Funkcje trygonometryczne dla dowolnego kąta płaskiego

Ta strona rozszerza koncepcje trygonometryczne na dowolne kąty płaskie, wykorzystując układ współrzędnych. Wyjaśniono, jak definiować funkcje trygonometryczne kąta wypukłego w oparciu o położenie punktu P$x,y$ w układzie współrzędnych. Przedstawiono również znaki wartości funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych.

Przykład: Dla punktu P$x,y$ w układzie współrzędnych, sinus kąta α definiujemy jako stosunek y do r, gdzie r to odległość punktu P od początku układu współrzędnych.

Highlight: Tangens kąta nie istnieje dla 90° i 270°, a cotangens nie istnieje dla 0° i 180°.

Tożsamości trygonometryczne i wzory redukcyjne

Na tej stronie omówiono kluczowe tożsamości trygonometryczne oraz wzory redukcyjne trygonometria. Przedstawiono definicję kąta skierowanego i jego orientację na płaszczyźnie. Zaprezentowano wzory redukcyjne dla różnych przedziałów kątowych, co jest niezwykle przydatne w rozwiązywaniu bardziej złożonych problemów trygonometrycznych.

Definicja: Kątem skierowanym nazywamy uporządkowaną parę półprostych o wspólnym początku, gdzie pierwszą półprostą nazywamy ramieniem początkowym, a drugą ramieniem końcowym.

Przykład: Wzór redukcyjny dla sinusa: sin$90°+α$ = cosα, gdzie α należy do przedziału $0°, 90°$.

Uogólniony kąt skierowany i miara łukowa

Ta strona wprowadza pojęcie uogólnionego kąta skierowanego oraz miary łukowej kąta. Wyjaśniono, jak obliczać miarę łukową kąta i jak zamieniać miarę stopniową na łukową. Przedstawiono również koło trygonometryczne i jego zastosowanie w obliczeniach trygonometrycznych.

Definicja: Miara łukowa kąta to stosunek długości łuku, na którym oparty jest kąt, do długości promienia okręgu, dla którego kąt α jest kątem środkowym.

Highlight: Jednostką miary łukowej jest radian $rad$, który wynosi około 57°. Miara łukowa kąta prostego wynosi π/2.

Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej

Na tej stronie omówiono funkcje trygonometryczne kąta wypukłego jako funkcje zmiennej rzeczywistej. Przedstawiono definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa w kontekście zmiennej rzeczywistej. Zaprezentowano również wzory redukcyjne dla kątów większych niż 360°.

Przykład: Wzór redukcyjny dla cosinusa: cos$π+α$ = -cosα, gdzie α jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Highlight: Sinus i cosinus mają wartości określone dla każdej liczby rzeczywistej, podczas gdy tangens nie jest określony dla liczb postaci $π/2 + kπ$, a cotangens dla kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą.

Wzory redukcyjne dla kątów większych niż 90°

Wzory redukcyjne trygonometria dla kątów większych niż 90° pozwalają na przekształcenie funkcji trygonometrycznych tych kątów do funkcji kątów ostrych:

• sin$π + α$ = -sinα
• cos$π + α$ = -cosα
• tg$π + α$ = tgα
• ctg$π + α$ = ctgα

Highlight: Sinus i cosinus mają określone wartości dla każdej liczby rzeczywistej, natomiast tangens nie jest określony dla liczb postaci $π/2 + kπ$, a cotangens dla kπ, gdzie k ∈ Z.

Example: Obliczając sin$210°$, możemy użyć wzoru redukcyjnego: sin$210°$ = sin$180° + 30°$ = -sin$30°$ = -1/2

Te wzory są niezwykle przydatne w rozwiązywaniu zadań z funkcjami trygonometrycznymi kąta rozwartego i funkcjami trygonometrycznymi kąta wypukłego.

Page 6: Parity of Trigonometric Functions

This page discusses even and odd properties of trigonometric functions.

Definition: A function f is even if f$-x$ = f$x$, and odd if f$-x$ = -f$x$

Highlight: Properties of sine and cosine functions:

• Domain = R
• Range = $-1,1$
• Maximum value = 1
• Minimum value = -1

Podstawy trygonometrii i kąty ostre

Ta strona wprowadza podstawowe pojęcia trygonometrii, skupiając się na funkcjach trygonometrycznych kąta ostrego. Przedstawiono definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa w odniesieniu do trójkąta prostokątnego. Omówiono również kluczowe tożsamości trygonometryczne, takie jak sin²α + cos²α = 1. Strona zawiera tabelę z ważnymi wartościami funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45° i 60°.

Definicja: Tangens kąta to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do przyprostokątnej przyległej do kąta.

Highlight: Znajomość wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45° i 60° jest kluczowa w rozwiązywaniu wielu zadań z trygonometrii.