Zacznij

Matematyka

Symetria geometryczna i funkcyjna

Funkcja nieparzysta

Matematyka840Zaktualizowano 24 wrz 20263 strony

Symetria środkowa – punkt (0,0) w matematyce

Zgłoś
user profile picture
agula@afafinska
Dodaj do źródeł Google
Symetria środkowa to ważne przekształcenie geometryczne, które pozwala przenieść punkty i figury względem określonego punktu. W matematyce często używamy jej do przekształcania wykresów funkcji i rozwiązywania różnych zadań geometrycznych.
Symetria środkowa względem punktu (0,0) – strona 1

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę.
To nic nie kosztuje!

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Symetria środkowa względem punktu (0,0)

Symetria środkowa względem punktu O to przekształcenie, w którym każdy punkt A zamienia się w punkt A', a punkt O jest dokładnie środkiem odcinka AA'. Gdy punkt O jest początkiem układu współrzędnych (0,0), przekształcenie jest szczególnie proste.

Obrazem punktu A(x,y) w symetrii środkowej względem punktu O(0,0) jest punkt A'−x,−y-x, -y. Innymi słowy, zmieniamy znaki obu współrzędnych. Symetria środkowa zachowuje kształt i wielkość figury, zmienia jedynie jej położenie.

Przykładowo, jeśli mamy odcinek AB, gdzie A−4,3-4,3 i B(3,5), to po symetrii środkowej względem O(0,0) otrzymamy odcinek A'B', gdzie A'4,−34,-3 i B'−3,−5-3,-5.

Zapamiętaj! Symetria środkowa to jakby "obrót o 180°" wokół punktu O. Punkt O jest jedynym punktem, który pozostaje na swoim miejscu.

Symetria środkowa względem punktu (0,0) – strona 2

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę.
To nic nie kosztuje!

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Symetria środkowa funkcji

Gdy wykres funkcji y=fxx przekształcimy przez symetrię środkową względem początku układu współrzędnych, otrzymamy wykres nowej funkcji gxx=-f−x-x. Ta zależność jest bardzo przydatna przy rozwiązywaniu zadań.

Zobaczmy to na przykładzie. Jeśli mamy funkcję fxx=x, gdzie x ∈ (-∞, -1], to po symetrii środkowej otrzymamy funkcję gxx=-f−x-x=-−x-x=x, gdzie x ∈ [1, +∞). Jak widać, dostaliśmy tę samą funkcję liniową, ale na innym przedziale.

W praktyce po przekształceniu funkcji przez symetrię środkową, nowa funkcja jest jakby "odwróconym odbiciem" oryginalnej funkcji. Dziedzina i zbiór wartości również ulegają odpowiednim przekształceniom.

Wskazówka praktyczna: Przy przekształcaniu funkcji przez symetrię środkową, zawsze stosuj wzór gxx=-f−x-x - to bardzo ułatwi ci zadania!

Symetria środkowa względem punktu (0,0) – strona 3

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę.
To nic nie kosztuje!

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Przekształcanie złożonych funkcji

Przekształcenie przez symetrię środkową możemy zastosować również do bardziej skomplikowanych funkcji. Stosujemy tę samą zasadę podstawiając -x zamiast x, a następnie mnożąc całe wyrażenie przez -1.

Dla funkcji kwadratowej fxx=x²+5x-3, po symetrii środkowej względem punktu O(0,0) otrzymujemy: gxx=-f−x-x=-(−x)2+5(−x)−3(-x)²+5(-x)-3=-x2−5x−3x²-5x-3=-x²+5x+3

Zwróć uwagę na zmiany w znakach wyrazów. Znak przy x² zmienił się na przeciwny, przy wyrazie z x znak pozostał ten sam, a wyraz wolny również zmienił znak. Wynika to z konsekwentnego stosowania wzoru gxx=-f−x-x.

Haczyk: Przy przekształcaniu funkcji kwadratowej przez symetrię środkową, pamiętaj o właściwym rozpisaniu wszystkich kroków. Łatwo popełnić błąd przy zmianie znaków!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Matematyka

Właściwości Funkcji: Monotoniczność i Parzystość

Zrozumienie właściwości funkcji: monotoniczność, różnowartościowość, parzystość i nieparzystość. Przykłady obliczeń oraz kluczowe definicje, które pomogą w analizie funkcji matematycznych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

36798
Matematyka

Przekształcenia funkcji i wektorów

Zrozumienie przekształceń wykresów funkcji oraz geometrii wektorowej. Obejmuje symetrię osiową, symetrię środkową, przesunięcia równoległe oraz ich wpływ na kształt i wielkość figur. Idealne dla uczniów klasy II szkoły średniej.

1181728
Matematyka

Właściwości Funkcji Matematycznych

Zgłębiaj kluczowe pojęcia dotyczące funkcji matematycznych, w tym dziedzinę, miejsca zerowe oraz różnice między funkcjami parzystymi i nieparzystymi. Ta notatka dostarcza jasnych definicji i przykładów, które pomogą w zrozumieniu podstawowych właściwości funkcji. Idealna dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

1208931
Matematyka

Własności Funkcji Matematycznych

Zrozumienie funkcji matematycznych: ich definicje, właściwości, monotoniczność oraz różnice między funkcjami parzystymi i nieparzystymi. Idealne dla uczniów na poziomie rozszerzonym. Obejmuje grafy, dziedziny oraz zbiory wartości.

1362379
Matematyka

Wzory na pole kwadratu i prostokąta

Zrozumienie wzorów na pole kwadratu i prostokąta z przykładami obliczeń. Dowiedz się, jak obliczyć pole kwadratu (P = a²) oraz prostokąta (P = a*b) i zobacz praktyczne zastosowania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

5 SP179552
Matematyka

Podstawowe figury geometryczne

Zrozum podstawowe figury geometryczne, takie jak kwadrat, prostokąt, trójkąt, romb, prostopadłościan, sześcian i kula. Ta prezentacja dostarcza kluczowych informacji o ich właściwościach i zastosowaniach w geometrii. Idealna dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

23944
Zobacz więcej

Najpopularniejsze notatki: Funkcja nieparzysta

Matematyka

Właściwości Funkcji Matematycznych

Zgłębiaj kluczowe pojęcia dotyczące funkcji matematycznych, w tym dziedzinę, miejsca zerowe oraz różnice między funkcjami parzystymi i nieparzystymi. Ta notatka dostarcza jasnych definicji i przykładów, które pomogą w zrozumieniu podstawowych właściwości funkcji. Idealna dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

1208931
Matematyka

Własności Funkcji Matematycznych

Zrozumienie funkcji matematycznych: ich definicje, właściwości, monotoniczność oraz różnice między funkcjami parzystymi i nieparzystymi. Idealne dla uczniów na poziomie rozszerzonym. Obejmuje grafy, dziedziny oraz zbiory wartości.

1362379
Matematyka

Właściwości Funkcji: Monotoniczność i Parzystość

Zrozumienie właściwości funkcji: monotoniczność, różnowartościowość, parzystość i nieparzystość. Przykłady obliczeń oraz kluczowe definicje, które pomogą w analizie funkcji matematycznych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

36798

Najpopularniejsze notatki: Matematyka

Matematyka

Nwd i nww

Obliczanie i wyjasnienie nww oraz nwd

6 SP499998
Matematyka

Ułamki Dziesiętne: Operacje

Zrozumienie ułamków dziesiętnych: ich zapis, konwersja na ułamki zwykłe oraz podstawowe operacje matematyczne, takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Przykłady i szczegółowe wyjaśnienia dla uczniów. Typ: Podsumowanie.

6 SP22 009649
Matematyka

Analiza Funkcji Kwadratowej

Zrozumienie funkcji kwadratowej, jej właściwości, miejsca zerowe oraz zastosowanie w rozwiązywaniu równań. Materiał obejmuje przykłady, wzory oraz metody analizy funkcji kwadratowej w kontekście geometrii i algebraicznych równań. Typ: Podsumowanie.

172 8743221
Matematyka

Cechy Podzielności Liczb

Zrozum zasady podzielności liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych i niewymiernych. Dowiedz się, jak rozpoznawać liczby parzyste i nieparzyste oraz zastosować reguły podzielności w praktyce. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

7 SP192639
Matematyka

Tabliczka mnożenia od 1 do 100 Klasa 1-4

Tabliczka mnożenia do nauki dla klas 1-4

8 SP378136
Matematyka

Rodzaje Liczb Matematycznych

Odkryj różne rodzaje liczb w matematyce: przeciwne, odwrotne, pierwsze, złożone, naturalne, całkowite, wymierne, niewymierne, rzeczywiste, parzyste i nieparzyste. Zrozum definicje i przykłady dla każdego typu liczby. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

6 SP7705194
Matematyka

LICZBY NATURALNE

📘 Notatka dotyczy liczb naturalnych. Idealna do szybkiej powtórki przed sprawdzianem lub maturą. Proste wyjaśnienia, uporządkowana teoria i przykłady ułatwiające zrozumienie. #matematyka #liczbyNaturalne #matura #egzamin #wiedza #powtórka

1153329
Matematyka

NWD i NWW: Metody Obliczeń

Zrozumienie i obliczanie NWD (największy wspólny dzielnik) oraz NWW (najmniejsza wspólna wielokrotność) z zastosowaniem różnych metod. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Obejmuje przykłady i praktyczne zadania.

7 SP27 3431726
Matematyka

Funkcja liniowa

Zakres podstawowy

1104525

Najpopularniejsze notatki

Biologia

Budowa i funkcje skóry

Szczegółowa notatka z biologii dla klas 7, podręcznik wydawnictwa nowej ery - Puls życia. Temat: Budowa i funkcje skóry.

7 SP6242190
Język polski

Inny Świat: Wspomnienia z Jercewa

Odkryj 'Inny Świat' Gustawa Herlinga-Grudzińskiego, autobiograficzną powieść dokumentalną, która ukazuje brutalne realia życia w radzieckim obozie pracy. Autor, oskarżony o szpiegostwo, dzieli się swoimi przeżyciami, refleksjami na temat ludzkiej psychiki oraz relacjami z innymi więźniami. Poznaj głębokie analizy moralności, cierpienia i nadziei w nieludzkich warunkach. Idealne dla studentów literatury i historii, którzy pragną zrozumieć kontekst wojenny i totalitarny.

313 342307
Język polski

Antyk / Starożytność

ramy czasowe, cywilizację, sztuka antyczna, cechy literatury, szkoły filozoficzne, filozofowie, wzorce osobowe, budowa teatru, budowa tragedii antycznej i jej cechy

110 388190
Język angielski

Czasy w Języku Angielskim

Kompleksowe notatki dotyczące podstawowych czasów w języku angielskim, idealne dla maturzystów 2025. Zawierają szczegółowe omówienie Present Simple, Present Continuous, Past Simple, Past Perfect i innych, z przykładami i zasadami użycia. Przygotuj się skutecznie do egzaminu z tym 46-stronicowym materiałem!

423 7891219
Język polski

Mity Greckie: Kluczowe Opowieści

Zanurz się w fascynujący świat mitologii greckiej. Odkryj kluczowe mity, takie jak historia Prometeusza, Demeter i Persefony, oraz Syzyfa. Poznaj bogów, herosów i ich niezwykłe przygody, które kształtowały wierzenia starożytnych Greków. Idealne dla studentów literatury i mitologii.

135 7521182
Język polski

Edelman i Powstanie w Getcie

Analiza lektury 'Zdążyć przed Panem Bogiem' Hanny Krall, koncentrująca się na tematach takich jak etyka, cierpienie, oraz heroizm w kontekście powstania w warszawskim getcie. Opracowanie omawia genezę, problematykę oraz kluczowe postacie, w tym Marka Edelmana, ukazując złożoność wyborów moralnych w obliczu Holokaustu.

312 887301
Język polski

Walka o Godność w Getcie

Analiza 'Zdążyć przed Panem Bogiem' Hanny Krall, koncentrująca się na powstaniu w warszawskim getcie oraz dążeniu do godnej śmierci. Obejmuje kluczowe wydarzenia, postacie oraz filozoficzne refleksje dotyczące ludzkiej motywacji i cierpienia. Typ: reportaż.

1113 4255270
Język angielski

Czasy w języku angielskim na egzamin ósmoklasisty.

Wszystkie czasy na egzamin ósmoklasisty z języka angielskiego (2025)!<3

8 SP12 383334
Język polski

Części Mowy: Odmienne i Nieodmienne

Zrozumienie części mowy w języku polskim: szczegółowe omówienie odmiennej (rzeczownik, przymiotnik, czasownik, liczebnik, zaimek) oraz nieodmiennej (przysłówek, spójnik, przyimek, partykuła, wykrzyknik) części mowy. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów lub chcących pogłębić wiedzę o gramatyce.

6 SP31 9311241

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas, pokochasz też i Ty.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Stefan Sużytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Samantha Klichużytkownik Androida

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Annaużytkownik iOS

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.