
  • |x| ≤ a ⟺ -a ≤ x ≤ a
  • |x| ≥ a ⟺ x ≤ -a ∨ x ≥ a
1-21=2101=0
| 21 = 2 ||1 - π/= -(1-1) = 1 +√7 = 2,64
|
.=.77-1
- 2 10 22--2-2
liczba c równoległa od liczb a i b
x w odległości d od liczby

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Zadania z Wartością Bezwzględną

Wartość bezwzględna - zadania z rozwiązaniami pomagają utrwalić wiedzę. Rozważmy kilka przykładów:

Example: Rozwiąż nierówność |x+2| < 3

  1. Stosujemy wzór |x| < a ⟺ -a < x < a
  2. -3 < x+2 < 3
  3. -5 < x < 1
  4. Odpowiedź: x ∈ 5,1-5,1

Wartość bezwzględna zadania maturalne często łączą różne koncepcje i wymagają wieloetapowego rozwiązania.

1-21=2101=0
| 21 = 2 ||1 - π/= -(1-1) = 1 +√7 = 2,64
|
.=.77-1
- 2 10 22--2-2
liczba c równoległa od liczb a i b
x w odległości d od liczby

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Praktyczne Zastosowania

Równania z wartością bezwzględną jak rozwiązać znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach:

  1. Fizyka - przy obliczaniu odległości
  2. Ekonomia - przy analizie odchyleń
  3. Statystyka - przy obliczaniu błędów pomiarowych

Vocabulary: Wartość bezwzględna w praktyce oznacza zawsze nieujemną odległość między dwoma punktami na osi liczbowej.

Nierówności z wartością bezwzględną kiedy i a kiedy lub zależy od znaku nierówności:

  • Dla < lub ≤ używamy "i"
  • Dla > lub ≥ używamy "lub"
1-21=2101=0
| 21 = 2 ||1 - π/= -(1-1) = 1 +√7 = 2,64
|
.=.77-1
- 2 10 22--2-2
liczba c równoległa od liczb a i b
x w odległości d od liczby

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Rozwiązywanie Równań i Nierówności z Wartością Bezwzględną

Wartość bezwzględna zadania wymagają systematycznego podejścia i zrozumienia podstawowych zasad. Przy rozwiązywaniu równań z wartością bezwzględną należy pamiętać o kluczowej własności - wartość bezwzględna liczby jest zawsze nieujemna.

Definicja: Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej x, oznaczana jako |x|, to odległość punktu x od zera na osi liczbowej. Dla x≥0 mamy |x|=x, dla x<0 mamy |x|=-x.

Przy rozwiązywaniu nierówności z wartością bezwzględną kluczowe jest zrozumienie, kiedy stosujemy koniunkcję ii, a kiedy alternatywę lublub. Rozważmy przykład |x-4|=5. Równanie to możemy rozwiązać dwoma sposobami: x-4=5 lub x-4=-5, co daje nam x=9 lub x=-1.

Przykład: Rozwiążmy nierówność |2x+7|≤6

  1. -6≤2x+7≤6
  2. -13≤2x≤-1
  3. -6.5≤x≤-0.5

W przypadku wartości bezwzględnej zadania z rozwiązaniami warto zwrócić uwagę na metodę graficzną, która często pozwala lepiej zrozumieć istotę problemu. Na osi liczbowej wartość bezwzględna reprezentuje odległość, co może znacząco ułatwić rozwiązywanie zadań.

1-21=2101=0
| 21 = 2 ||1 - π/= -(1-1) = 1 +√7 = 2,64
|
.=.77-1
- 2 10 22--2-2
liczba c równoległa od liczb a i b
x w odległości d od liczby

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Zaawansowane Metody Rozwiązywania Zadań z Wartością Bezwzględną

Nierówności z wartością bezwzględną - rozszerzenie wymaga głębszego zrozumienia własności wartości bezwzględnej. Szczególnie istotne jest rozumienie, że |ab|=|a|·|b| oraz |a+b|≤|a|+|b|.

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu nierówności z wartością bezwzględną zadania maturalne warto najpierw sprawdzić, czy można uprościć wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej.

W przypadku złożonych wyrażeń, jak na przykład |2-|3-x|+1|, należy rozwiązywać problem od wewnętrznej wartości bezwzględnej. Takie równania z wartością bezwzględną jak rozwiązać wymagają systematycznego podejścia i analizy przypadków.

Przykład: Rozwiązanie |x²-4|=5 wymaga rozważenia przypadków: x²-4=5 lub x²-4=-5 x²=9 lub x²=-1 x=±3 lub brak rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych

Przy rozwiązywaniu nierówności z wartością bezwzględną wzory należy pamiętać o podstawowych własnościach, takich jak |x|<a ⟺ -a<x<a oraz |x|>a ⟺ x<-a lub x>a, gdzie a>0.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS