Matematyka

Pierwiastki i miejsca zerowe wielomianów

Pierwiastek

1419

•

30 sty 2026

•

4 strony

Zadania z równaniami wymiernymi

Aleksandra

@olusiaola

Równania wymierne to typ równań, w których niewiadoma występuje w... Pokaż więcej

1 / 4

Zad. 1 (1 pkt) (pokazowy 2023 - zad. 7)
Równanie
ma w zbiorze liczb rzeczywistych
A. dokładnie jedno rozwiązanie: x = 2.
B. dokładnie dwa ro

Równania typu $\frac{A(x)}{B(x)} = 0$ - przykłady maturalne

Przećwiczmy na konkretnych zadaniach z matury. W zadaniu z $\frac{(4-x)(2x-3)}{(3x-5)(3-2x)} = 0$ najpierw określasz dziedzinę: $x \neq \frac{5}{3}$ i $x \neq \frac{3}{2}$ .

Następnie rozwiązujesz $(4-x)(2x-3) = 0$ , co daje $x = 4$ lub $x = \frac{3}{2}$ . Ponieważ $x = \frac{3}{2}$ nie należy do dziedziny, jedynym rozwiązaniem jest $x = 4$ .

⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdzaj, czy twoje rozwiązania nie wykluczają się z dziedziną!

Podobnie w równaniu $\frac{x^2-7x}{x^2-49} = 0$ masz dziedzinę $x \neq \pm 7$ . Rozwiązanie $x^2-7x = x(x-7) = 0$ daje $x = 0$ lub $x = 7$ . Tylko $x = 0$ należy do dziedziny, więc to jedno rozwiązanie.

Równania typu $\frac{A(x)}{B(x)} = C$ - przekształcenia

Gdy równanie wymierne ma prawą stronę różną od zera, musisz je przekształcić. Równanie $\frac{1-x}{x} = 2x$ mnożysz obustronnie przez $x$ $pamiętając że $x \neq 0$$ .

Otrzymujesz $1-x = 2x^2 $, czyli$ 2x^2 + x - 1 = 0$. Równanie kwadratowe rozwiązujesz wzorem na deltę: $\Delta = 1 + 8 = 9$ , więc $x = \frac{-1 \pm 3}{4}$ .

To daje $x = \frac{1}{2}$ lub $x = -1$ . Oba rozwiązania należą do dziedziny $x \neq 0$ , więc równanie ma dwa rozwiązania.

💡 Wskazówka: Po przekształceniu zawsze sprawdź, czy nowe rozwiązania spełniają warunki dziedziny pierwotnego równania!

Szczególne przypadki i pułapki

Niektóre równania wymierne mogą nie mieć rozwiązań lub mieć rozwiązania pozorne. W równaniu $\frac{x^2+36}{x-6} = 0$ licznik $x^2+36$ nigdy nie równa się zero $bo $x^2 \geq 0$$ , więc równanie nie ma rozwiązań.

Równanie $\frac{3x-1}{x+5} = 3$ po przekształceniu daje $3x-1 = 3 $x+5$ $, czyli$ 3x-1 = 3x+15 $. To prowadzi do sprzeczności$ -1 = 15$, więc brak rozwiązań.

⚡ Ważne: Nie każde równanie wymierne ma rozwiązanie! Czasem algebra prowadzi do sprzeczności.

Z kolei w $\frac{x-1}{x+1} = x-1$ po przemnożeniu przez $(x+1)$ masz $x-1 = (x-1)(x+1)$ . Jeśli $x \neq 1$ , możesz podzielić przez $(x-1)$ i otrzymać $1 = x+1 $, skąd$ x = 0$.

Podsumowanie i techniki maturalne

Równania wymierne na maturze wymagają systematycznego podejścia: dziedzina → przekształcenie → sprawdzenie. Najważniejsze typy to równania z zerem po prawej stronie i równania wymagające mnożenia krzyżowego.

Pamiętaj o pułapkach: rozwiązania pozorne (nie należące do dziedziny), równania bez rozwiązań (sprzeczność w licznikach) i równania z wieloma rozwiązaniami (stopień wielomianu).

Najczęstsze błędy to zapomnienie o dziedzinie, błędy w przekształceniach algebraicznych i nieprawidłowe sprawdzenie wyników.

🎯 Maturalny lifehack: W zadaniach testowych możesz podstawić każdą opcję do równania i sprawdzić, która się sprawdza!

Na maturze te zadania są przewidywalne - opanuj podstawowe typy, a pewnie zdobędziesz punkty. Ćwicz systematycznie różne warianty, bo wzorce się powtarzają.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Równania i nierówności

8388

Metoda podstawiania

2082

Układy rówań

10604

349

Więcej

Najpopularniejsze notatki: Pierwiastek

Rozwiązywanie Równań Wielomianowych

Praktyczny przewodnik po rozwiązywaniu równań wielomianowych i kwadratowych. Zawiera szczegółowe przykłady, w tym równania (x³ + 125)(x² - 64) = 0 oraz (4 - x)(x² + 2x - 15) = 0. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Zadania z równaniami wymiernymi

Równania typu A(x)B(x)=0\frac{A(x)}{B(x)} = 0B(x)A(x)​=0 - przykłady maturalne

Równania typu A(x)B(x)=C\frac{A(x)}{B(x)} = CB(x)A(x)​=C - przekształcenia

Szczególne przypadki i pułapki

Podsumowanie i techniki maturalne

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Równania i nierówności

Metoda podstawiania

Układy rówań

Najpopularniejsze notatki: Pierwiastek

Rozwiązywanie Równań Wielomianowych

Rozwiązywanie Równań Wielomianowych

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Geometria Figur Płaszczyzny

Analiza Funkcji Kwadratowej

Podstawy Logarytmów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Wzory Geometrii Przestrzennej

Stereoizomeria

Podstawy Logarytmów

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny

Najpopularniejsze notatki

Wesele Wyspiańskiego

Przedwiośnie: Kluczowe Motywy

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Dziady III: Mesjanizm i Konrad

Analiza Dziadów III

Konflikty w Antygonie

Młoda Polska: Kluczowe Tematy

Przedwiośnie: Analiza Tematów

Analiza Ksiąg Biblijnych

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5

4.7/5

Zadania z równaniami wymiernymi

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Równania typu A(x)B(x)=0\frac{A(x)}{B(x)} = 0B(x)A(x)​=0 - przykłady maturalne

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Równania typu A(x)B(x)=C\frac{A(x)}{B(x)} = CB(x)A(x)​=C - przekształcenia

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Szczególne przypadki i pułapki

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Podsumowanie i techniki maturalne

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Równania i Nierówności: Przewodnik

Rozwiązywanie równań metodą podstawiania

Rozwiązywanie Układów Równań

Rozwiązywanie układów równań

Równania Liniowe z Niewiadomą

Rozwiązywanie równań

Podobne notatki

Równania i nierówności

Metoda podstawiania

Układy rówań

Najpopularniejsze notatki: Pierwiastek

Rozwiązywanie Równań Wielomianowych

Rozwiązywanie Równań Wielomianowych

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Geometria Figur Płaszczyzny

Analiza Funkcji Kwadratowej

Podstawy Logarytmów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Wzory Geometrii Przestrzennej

Stereoizomeria

Podstawy Logarytmów

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny

Najpopularniejsze notatki

Wesele Wyspiańskiego

Przedwiośnie: Kluczowe Motywy

Równania typu $\frac{A(x)}{B(x)} = 0$ - przykłady maturalne

Równania typu $\frac{A(x)}{B(x)} = C$ - przekształcenia

Równania typu $\frac{A(x)}{B(x)} = 0$ - przykłady maturalne

Równania typu $\frac{A(x)}{B(x)} = C$ - przekształcenia