Przedmioty

Przedmioty

Więcej

Szukaj

Knowunity Pro

AI Knowunity

Przedmioty

/

Matematyka

/

Wielomiany

/

Rozkład wielomianu na czynniki

/

Sposoby rozkładu wielomianu na czynniki

Poznaj Twierdzenie Bézouta i Schemat Hornera: Zadania i Tabelki

Zobacz

Poznaj Twierdzenie Bézouta i Schemat Hornera: Zadania i Tabelki
user profile picture

Małgorzata Pietrzak

@magorzatapietrzak_rffo

·

141 Obserwujących

Obserwuj

Wielomiany to fundamentalne pojęcie w algebrze, obejmujące wyrażenia algebraiczne składające się z sumy jednomianów. Dokument omawia kluczowe aspekty wielomianów, w tym ich definicję, równość, dzielenie, pierwiastki oraz funkcje wielomianowe.

• Przedstawiono wzory na sześciany sum i różnic oraz różnicę sześcianów.
• Omówiono Twierdzenie Bézouta i jego zastosowanie do znajdowania pierwiastków wielomianów.
• Wyjaśniono schemat Hornera jako efektywną metodę dzielenia wielomianów.
• Zaprezentowano metody wyznaczania pierwiastków wymiernych i wielokrotnych wielomianów.
• Opisano rozkład wielomianów na czynniki i szkicowanie wykresów funkcji wielomianowych.

25.09.2022

11989

WIELOMIANY 1. Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej W(x) = anx" + an-1 X^-1 +. + a₂x Ao • Sześcian (a - b)³ = 3 ² An Sześcian sumy 3 (a +

Zobacz

Rozkład wielomianów i funkcje wielomianowe

Ostatnia część dokumentu omawia rozkład wielomianów na czynniki oraz szkicowanie wykresów funkcji wielomianowych.

Definition: Wielomian rozkładalny to wielomian różny od wielomianu zerowego, który można przedstawić jako iloczyn wielomianów o stopniu mniejszym od jego stopnia.

Dokument przedstawia metodę szkicowania wykresu funkcji wielomianowej, zwracając uwagę na znaczenie krotności pierwiastków:

Highlight: Pierwiastki o nieparzystej krotności powodują przebicie wykresu przez oś x, podczas gdy pierwiastki o parzystej krotności powodują odbicie wykresu od osi x.

Przedstawiono również twierdzenie o rozkładzie, które mówi o istnieniu ilorazu i reszty przy dzieleniu wielomianów:

Quote: "Jeśli W(x) oraz P(x) są wielomianami i P(x) nie jest wielomianem zerowym, to istnieją dwa wielomiany Q(x) oraz R(x), dla których W(x) = P(x) · Q(x) + R(x), gdzie R(x) = 0 lub st. R(x) < st. P(x)"

To twierdzenie jest fundamentalne dla zrozumienia struktury wielomianów i ich właściwości algebraicznych.

WIELOMIANY 1. Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej W(x) = anx" + an-1 X^-1 +. + a₂x Ao • Sześcian (a - b)³ = 3 ² An Sześcian sumy 3 (a +

Zobacz

Dzielenie wielomianów i Twierdzenie Bézouta

Ta część dokumentu skupia się na metodach dzielenia wielomianów oraz na Twierdzeniu Bézouta, które jest kluczowe dla zrozumienia pierwiastków wielomianów.

Example: Przedstawiono przykład dzielenia wielomianu 3x^3 + 2x^2 - 3x + 16 przez dwumian x + 2 za pomocą schematu Hornera.

Schemat Hornera jest efektywną metodą dzielenia wielomianów, która pozwala na szybkie obliczenie wartości wielomianu dla danego argumentu oraz na znalezienie ilorazu i reszty z dzielenia.

Definition: Pierwiastek wielomianu to liczba rzeczywista a, dla której W(a) = 0.

Twierdzenie Bézouta stanowi, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian jest podzielny przez dwumian x - a. To twierdzenie jest fundamentalne dla analizy pierwiastków wielomianów.

Highlight: Twierdzenie Bézouta łączy pojęcie pierwiastka wielomianu z jego podzielnością przez odpowiedni dwumian.

Dokument przedstawia również wzory Viète'a dla wielomianu trzeciego stopnia, które wiążą współczynniki wielomianu z sumami i iloczynami jego pierwiastków.

WIELOMIANY 1. Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej W(x) = anx" + an-1 X^-1 +. + a₂x Ao • Sześcian (a - b)³ = 3 ² An Sześcian sumy 3 (a +

Zobacz

Podstawy wielomianów

Dokument rozpoczyna się od wprowadzenia pojęcia wielomianu jednej zmiennej rzeczywistej. Wielomian jest przedstawiony w postaci ogólnej jako suma wyrazów o malejących potęgach zmiennej x, pomnożonych przez odpowiednie współczynniki.

Definicja: Wielomian jednej zmiennej rzeczywistej to wyrażenie algebraiczne postaci W(x) = anx^n + an-1x^(n-1) + ... + a2x^2 + a1x + a0, gdzie an, an-1, ..., a2, a1, a0 są współczynnikami wielomianu.

Przedstawiono również kilka ważnych wzorów dotyczących sześcianów:

Highlight: • Sześcian sumy: (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 • Sześcian różnicy: (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 • Różnica sześcianów: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Dokument omawia także pojęcie równości wielomianów, podkreślając, że dwa wielomiany są równe, gdy mają ten sam stopień i równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x.

Vocabulary: Wielomian zerowy to wielomian, którego wszystkie współczynniki są równe zero.

WIELOMIANY 1. Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej W(x) = anx" + an-1 X^-1 +. + a₂x Ao • Sześcian (a - b)³ = 3 ² An Sześcian sumy 3 (a +

Zobacz

Pierwiastki wymierne i wielokrotne wielomianów

Ta sekcja dokumentu koncentruje się na analizie pierwiastków wymiernych wielomianów o współczynnikach całkowitych oraz na koncepcji pierwiastków wielokrotnych.

Definition: Pierwiastek wymierny wielomianu to pierwiastek, który można wyrazić jako ułamek p/q, gdzie p i q są liczbami całkowitymi, a q ≠ 0.

Przedstawiono twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych, które ogranicza możliwe wartości licznika i mianownika pierwiastka wymiernego.

Example: Dla wielomianu W(x) = 2x^3 - 2x^2 - 2x - 4, potencjalne pierwiastki wymierne to ±1, ±2, ±4 (licznik) podzielone przez ±1, ±2 (mianownik).

Dokument wprowadza również pojęcie pierwiastka wielokrotnego:

Definition: Pierwiastek k-krotny wielomianu W(x) to taki pierwiastek a, dla którego wielomian jest podzielny przez (x - a)^k, ale nie jest podzielny przez (x - a)^(k+1).

Highlight: Krotność pierwiastka wpływa na zachowanie wykresu funkcji wielomianowej w pobliżu tego pierwiastka.

Podobne notatki

Know matematyka rozszerzenie matura 2021 thumbnail

15

683

4/5

matematyka rozszerzenie matura 2021

arkusz maturalny poziom rozszerzony matematyka 2021

Know Wielomiany rozszerzenie schemat hornera thumbnail

6

367

1/2

Wielomiany rozszerzenie schemat hornera

Wielomiany rozszerzenie schemat hornera, poziom rozszerzony

Know Wielomiany thumbnail

630

10289

1/2

Wielomiany

Wielomiany matma

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

/

Matematyka

/

Wielomiany

/

Rozkład wielomianu na czynniki

/

Sposoby rozkładu wielomianu na czynniki

Poznaj Twierdzenie Bézouta i Schemat Hornera: Zadania i Tabelki

user profile picture

Małgorzata Pietrzak

@magorzatapietrzak_rffo

·

141 Obserwujących

Obserwuj

Wielomiany to fundamentalne pojęcie w algebrze, obejmujące wyrażenia algebraiczne składające się z sumy jednomianów. Dokument omawia kluczowe aspekty wielomianów, w tym ich definicję, równość, dzielenie, pierwiastki oraz funkcje wielomianowe.

• Przedstawiono wzory na sześciany sum i różnic oraz różnicę sześcianów.
• Omówiono Twierdzenie Bézouta i jego zastosowanie do znajdowania pierwiastków wielomianów.
• Wyjaśniono schemat Hornera jako efektywną metodę dzielenia wielomianów.
• Zaprezentowano metody wyznaczania pierwiastków wymiernych i wielokrotnych wielomianów.
• Opisano rozkład wielomianów na czynniki i szkicowanie wykresów funkcji wielomianowych.

25.09.2022

11989

 

3

 

Matematyka

466

WIELOMIANY 1. Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej W(x) = anx" + an-1 X^-1 +. + a₂x Ao • Sześcian (a - b)³ = 3 ² An Sześcian sumy 3 (a +

Rozkład wielomianów i funkcje wielomianowe

Ostatnia część dokumentu omawia rozkład wielomianów na czynniki oraz szkicowanie wykresów funkcji wielomianowych.

Definition: Wielomian rozkładalny to wielomian różny od wielomianu zerowego, który można przedstawić jako iloczyn wielomianów o stopniu mniejszym od jego stopnia.

Dokument przedstawia metodę szkicowania wykresu funkcji wielomianowej, zwracając uwagę na znaczenie krotności pierwiastków:

Highlight: Pierwiastki o nieparzystej krotności powodują przebicie wykresu przez oś x, podczas gdy pierwiastki o parzystej krotności powodują odbicie wykresu od osi x.

Przedstawiono również twierdzenie o rozkładzie, które mówi o istnieniu ilorazu i reszty przy dzieleniu wielomianów:

Quote: "Jeśli W(x) oraz P(x) są wielomianami i P(x) nie jest wielomianem zerowym, to istnieją dwa wielomiany Q(x) oraz R(x), dla których W(x) = P(x) · Q(x) + R(x), gdzie R(x) = 0 lub st. R(x) < st. P(x)"

To twierdzenie jest fundamentalne dla zrozumienia struktury wielomianów i ich właściwości algebraicznych.

WIELOMIANY 1. Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej W(x) = anx" + an-1 X^-1 +. + a₂x Ao • Sześcian (a - b)³ = 3 ² An Sześcian sumy 3 (a +

Dzielenie wielomianów i Twierdzenie Bézouta

Ta część dokumentu skupia się na metodach dzielenia wielomianów oraz na Twierdzeniu Bézouta, które jest kluczowe dla zrozumienia pierwiastków wielomianów.

Example: Przedstawiono przykład dzielenia wielomianu 3x^3 + 2x^2 - 3x + 16 przez dwumian x + 2 za pomocą schematu Hornera.

Schemat Hornera jest efektywną metodą dzielenia wielomianów, która pozwala na szybkie obliczenie wartości wielomianu dla danego argumentu oraz na znalezienie ilorazu i reszty z dzielenia.

Definition: Pierwiastek wielomianu to liczba rzeczywista a, dla której W(a) = 0.

Twierdzenie Bézouta stanowi, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian jest podzielny przez dwumian x - a. To twierdzenie jest fundamentalne dla analizy pierwiastków wielomianów.

Highlight: Twierdzenie Bézouta łączy pojęcie pierwiastka wielomianu z jego podzielnością przez odpowiedni dwumian.

Dokument przedstawia również wzory Viète'a dla wielomianu trzeciego stopnia, które wiążą współczynniki wielomianu z sumami i iloczynami jego pierwiastków.

WIELOMIANY 1. Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej W(x) = anx" + an-1 X^-1 +. + a₂x Ao • Sześcian (a - b)³ = 3 ² An Sześcian sumy 3 (a +

Podstawy wielomianów

Dokument rozpoczyna się od wprowadzenia pojęcia wielomianu jednej zmiennej rzeczywistej. Wielomian jest przedstawiony w postaci ogólnej jako suma wyrazów o malejących potęgach zmiennej x, pomnożonych przez odpowiednie współczynniki.

Definicja: Wielomian jednej zmiennej rzeczywistej to wyrażenie algebraiczne postaci W(x) = anx^n + an-1x^(n-1) + ... + a2x^2 + a1x + a0, gdzie an, an-1, ..., a2, a1, a0 są współczynnikami wielomianu.

Przedstawiono również kilka ważnych wzorów dotyczących sześcianów:

Highlight: • Sześcian sumy: (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 • Sześcian różnicy: (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 • Różnica sześcianów: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Dokument omawia także pojęcie równości wielomianów, podkreślając, że dwa wielomiany są równe, gdy mają ten sam stopień i równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x.

Vocabulary: Wielomian zerowy to wielomian, którego wszystkie współczynniki są równe zero.

WIELOMIANY 1. Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej W(x) = anx" + an-1 X^-1 +. + a₂x Ao • Sześcian (a - b)³ = 3 ² An Sześcian sumy 3 (a +

Pierwiastki wymierne i wielokrotne wielomianów

Ta sekcja dokumentu koncentruje się na analizie pierwiastków wymiernych wielomianów o współczynnikach całkowitych oraz na koncepcji pierwiastków wielokrotnych.

Definition: Pierwiastek wymierny wielomianu to pierwiastek, który można wyrazić jako ułamek p/q, gdzie p i q są liczbami całkowitymi, a q ≠ 0.

Przedstawiono twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych, które ogranicza możliwe wartości licznika i mianownika pierwiastka wymiernego.

Example: Dla wielomianu W(x) = 2x^3 - 2x^2 - 2x - 4, potencjalne pierwiastki wymierne to ±1, ±2, ±4 (licznik) podzielone przez ±1, ±2 (mianownik).

Dokument wprowadza również pojęcie pierwiastka wielokrotnego:

Definition: Pierwiastek k-krotny wielomianu W(x) to taki pierwiastek a, dla którego wielomian jest podzielny przez (x - a)^k, ale nie jest podzielny przez (x - a)^(k+1).

Highlight: Krotność pierwiastka wpływa na zachowanie wykresu funkcji wielomianowej w pobliżu tego pierwiastka.

Podobne notatki

Matematyka - matematyka rozszerzenie matura 2021

arkusz maturalny poziom rozszerzony matematyka 2021

15

683

0

Know matematyka rozszerzenie matura 2021 thumbnail

Matematyka - Wielomiany rozszerzenie schemat hornera

Wielomiany rozszerzenie schemat hornera, poziom rozszerzony

6

367

1

Know Wielomiany rozszerzenie schemat hornera thumbnail

Matematyka - Wielomiany

Wielomiany matma

630

10289

6

Know Wielomiany thumbnail

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.