Symetria środkowa to ważne przekształcenie geometryczne, które pozwala przenieść punkty...
Matematyka831 wyświetleń·Zaktualizowano 25 lip 2026·3 stronySymetria środkowa – punkt (0,0) w matematyce
agula@afafinska
1 / 3
1
of 3
Symetria środkowa względem punktu (0,0)
Symetria środkowa względem punktu O to przekształcenie, w którym każdy punkt A zamienia się w punkt A', a punkt O jest dokładnie środkiem odcinka AA'. Gdy punkt O jest początkiem układu współrzędnych (0,0), przekształcenie jest szczególnie proste.
Obrazem punktu A(x,y) w symetrii środkowej względem punktu O(0,0) jest punkt A'. Innymi słowy, zmieniamy znaki obu współrzędnych. Symetria środkowa zachowuje kształt i wielkość figury, zmienia jedynie jej położenie.
Przykładowo, jeśli mamy odcinek AB, gdzie A i B(3,5), to po symetrii środkowej względem O(0,0) otrzymamy odcinek A'B', gdzie A' i B'.
Zapamiętaj! Symetria środkowa to jakby "obrót o 180°" wokół punktu O. Punkt O jest jedynym punktem, który pozostaje na swoim miejscu.
2
of 3
Symetria środkowa funkcji
Gdy wykres funkcji y=f przekształcimy przez symetrię środkową względem początku układu współrzędnych, otrzymamy wykres nowej funkcji g=-f. Ta zależność jest bardzo przydatna przy rozwiązywaniu zadań.
Zobaczmy to na przykładzie. Jeśli mamy funkcję f=x, gdzie x ∈ (-∞, -1], to po symetrii środkowej otrzymamy funkcję g=-f=-=x, gdzie x ∈ [1, +∞). Jak widać, dostaliśmy tę samą funkcję liniową, ale na innym przedziale.
W praktyce po przekształceniu funkcji przez symetrię środkową, nowa funkcja jest jakby "odwróconym odbiciem" oryginalnej funkcji. Dziedzina i zbiór wartości również ulegają odpowiednim przekształceniom.
Wskazówka praktyczna: Przy przekształcaniu funkcji przez symetrię środkową, zawsze stosuj wzór g=-f - to bardzo ułatwi ci zadania!
3
of 3
Przekształcanie złożonych funkcji
Przekształcenie przez symetrię środkową możemy zastosować również do bardziej skomplikowanych funkcji. Stosujemy tę samą zasadę podstawiając -x zamiast x, a następnie mnożąc całe wyrażenie przez -1.
Dla funkcji kwadratowej f=x²+5x-3, po symetrii środkowej względem punktu O(0,0) otrzymujemy: g=-f=-=-=-x²+5x+3
Zwróć uwagę na zmiany w znakach wyrazów. Znak przy x² zmienił się na przeciwny, przy wyrazie z x znak pozostał ten sam, a wyraz wolny również zmienił znak. Wynika to z konsekwentnego stosowania wzoru g=-f.
Haczyk: Przy przekształcaniu funkcji kwadratowej przez symetrię środkową, pamiętaj o właściwym rozpisaniu wszystkich kroków. Łatwo popełnić błąd przy zmianie znaków!
Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
Podobne notatki
Najpopularniejsze notatki: Funkcja nieparzysta
3MatematykaWłaściwości Funkcji Matematycznych
Zgłębiaj kluczowe pojęcia dotyczące funkcji matematycznych, w tym dziedzinę, miejsca zerowe oraz różnice między funkcjami parzystymi i nieparzystymi. Ta notatka dostarcza jasnych definicji i przykładów, które pomogą w zrozumieniu podstawowych właściwości funkcji. Idealna dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.
12,00631
MatematykaWłasności Funkcji Matematycznych
Zrozumienie funkcji matematycznych: ich definicje, właściwości, monotoniczność oraz różnice między funkcjami parzystymi i nieparzystymi. Idealne dla uczniów na poziomie rozszerzonym. Obejmuje grafy, dziedziny oraz zbiory wartości.
13,56178
MatematykaWłaściwości Funkcji: Monotoniczność i Parzystość
Zrozumienie właściwości funkcji: monotoniczność, różnowartościowość, parzystość i nieparzystość. Przykłady obliczeń oraz kluczowe definicje, które pomogą w analizie funkcji matematycznych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
36698
Najpopularniejsze notatki z Matematyka
9T
Matematykatabliczka mnożenia do 100
tabliczka mnożenia do 100
53,8702
W
MatematykaWzory na pola wielokątów
Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.
64,9080
O
MatematykaObliczanie pola wielokątów
Rozwiązywanie prostych zadań rachunkowych na obliczanie pól figur przy podanych długościach boków i wysokości.
64,3840
D
MatematykaDodawanie ułamków o tych samych mianownikach
Ćwiczenia z dodawania prostych ułamków o identycznych mianownikach bez przekraczania całości.
53,4190
MatematykaEgzamin ósmoklasisty: Matematyka
Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.
860,4115,675
D
MatematykaDodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych
Wykonywanie obliczeń pamięciowych i pisemnych na ułamkach dziesiętnych z uwzględnieniem poprawnego dopasowania przecinka.
63,6560
P
MatematykaPodstawy tworzenia wyrażeń algebraicznych
Rozpoznawanie składników wyrażeń i zapisywanie prostych zależności liczbowych za pomocą liter i symboli.
73,6300
Z
MatematykaZapisywanie ułamków dziesiętnych
Ćwiczenia z zamiany ułamków o mianownikach 10, 100 i 1000 na postać dziesiętną z użyciem przecinka.
52,1470
M
Matematykamatematyka
tabliczka mnożenia
51,8584
Najpopularniejsze notatki
9K
TechnikaKarta rowerowa
UwU
45,4063
N
TechnikaNauka znaków drogowych
Uczenie się zanków drogowych na sprawdzian-kartkówkę
44,0182
W
Język polskiWprowadzenie do lektury Zemsta
Sprawdź znajomość czasu i miejsca akcji oraz głównych wątków komedii Aleksandra Fredry.
85,9840
Q
Język polskiQuiz-Dziady cz.2
Ten quiz sprawdzi twoją wiedzę z Dziadów🫶!
83,6012
B
Biologiabiologia- ryby klasa 6
Przed odpowiedzią ustnią idealny do powtórki ❤️
64,8044
Język polskiPolski e8
Egzamin ósmoklasisty
88,681377
T
Matematykatabliczka mnożenia do 100
tabliczka mnożenia do 100
53,8702
C
Język angielskiCzasowniki nieregularne w Past Simple
Ćwicz odmianę popularnych czasowników nieregularnych i twórz zdania przeczące z operatorem didn't w czasie Past Simple.
65,0340
W
MatematykaWzory na pola wielokątów
Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.
64,9080
Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan Sużytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klichużytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Annaużytkownik iOS
Matematyka831 wyświetleń·Zaktualizowano 25 lip 2026·3 stronySymetria środkowa – punkt (0,0) w matematyce
agula@afafinska
Symetria środkowa to ważne przekształcenie geometryczne, które pozwala przenieść punkty i figury względem określonego punktu. W matematyce często używamy jej do przekształcania wykresów funkcji i rozwiązywania różnych zadań geometrycznych.
1
of 3
Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Symetria środkowa względem punktu (0,0)
Symetria środkowa względem punktu O to przekształcenie, w którym każdy punkt A zamienia się w punkt A', a punkt O jest dokładnie środkiem odcinka AA'. Gdy punkt O jest początkiem układu współrzędnych (0,0), przekształcenie jest szczególnie proste.
Obrazem punktu A(x,y) w symetrii środkowej względem punktu O(0,0) jest punkt A'. Innymi słowy, zmieniamy znaki obu współrzędnych. Symetria środkowa zachowuje kształt i wielkość figury, zmienia jedynie jej położenie.
Przykładowo, jeśli mamy odcinek AB, gdzie A i B(3,5), to po symetrii środkowej względem O(0,0) otrzymamy odcinek A'B', gdzie A' i B'.
Zapamiętaj! Symetria środkowa to jakby "obrót o 180°" wokół punktu O. Punkt O jest jedynym punktem, który pozostaje na swoim miejscu.
2
of 3Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Symetria środkowa funkcji
Gdy wykres funkcji y=f przekształcimy przez symetrię środkową względem początku układu współrzędnych, otrzymamy wykres nowej funkcji g=-f. Ta zależność jest bardzo przydatna przy rozwiązywaniu zadań.
Zobaczmy to na przykładzie. Jeśli mamy funkcję f=x, gdzie x ∈ (-∞, -1], to po symetrii środkowej otrzymamy funkcję g=-f=-=x, gdzie x ∈ [1, +∞). Jak widać, dostaliśmy tę samą funkcję liniową, ale na innym przedziale.
W praktyce po przekształceniu funkcji przez symetrię środkową, nowa funkcja jest jakby "odwróconym odbiciem" oryginalnej funkcji. Dziedzina i zbiór wartości również ulegają odpowiednim przekształceniom.
Wskazówka praktyczna: Przy przekształcaniu funkcji przez symetrię środkową, zawsze stosuj wzór g=-f - to bardzo ułatwi ci zadania!
3
of 3Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Przekształcanie złożonych funkcji
Przekształcenie przez symetrię środkową możemy zastosować również do bardziej skomplikowanych funkcji. Stosujemy tę samą zasadę podstawiając -x zamiast x, a następnie mnożąc całe wyrażenie przez -1.
Dla funkcji kwadratowej f=x²+5x-3, po symetrii środkowej względem punktu O(0,0) otrzymujemy: g=-f=-=-=-x²+5x+3
Zwróć uwagę na zmiany w znakach wyrazów. Znak przy x² zmienił się na przeciwny, przy wyrazie z x znak pozostał ten sam, a wyraz wolny również zmienił znak. Wynika to z konsekwentnego stosowania wzoru g=-f.
Haczyk: Przy przekształcaniu funkcji kwadratowej przez symetrię środkową, pamiętaj o właściwym rozpisaniu wszystkich kroków. Łatwo popełnić błąd przy zmianie znaków!
Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
Podobne notatki
Najpopularniejsze notatki: Funkcja nieparzysta
3MatematykaWłaściwości Funkcji Matematycznych
Zgłębiaj kluczowe pojęcia dotyczące funkcji matematycznych, w tym dziedzinę, miejsca zerowe oraz różnice między funkcjami parzystymi i nieparzystymi. Ta notatka dostarcza jasnych definicji i przykładów, które pomogą w zrozumieniu podstawowych właściwości funkcji. Idealna dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.
12,00631
MatematykaWłasności Funkcji Matematycznych
Zrozumienie funkcji matematycznych: ich definicje, właściwości, monotoniczność oraz różnice między funkcjami parzystymi i nieparzystymi. Idealne dla uczniów na poziomie rozszerzonym. Obejmuje grafy, dziedziny oraz zbiory wartości.
13,56178
MatematykaWłaściwości Funkcji: Monotoniczność i Parzystość
Zrozumienie właściwości funkcji: monotoniczność, różnowartościowość, parzystość i nieparzystość. Przykłady obliczeń oraz kluczowe definicje, które pomogą w analizie funkcji matematycznych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
36698
Najpopularniejsze notatki z Matematyka
9T
Matematykatabliczka mnożenia do 100
tabliczka mnożenia do 100
53,8702
W
MatematykaWzory na pola wielokątów
Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.
64,9080
O
MatematykaObliczanie pola wielokątów
Rozwiązywanie prostych zadań rachunkowych na obliczanie pól figur przy podanych długościach boków i wysokości.
64,3840
D
MatematykaDodawanie ułamków o tych samych mianownikach
Ćwiczenia z dodawania prostych ułamków o identycznych mianownikach bez przekraczania całości.
53,4190
MatematykaEgzamin ósmoklasisty: Matematyka
Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.
860,4115,675
D
MatematykaDodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych
Wykonywanie obliczeń pamięciowych i pisemnych na ułamkach dziesiętnych z uwzględnieniem poprawnego dopasowania przecinka.
63,6560
P
MatematykaPodstawy tworzenia wyrażeń algebraicznych
Rozpoznawanie składników wyrażeń i zapisywanie prostych zależności liczbowych za pomocą liter i symboli.
73,6300
Z
MatematykaZapisywanie ułamków dziesiętnych
Ćwiczenia z zamiany ułamków o mianownikach 10, 100 i 1000 na postać dziesiętną z użyciem przecinka.
52,1470
M
Matematykamatematyka
tabliczka mnożenia
51,8584
Najpopularniejsze notatki
9K
TechnikaKarta rowerowa
UwU
45,4063
N
TechnikaNauka znaków drogowych
Uczenie się zanków drogowych na sprawdzian-kartkówkę
44,0182
W
Język polskiWprowadzenie do lektury Zemsta
Sprawdź znajomość czasu i miejsca akcji oraz głównych wątków komedii Aleksandra Fredry.
85,9840
Q
Język polskiQuiz-Dziady cz.2
Ten quiz sprawdzi twoją wiedzę z Dziadów🫶!
83,6012
B
Biologiabiologia- ryby klasa 6
Przed odpowiedzią ustnią idealny do powtórki ❤️
64,8044
Język polskiPolski e8
Egzamin ósmoklasisty
88,681377
T
Matematykatabliczka mnożenia do 100
tabliczka mnożenia do 100
53,8702
C
Język angielskiCzasowniki nieregularne w Past Simple
Ćwicz odmianę popularnych czasowników nieregularnych i twórz zdania przeczące z operatorem didn't w czasie Past Simple.
65,0340
W
MatematykaWzory na pola wielokątów
Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.
64,9080
Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan Sużytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klichużytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Annaużytkownik iOS