Otwórz

Natalia Rosołek

15.09.2022

Matematyka

trygonometria (+rozsz)

Przedmioty

Matematyka

Trygonometria

Związki między funkcjami trygonometrycznymi

Wyznaczanie wartości funkcji kąta ostrego znając wartość sinus

Zabawa z Trygonometrią: Wzory i Funkcje

Trygonometria to dział matematyki zajmujący się funkcjami trygonometrycznymi kątów. Obejmuje ona:

Definicje i własności funkcji trygonometrycznych (sinus, cosinus, tangens, cotangens)
Funkcje trygonometryczne współrzędne punktu na okręgu jednostkowym
Wzory trygonometryczne dla kątów ostrych i dowolnych
Wykresy funkcji trygonometrycznych
Zastosowania trygonometrii w geometrii i fizyce

• Funkcje trygonometryczne są okresowe i mają charakterystyczne własności w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych
• Kluczowe jest zrozumienie definicji funkcji trygonometrycznych na okręgu jednostkowym
• Znajomość podstawowych wzorów i tożsamości trygonometrycznych jest niezbędna do rozwiązywania zadań

15.09.2022

<h2 id="trigonometricfunctionsandequations">Trigonometric Functions and Equations</h2>
<p>Trigonometric functions are mathematical function

Zobacz

Wzory redukcyjne i funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

Ta część dokumentu skupia się na wzorach redukcyjnych trygonometria oraz na definicjach funkcji trygonometrycznych dla dowolnego kąta. Przedstawiono tu wzory na sinus i cosinus kąta podwojonego.

Vocabulary: Wzory redukcyjne to formuły pozwalające przekształcić funkcje trygonometryczne kątów większych niż 90° na funkcje kątów ostrych.

Wprowadzono definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta w układzie współrzędnych, co jest kluczowe dla zrozumienia funkcji trygonometrycznych w układzie współrzędnych.

Definition: Dla dowolnego kąta α w układzie współrzędnych, sin α = y/√(x²+y²), cos α = x/√(x²+y²), gdzie (x,y) to współrzędne punktu na końcowym ramieniu kąta.

Dokument podkreśla również ważne właściwości funkcji trygonometrycznych, takie jak ograniczenia ich wartości.

Highlight: sin α i cos α są zawsze liczbami z przedziału [-1, 1], podczas gdy tg α i ctg α mogą przyjmować dowolne wartości rzeczywiste (z wyjątkiem pewnych kątów, dla których nie są określone).

Zobacz

Funkcje trygonometryczne w różnych ćwiartkach układu współrzędnych

Ta część dokumentu szczegółowo omawia zachowanie funkcji trygonometrycznych w różnych ćwiartkach układu współrzędnych. Jest to kluczowe dla zrozumienia funkcji trygonometrycznych kąta rozwartego.

Vocabulary: Ćwiartki trygonometria odnosi się do czterech części układu współrzędnych, w których funkcje trygonometryczne mają różne znaki.

Dokument przedstawia tabelę znaków funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach, co jest niezwykle pomocne przy rozwiązywaniu zadań.

Highlight: W pierwszej ćwiartce wszystkie funkcje trygonometryczne są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus.

Przedstawiono również wzory redukcyjne trygonometria dla kątów w różnych ćwiartkach, co pozwala na obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnych kątów.

Example: sin(180° - α) = sin α, cos(180° - α) = -cos α

Zobacz

Kąt skierowany i radian

Ta część dokumentu wprowadza pojęcie kąta skierowanego i radiana, co jest istotne dla zrozumienia trygonometrii wzory podstawowe.

Definition: Kąt skierowany to kąt, którego ramię końcowe może obracać się w kierunku dodatnim (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) lub ujemnym (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).

Dokument wyjaśnia również pojęcie radiana, które jest kluczowe w zaawansowanej trygonometrii.

Vocabulary: Radian to miara kąta, w której kąt pełny (360°) ma miarę 2π.

Przedstawiono także związek między stopniami a radianami, co jest często wykorzystywane w obliczeniach trygonometrycznych.

Example: π radianów = 180°, π/2 radianów = 90°

Zobacz

Okresowość funkcji trygonometrycznych

Ta część dokumentu skupia się na okresowości funkcji trygonometrycznych, co jest kluczowe dla zrozumienia ich zachowania.

Definition: Funkcja okresowa to taka funkcja, której wartości powtarzają się regularnie co pewien interwał, zwany okresem funkcji.

Dokument przedstawia okresy podstawowych funkcji trygonometrycznych:

Highlight: Okres funkcji sinus i cosinus wynosi 2π, podczas gdy okres funkcji tangens i cotangens wynosi π.

Wprowadzono również pojęcie funkcji parzystych i nieparzystych, co jest istotne przy analizie wykresów funkcji trygonometrycznych.

Example: Funkcja sinus jest funkcją nieparzystą: sin(-x) = -sin(x), podczas gdy funkcja cosinus jest funkcją parzystą: cos(-x) = cos(x).

Zobacz

Wykresy i właściwości funkcji trygonometrycznych

Ostatnia część dokumentu przedstawia wykresy i kluczowe właściwości funkcji trygonometrycznych, co jest niezbędne do zrozumienia ich zachowania i zastosowań.

Highlight: Wykresy funkcji sinus i cosinus są ciągłe i okresowe, podczas gdy wykresy funkcji tangens i cotangens mają punkty nieciągłości.

Dokument omawia dziedziny, zbiory wartości, miejsca zerowe i przedziały monotoniczności funkcji trygonometrycznych.

Example: Dla funkcji y = sin x, dziedzina to R, zbiór wartości to [-1, 1], miejsca zerowe to x = kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą.

Przedstawiono również ekstremalne wartości funkcji trygonometrycznych i kąty, dla których są one osiągane.

Vocabulary: Wartości funkcji trygonometrycznych ekstremalne to maksymalne i minimalne wartości, jakie może przyjąć dana funkcja trygonometryczna.

Ta część dokumentu jest kluczowa dla zrozumienia, jak obliczyć kąt z cosinusa lub innych funkcji trygonometrycznych, co jest często wykorzystywane w praktycznych zastosowaniach trygonometrii.

Zobacz

Podsumowanie najważniejszych wzorów i własności

Trygonometria to obszerna dziedzina matematyki, która wymaga znajomości wielu wzorów i zależności. Oto najważniejsze z nich:

Podstawowe tożsamości trygonometryczne:
- sin²x + cos²x = 1
- tg x = sin x / cos x
- ctg x = cos x / sin x
Wzory na sinus i cosinus kąta skierowanego:
- sin(-x) = -sin x
- cos(-x) = cos x
Wzory redukcyjne dla kątów w różnych ćwiartkach:
- sin(π - x) = sin x
- cos(π - x) = -cos x
- tg(π - x) = -tg x
Wzory na funkcje kąta podwojonego:
- sin 2x = 2 sin x cos x
- cos 2x = cos²x - sin²x = 2cos²x - 1
Okresy funkcji trygonometrycznych:
- T₀(sin x) = T₀(cos x) = 2π
- T₀(tg x) = T₀(ctg x) = π

Highlight: Znajomość tych wzorów jest kluczowa dla efektywnego rozwiązywania zadań z trygonometrii kąty ostre wzory.

Warto również pamiętać o związkach między miarą stopniową a łukową kątów oraz o wartościach funkcji trygonometrycznych dla charakterystycznych kątów (30°, 45°, 60°).

Example: π/6 rad = 30°, sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2

Zrozumienie tych koncepcji i wzorów pozwala na swobodne operowanie funkcjami trygonometrycznymi współrzędne punktu w różnych dziedzinach matematyki i nauk ścisłych.

Podobne notatki

689

4/1

Trygonometria

Maturalne notatki z matematyki z trygonometrii. Podstawowe własności i wzory redukcyjne, miara łukowa, funkcje trygonometryczne, ważne wzory i przekształcenia.

851

Tablice wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych

Niektóre wartości funkcji trygonometrycznych, tożsamość trygonometryczna, związki między kątami tego samego kąta, tabela znaków, wzory redukcyjne, okresowość funkcji

Know Trygonometria - Podstawy Trygonometrii w pigułce thumbnail

2708

8/1

Trygonometria - Podstawy Trygonometrii w pigułce

Totlnie podstawowe info z trygonometrii + zadania w pigułce

1599

1/2

Trygonometria

Najważniejsze wzory matematyczne z zakresu trygonometrii.

Know Związki między funkcjami trygonometrycznymi thumbnail

1314

1/2

Związki między funkcjami trygonometrycznymi

327

8232

4/2

trygonometria -zadania

rozwiazywanie trojkąta prostokątnego,

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

20 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

Matematyka

Trygonometria

Związki między funkcjami trygonometrycznymi

Wyznaczanie wartości funkcji kąta ostrego znając wartość sinus

Zabawa z Trygonometrią: Wzory i Funkcje

Natalia Rosołek

@nataliarosoek_awja

1 Obserwujący

Obserwuj

Trygonometria to dział matematyki zajmujący się funkcjami trygonometrycznymi kątów. Obejmuje ona:

Definicje i własności funkcji trygonometrycznych (sinus, cosinus, tangens, cotangens)
Funkcje trygonometryczne współrzędne punktu na okręgu jednostkowym
Wzory trygonometryczne dla kątów ostrych i dowolnych
Wykresy funkcji trygonometrycznych
Zastosowania trygonometrii w geometrii i fizyce

...

15.09.2022

3745

1/2

Matematyka

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wzory redukcyjne i funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

Vocabulary: Wzory redukcyjne to formuły pozwalające przekształcić funkcje trygonometryczne kątów większych niż 90° na funkcje kątów ostrych.

Wprowadzono definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta w układzie współrzędnych, co jest kluczowe dla zrozumienia funkcji trygonometrycznych w układzie współrzędnych.

Definition: Dla dowolnego kąta α w układzie współrzędnych, sin α = y/√(x²+y²), cos α = x/√(x²+y²), gdzie (x,y) to współrzędne punktu na końcowym ramieniu kąta.

Dokument podkreśla również ważne właściwości funkcji trygonometrycznych, takie jak ograniczenia ich wartości.

Highlight: sin α i cos α są zawsze liczbami z przedziału [-1, 1], podczas gdy tg α i ctg α mogą przyjmować dowolne wartości rzeczywiste (z wyjątkiem pewnych kątów, dla których nie są określone).

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Funkcje trygonometryczne w różnych ćwiartkach układu współrzędnych

Vocabulary: Ćwiartki trygonometria odnosi się do czterech części układu współrzędnych, w których funkcje trygonometryczne mają różne znaki.

Dokument przedstawia tabelę znaków funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach, co jest niezwykle pomocne przy rozwiązywaniu zadań.

Highlight: W pierwszej ćwiartce wszystkie funkcje trygonometryczne są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus.

Przedstawiono również wzory redukcyjne trygonometria dla kątów w różnych ćwiartkach, co pozwala na obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnych kątów.

Example: sin(180° - α) = sin α, cos(180° - α) = -cos α

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Kąt skierowany i radian

Ta część dokumentu wprowadza pojęcie kąta skierowanego i radiana, co jest istotne dla zrozumienia trygonometrii wzory podstawowe.

Definition: Kąt skierowany to kąt, którego ramię końcowe może obracać się w kierunku dodatnim (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) lub ujemnym (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).

Dokument wyjaśnia również pojęcie radiana, które jest kluczowe w zaawansowanej trygonometrii.

Vocabulary: Radian to miara kąta, w której kąt pełny (360°) ma miarę 2π.

Przedstawiono także związek między stopniami a radianami, co jest często wykorzystywane w obliczeniach trygonometrycznych.

Example: π radianów = 180°, π/2 radianów = 90°

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Okresowość funkcji trygonometrycznych

Ta część dokumentu skupia się na okresowości funkcji trygonometrycznych, co jest kluczowe dla zrozumienia ich zachowania.

Definition: Funkcja okresowa to taka funkcja, której wartości powtarzają się regularnie co pewien interwał, zwany okresem funkcji.

Dokument przedstawia okresy podstawowych funkcji trygonometrycznych:

Highlight: Okres funkcji sinus i cosinus wynosi 2π, podczas gdy okres funkcji tangens i cotangens wynosi π.

Wprowadzono również pojęcie funkcji parzystych i nieparzystych, co jest istotne przy analizie wykresów funkcji trygonometrycznych.

Example: Funkcja sinus jest funkcją nieparzystą: sin(-x) = -sin(x), podczas gdy funkcja cosinus jest funkcją parzystą: cos(-x) = cos(x).

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wykresy i właściwości funkcji trygonometrycznych

Ostatnia część dokumentu przedstawia wykresy i kluczowe właściwości funkcji trygonometrycznych, co jest niezbędne do zrozumienia ich zachowania i zastosowań.

Highlight: Wykresy funkcji sinus i cosinus są ciągłe i okresowe, podczas gdy wykresy funkcji tangens i cotangens mają punkty nieciągłości.

Dokument omawia dziedziny, zbiory wartości, miejsca zerowe i przedziały monotoniczności funkcji trygonometrycznych.

Example: Dla funkcji y = sin x, dziedzina to R, zbiór wartości to [-1, 1], miejsca zerowe to x = kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą.

Przedstawiono również ekstremalne wartości funkcji trygonometrycznych i kąty, dla których są one osiągane.

Vocabulary: Wartości funkcji trygonometrycznych ekstremalne to maksymalne i minimalne wartości, jakie może przyjąć dana funkcja trygonometryczna.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podsumowanie najważniejszych wzorów i własności

Trygonometria to obszerna dziedzina matematyki, która wymaga znajomości wielu wzorów i zależności. Oto najważniejsze z nich:

Podstawowe tożsamości trygonometryczne:
- sin²x + cos²x = 1
- tg x = sin x / cos x
- ctg x = cos x / sin x
Wzory na sinus i cosinus kąta skierowanego:
- sin(-x) = -sin x
- cos(-x) = cos x
Wzory redukcyjne dla kątów w różnych ćwiartkach:
- sin(π - x) = sin x
- cos(π - x) = -cos x
- tg(π - x) = -tg x
Wzory na funkcje kąta podwojonego:
- sin 2x = 2 sin x cos x
- cos 2x = cos²x - sin²x = 2cos²x - 1
Okresy funkcji trygonometrycznych:
- T₀(sin x) = T₀(cos x) = 2π
- T₀(tg x) = T₀(ctg x) = π

Highlight: Znajomość tych wzorów jest kluczowa dla efektywnego rozwiązywania zadań z trygonometrii kąty ostre wzory.

Warto również pamiętać o związkach między miarą stopniową a łukową kątów oraz o wartościach funkcji trygonometrycznych dla charakterystycznych kątów (30°, 45°, 60°).

Example: π/6 rad = 30°, sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2

Zrozumienie tych koncepcji i wzorów pozwala na swobodne operowanie funkcjami trygonometrycznymi współrzędne punktu w różnych dziedzinach matematyki i nauk ścisłych.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawowe definicje i wzory trygonometryczne

Dokument rozpoczyna się od przedstawienia podstawowych definicji i wzorów trygonometrycznych. Omówiono tu funkcje trygonometryczne kąta ostrego, takie jak sinus, cosinus, tangens i cotangens.

Definicja: Sinus, cosinus, tangens i cotangens to podstawowe funkcje trygonometryczne, które opisują relacje między bokami trójkąta prostokątnego.

Przedstawiono również ważne zależności między funkcjami trygonometrycznymi, takie jak:

Highlight: Tangens = sin/cos, co jest jednym z podstawowych wzorów trygonometrycznych.

Dokument zawiera także informacje o wartościach funkcji trygonometrycznych dla charakterystycznych kątów, takich jak 30°, 45° i 60°.

Example: sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tg 60° = √3

Na tej stronie wprowadzono również pojęcie jedynki trygonometrycznej, która jest fundamentalnym związkiem między funkcjami trygonometrycznymi.

Podobne notatki

Matematyka - Trygonometria

Maturalne notatki z matematyki z trygonometrii. Podstawowe własności i wzory redukcyjne, miara łukowa, funkcje trygonometryczne, ważne wzory i przekształcenia.

689

Matematyka - Tablice wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych

Niektóre wartości funkcji trygonometrycznych, tożsamość trygonometryczna, związki między kątami tego samego kąta, tabela znaków, wzory redukcyjne, okresowość funkcji

851

Matematyka - Trygonometria - Podstawy Trygonometrii w pigułce

Totlnie podstawowe info z trygonometrii + zadania w pigułce

2708

Matematyka - Trygonometria

Najważniejsze wzory matematyczne z zakresu trygonometrii.

1599

Matematyka - Związki między funkcjami trygonometrycznymi

Związki między funkcjami trygonometrycznymi

1314

Matematyka - trygonometria -zadania

rozwiazywanie trojkąta prostokątnego,

327

8232

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

4.9+

Średnia ocena aplikacji

20 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS