Przedmioty

Kariera

Knowunity Pro

Otwórz aplikację

Przedmioty

Poznaj Twierdzenie Bézouta i Schemat Hornera: Zadania i Tabelki

Otwórz

469

7

user profile picture

Małgorzata Pietrzak

25.09.2022

Matematyka

wielomiany

Przedmioty

/

Matematyka

/

Wielomiany

/

Rozkład wielomianu na czynniki

/

Sposoby rozkładu wielomianu na czynniki

Poznaj Twierdzenie Bézouta i Schemat Hornera: Zadania i Tabelki

Wielomiany to fundamentalne pojęcie w algebrze, obejmujące wyrażenia algebraiczne składające się z sumy jednomianów. Dokument omawia kluczowe aspekty wielomianów, w tym ich definicję, równość, dzielenie, pierwiastki oraz funkcje wielomianowe.

• Przedstawiono wzory na sześciany sum i różnic oraz różnicę sześcianów.
• Omówiono Twierdzenie Bézouta i jego zastosowanie do znajdowania pierwiastków wielomianów.
• Wyjaśniono schemat Hornera jako efektywną metodę dzielenia wielomianów.
• Zaprezentowano metody wyznaczania pierwiastków wymiernych i wielokrotnych wielomianów.
• Opisano rozkład wielomianów na czynniki i szkicowanie wykresów funkcji wielomianowych.

...

25.09.2022

12506

WIELOMIANY 1. Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej W(x) = anx" + an-1 X^-1 +. + a₂x Ao • Sześcian (a - b)³ = 3 ² An Sześcian sumy 3 (a +

Zobacz

Dzielenie wielomianów i Twierdzenie Bézouta

Ta część dokumentu skupia się na metodach dzielenia wielomianów oraz na Twierdzeniu Bézouta, które jest kluczowe dla zrozumienia pierwiastków wielomianów.

Example: Przedstawiono przykład dzielenia wielomianu 3x^3 + 2x^2 - 3x + 16 przez dwumian x + 2 za pomocą schematu Hornera.

Schemat Hornera jest efektywną metodą dzielenia wielomianów, która pozwala na szybkie obliczenie wartości wielomianu dla danego argumentu oraz na znalezienie ilorazu i reszty z dzielenia.

Definition: Pierwiastek wielomianu to liczba rzeczywista a, dla której Waa = 0.

Twierdzenie Bézouta stanowi, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu Wxx wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian jest podzielny przez dwumian x - a. To twierdzenie jest fundamentalne dla analizy pierwiastków wielomianów.

Highlight: Twierdzenie Bézouta łączy pojęcie pierwiastka wielomianu z jego podzielnością przez odpowiedni dwumian.

Dokument przedstawia również wzory Viète'a dla wielomianu trzeciego stopnia, które wiążą współczynniki wielomianu z sumami i iloczynami jego pierwiastków.

WIELOMIANY 1. Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej W(x) = anx" + an-1 X^-1 +. + a₂x Ao • Sześcian (a - b)³ = 3 ² An Sześcian sumy 3 (a +

Zobacz

Pierwiastki wymierne i wielokrotne wielomianów

Ta sekcja dokumentu koncentruje się na analizie pierwiastków wymiernych wielomianów o współczynnikach całkowitych oraz na koncepcji pierwiastków wielokrotnych.

Definition: Pierwiastek wymierny wielomianu to pierwiastek, który można wyrazić jako ułamek p/q, gdzie p i q są liczbami całkowitymi, a q ≠ 0.

Przedstawiono twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych, które ogranicza możliwe wartości licznika i mianownika pierwiastka wymiernego.

Example: Dla wielomianu Wxx = 2x^3 - 2x^2 - 2x - 4, potencjalne pierwiastki wymierne to ±1, ±2, ±4 liczniklicznik podzielone przez ±1, ±2 mianownikmianownik.

Dokument wprowadza również pojęcie pierwiastka wielokrotnego:

Definition: Pierwiastek k-krotny wielomianu Wxx to taki pierwiastek a, dla którego wielomian jest podzielny przez x−ax - a^k, ale nie jest podzielny przez x−ax - a^k+1k+1.

Highlight: Krotność pierwiastka wpływa na zachowanie wykresu funkcji wielomianowej w pobliżu tego pierwiastka.

WIELOMIANY 1. Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej W(x) = anx" + an-1 X^-1 +. + a₂x Ao • Sześcian (a - b)³ = 3 ² An Sześcian sumy 3 (a +

Zobacz

Rozkład wielomianów i funkcje wielomianowe

Ostatnia część dokumentu omawia rozkład wielomianów na czynniki oraz szkicowanie wykresów funkcji wielomianowych.

Definition: Wielomian rozkładalny to wielomian różny od wielomianu zerowego, który można przedstawić jako iloczyn wielomianów o stopniu mniejszym od jego stopnia.

Dokument przedstawia metodę szkicowania wykresu funkcji wielomianowej, zwracając uwagę na znaczenie krotności pierwiastków:

Highlight: Pierwiastki o nieparzystej krotności powodują przebicie wykresu przez oś x, podczas gdy pierwiastki o parzystej krotności powodują odbicie wykresu od osi x.

Przedstawiono również twierdzenie o rozkładzie, które mówi o istnieniu ilorazu i reszty przy dzieleniu wielomianów:

Quote: "Jeśli Wxx oraz Pxx są wielomianami i Pxx nie jest wielomianem zerowym, to istnieją dwa wielomiany Qxx oraz Rxx, dla których Wxx = Pxx · Qxx + Rxx, gdzie Rxx = 0 lub st. Rxx < st. Pxx"

To twierdzenie jest fundamentalne dla zrozumienia struktury wielomianów i ich właściwości algebraicznych.

Podobne notatki

Know Wielomiany thumbnail

643

11427

1/2

Wielomiany

Wielomiany matma

Know matematyka rozszerzenie matura 2021 thumbnail

18

931

4/5

matematyka rozszerzenie matura 2021

arkusz maturalny poziom rozszerzony matematyka 2021

Know Wielomiany thumbnail

32

4444

2

Wielomiany

streszczenie działu

Know Wielomiany rozszerzenie schemat hornera thumbnail

6

396

1/2

Wielomiany rozszerzenie schemat hornera

Wielomiany rozszerzenie schemat hornera, poziom rozszerzony

Know Matura z matematyki 2023 - cały arkusz thumbnail

107

3595

4/3

Matura z matematyki 2023 - cały arkusz

Zadania maturalne matura 2023 matematyka poziom podstawowy

Know Rozkładanie wielomianów thumbnail

17

2190

2

Rozkładanie wielomianów

rozkladanie wielomianowna czynniki matematyka rozszerzona

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

21 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

Matematyka

Wielomiany

Rozkład wielomianu na czynniki

Sposoby rozkładu wielomianu na czynniki

 

Matematyka

•

12 506

•

25 wrz 2022

•

4 strony

Poznaj Twierdzenie Bézouta i Schemat Hornera: Zadania i Tabelki

user profile picture

Małgorzata Pietrzak

@magorzatapietrzak_rffo

Wielomiany to fundamentalne pojęcie w algebrze, obejmujące wyrażenia algebraiczne składające się z sumy jednomianów. Dokument omawia kluczowe aspekty wielomianów, w tym ich definicję, równość, dzielenie, pierwiastki oraz funkcje wielomianowe.

• Przedstawiono wzory na sześciany sum i różnic oraz różnicę sześcianów.... Pokaż więcej

WIELOMIANY 1. Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej W(x) = anx" + an-1 X^-1 +. + a₂x Ao • Sześcian (a - b)³ = 3 ² An Sześcian sumy 3 (a +

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Dzielenie wielomianów i Twierdzenie Bézouta

Ta część dokumentu skupia się na metodach dzielenia wielomianów oraz na Twierdzeniu Bézouta, które jest kluczowe dla zrozumienia pierwiastków wielomianów.

Example: Przedstawiono przykład dzielenia wielomianu 3x^3 + 2x^2 - 3x + 16 przez dwumian x + 2 za pomocą schematu Hornera.

Schemat Hornera jest efektywną metodą dzielenia wielomianów, która pozwala na szybkie obliczenie wartości wielomianu dla danego argumentu oraz na znalezienie ilorazu i reszty z dzielenia.

Definition: Pierwiastek wielomianu to liczba rzeczywista a, dla której Waa = 0.

Twierdzenie Bézouta stanowi, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu Wxx wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian jest podzielny przez dwumian x - a. To twierdzenie jest fundamentalne dla analizy pierwiastków wielomianów.

Highlight: Twierdzenie Bézouta łączy pojęcie pierwiastka wielomianu z jego podzielnością przez odpowiedni dwumian.

Dokument przedstawia również wzory Viète'a dla wielomianu trzeciego stopnia, które wiążą współczynniki wielomianu z sumami i iloczynami jego pierwiastków.

WIELOMIANY 1. Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej W(x) = anx" + an-1 X^-1 +. + a₂x Ao • Sześcian (a - b)³ = 3 ² An Sześcian sumy 3 (a +

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Pierwiastki wymierne i wielokrotne wielomianów

Ta sekcja dokumentu koncentruje się na analizie pierwiastków wymiernych wielomianów o współczynnikach całkowitych oraz na koncepcji pierwiastków wielokrotnych.

Definition: Pierwiastek wymierny wielomianu to pierwiastek, który można wyrazić jako ułamek p/q, gdzie p i q są liczbami całkowitymi, a q ≠ 0.

Przedstawiono twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych, które ogranicza możliwe wartości licznika i mianownika pierwiastka wymiernego.

Example: Dla wielomianu Wxx = 2x^3 - 2x^2 - 2x - 4, potencjalne pierwiastki wymierne to ±1, ±2, ±4 liczniklicznik podzielone przez ±1, ±2 mianownikmianownik.

Dokument wprowadza również pojęcie pierwiastka wielokrotnego:

Definition: Pierwiastek k-krotny wielomianu Wxx to taki pierwiastek a, dla którego wielomian jest podzielny przez x−ax - a^k, ale nie jest podzielny przez x−ax - a^k+1k+1.

Highlight: Krotność pierwiastka wpływa na zachowanie wykresu funkcji wielomianowej w pobliżu tego pierwiastka.

WIELOMIANY 1. Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej W(x) = anx" + an-1 X^-1 +. + a₂x Ao • Sześcian (a - b)³ = 3 ² An Sześcian sumy 3 (a +

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Rozkład wielomianów i funkcje wielomianowe

Ostatnia część dokumentu omawia rozkład wielomianów na czynniki oraz szkicowanie wykresów funkcji wielomianowych.

Definition: Wielomian rozkładalny to wielomian różny od wielomianu zerowego, który można przedstawić jako iloczyn wielomianów o stopniu mniejszym od jego stopnia.

Dokument przedstawia metodę szkicowania wykresu funkcji wielomianowej, zwracając uwagę na znaczenie krotności pierwiastków:

Highlight: Pierwiastki o nieparzystej krotności powodują przebicie wykresu przez oś x, podczas gdy pierwiastki o parzystej krotności powodują odbicie wykresu od osi x.

Przedstawiono również twierdzenie o rozkładzie, które mówi o istnieniu ilorazu i reszty przy dzieleniu wielomianów:

Quote: "Jeśli Wxx oraz Pxx są wielomianami i Pxx nie jest wielomianem zerowym, to istnieją dwa wielomiany Qxx oraz Rxx, dla których Wxx = Pxx · Qxx + Rxx, gdzie Rxx = 0 lub st. Rxx < st. Pxx"

To twierdzenie jest fundamentalne dla zrozumienia struktury wielomianów i ich właściwości algebraicznych.

WIELOMIANY 1. Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej W(x) = anx" + an-1 X^-1 +. + a₂x Ao • Sześcian (a - b)³ = 3 ² An Sześcian sumy 3 (a +

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawy wielomianów

Dokument rozpoczyna się od wprowadzenia pojęcia wielomianu jednej zmiennej rzeczywistej. Wielomian jest przedstawiony w postaci ogólnej jako suma wyrazów o malejących potęgach zmiennej x, pomnożonych przez odpowiednie współczynniki.

Definicja: Wielomian jednej zmiennej rzeczywistej to wyrażenie algebraiczne postaci Wxx = anx^n + an-1x^n−1n-1 + ... + a2x^2 + a1x + a0, gdzie an, an-1, ..., a2, a1, a0 są współczynnikami wielomianu.

Przedstawiono również kilka ważnych wzorów dotyczących sześcianów:

Highlight: • Sześcian sumy: a+ba + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 • Sześcian różnicy: a−ba - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 • Różnica sześcianów: a^3 - b^3 = a−ba - ba2+ab+b2a^2 + ab + b^2

Dokument omawia także pojęcie równości wielomianów, podkreślając, że dwa wielomiany są równe, gdy mają ten sam stopień i równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x.

Vocabulary: Wielomian zerowy to wielomian, którego wszystkie współczynniki są równe zero.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS