Podzielność wielomianów i dzielenie przez dwumian liniowy

Ten rozdział skupia się na zagadnieniu podzielności wielomianów oraz szczegółowo omawia proces dzielenia wielomianu przez dwumian liniowy. Podzielność wielomianów zachodzi, gdy istnieje taki wielomian Q$x$, że W$x$ = Q$x$ × P$x$, gdzie W$x$ jest dzielonym wielomianem, a P$x$ dzielnikiem.

Highlight: Wielomian W$x$ jest podzielny przez wielomian P$x$, jeśli istnieje taki wielomian Q$x$, że W$x$ = Q$x$ × P$x$.

Rozdział przedstawia krok po kroku metodę dzielenia wielomianu przez dwumian liniowy, ilustrując proces na konkretnym przykładzie. Metoda ta polega na systematycznym dzieleniu kolejnych jednomianów, zapisywaniu wyników nad kreską dzielenia i redukcji wyrazów podobnych.

Przykład: Dzielenie wielomianu $2x^3 - 5x^2 + 4x - 1$ przez dwumian $x - 1$ wykonuje się pisemnie, krok po kroku redukując wyrazy podobne.

Na końcu rozdziału podkreślono ważną właściwość: jeśli wielomian niezerowy można zapisać jako iloczyn kilku wielomianów, to jego stopień jest sumą stopni wszystkich czynników, a wielomian jest podzielny przez każdy z tych czynników.

Zależności wynikające z dzielenia i schemat Hornera

Rozdział ten zgłębia bardziej zaawansowane aspekty dzielenia wielomianów, koncentrując się na zależnościach wynikających z dzielenia oraz na schemacie Hornera. Przedstawia on kluczowe relacje między współczynnikami wielomianu dzielonego, ilorazu i reszty.

Definicja: Schemat Hornera to efektywna metoda dzielenia wielomianu przez dwumian liniowy, pozwalająca na szybkie obliczenie wartości wielomianu dla danego argumentu.

Rozdział wprowadza ważne twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian liniowy: reszta z dzielenia wielomianu W$x$ przez dwumian $x-p$ jest równa wartości wielomianu W$p$.

Highlight: Reszta z dzielenia wielomianu W$x$ przez dwumian $x-p$ jest równa W$p$, gdzie p to dowolna liczba rzeczywista.

Ponadto, rozdział omawia dzielenie wielomianu przez wielomian stopnia większego niż jeden. Przedstawia dwa przypadki:

1. Gdy stopień dzielonego wielomianu jest większy od stopnia dzielnika.
2. Gdy stopień dzielonego wielomianu jest mniejszy od stopnia dzielnika.

Te informacje są kluczowe dla zrozumienia bardziej zaawansowanych operacji na wielomianach i ich zastosowań w matematyce wyższej.

Dzielenie wielomianów wyższych stopni

Ostatnia część dokumentu koncentruje się na dzieleniu wielomianów przez wielomian stopnia większego od 1.

Definicja: Dzielenie wielomianów W$x$ przez P$x$ prowadzi do otrzymania ilorazu Q$x$ i reszty R$x$, przy czym stopień R$x$ jest mniejszy od stopnia P$x$ lub R$x$ = 0.

Dokument omawia dwa główne przypadki:

1. Gdy stopień W$x$ > stopień P$x$: otrzymujemy niezerowy iloraz Q$x$ i resztę R$x$.
2. Gdy stopień W$x$ < stopień P$x$: iloraz Q$x$ jest wielomianem zerowym, a reszta R$x$ równa się W$x$.

Highlight: Zrozumienie tych zasad jest kluczowe dla rozwiązywania zaawansowanych zadań z dzielenia wielomianów i analizy ich właściwości.

Ta sekcja stanowi pomost do bardziej zaawansowanych tematów w teorii wielomianów, takich jak rozkład wielomianu na czynniki czy dzielenie wielomianów z parametrem.

Wzory skróconego mnożenia 3 stopnia

Ta część przedstawia kluczowe wzory używane przy mnożeniu wielomianów.

Definition: Podstawowe wzory skróconego mnożenia trzeciego stopnia:

• $a+b$³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
• $a-b$³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Highlight: Dla dowolnych wyrażeń a i b oraz n>1 istnieje ogólny wzór na różnicę n-tych potęg

Example: a³ + b³ = $a+b$$a² - ab + b²$

Pierwiastki wielomianów

W tej części omówiono teorię pierwiastków wielomianów i ich właściwości.

Definition: Pierwiastek wielomianu to liczba rzeczywista a, dla której W$a$ = 0

Highlight: Liczba pierwiastków wielomianu nie może przekraczać jego stopnia

Example: Pierwiastek k-krotny to taki, przez który wielomian jest podzielny dokładnie k razy

Podstawowe pojęcia dotyczące wielomianów

Rozdział ten wprowadza kluczowe definicje związane z wielomianami. Jednomian stopnia n definiuje się jako wyrażenie postaci axx^n, gdzie a jest niezerową liczbą rzeczywistą. Suma jednomianów tworzy wielomian, który można zapisać w postaci ogólnej: anxx^n + an-1xx^$n-1$ + ... + a1xx + a0. Współczynniki wielomianu to liczby rzeczywiste an, an-1, ..., a0. Wyraz wolny to współczynnik a0.

Definicja: Wielomian stopnia n to wyrażenie algebraiczne postaci anxx^n + an-1xx^$n-1$ + ... + a1xx + a0, gdzie an ≠ 0.

Rozdział omawia również pojęcie jednomianów podobnych, które różnią się jedynie współczynnikami liczbowymi. Wprowadza także podstawowe działania na wielomianach, takie jak dodawanie wielomianów, odejmowanie wielomianów i mnożenie wielomianów.

Przykład: Aby dodać wielomiany W$x$ i P$x$, należy wypisać wszystkie wyrazy obu wielomianów i zredukować wyrazy podobne.

Na końcu rozdziału przedstawiono warunki równości wielomianów, które muszą mieć ten sam stopień i równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.