Matematyka

Granice funkcji i asymptoty

asymptota pozioma

869

•

24 lis 2025

•

3 strony

Ciągłość funkcji i rodzaje asymptot - przykłady i obliczenia

✨️Mamelia✨️

@mamelia

Ciągłość funkcji i asymptoty to ważne pojęcia w matematyce, które... Pokaż więcej

1 / 3

Ciągłość funkcji

Funkcja jest ciągła w punkcie, gdy możemy ją narysować bez odrywania ręki od kartki. Warunek ciągłości funkcji w punkcie x₀ to:

$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$

Co to oznacza? Granica lewostronna, granica prawostronna i wartość funkcji w tym punkcie muszą być sobie równe. Jeśli choć jeden z tych warunków nie jest spełniony, funkcja nie jest ciągła.

Przy badaniu ciągłości funkcji kawałkami (czyli takiej, która ma różne wzory na różnych przedziałach) musimy sprawdzić, co dzieje się w punktach, gdzie zmienia się wzór funkcji. Obliczamy granice lewostronne, prawostronne i wartość funkcji w tych punktach.

⚠️ Zapamiętaj! Gdy funkcja nie jest ciągła w punkcie, mówimy, że ma w nim przerwę. Graficznie oznacza to, że musielibyśmy oderwać ołówek od kartki przy rysowaniu wykresu.

W zadaniach z parametrami, jak wyznaczanie wartości a i b, by funkcja była ciągła w całym przedziale, układamy równania wykorzystując warunek ciągłości w punktach, gdzie zmienia się wzór funkcji.

Wyznaczanie parametrów dla ciągłości funkcji

Aby wyznaczyć parametry zapewniające ciągłość funkcji w całym przedziale, musimy:

Zidentyfikować punkty, w których wzór funkcji się zmienia
Zapisać i rozwiązać układ równań gwarantujący równość granic lewostronnych i prawostronnych

Przykład układu równań do rozwiązania: $\begin{cases} 5a+b=-24 \ -3a+b=-8 \end{cases}$

Po odjęciu stronami i rozwiązaniu układu otrzymujemy wartości parametrów, np. a = -2 i b = 14, które zapewniają ciągłość funkcji.

Asymptoty funkcji

Asymptota to linia, do której wykres funkcji zbliża się, ale nigdy jej nie osiąga. Wyróżniamy asymptoty:

Pionowe - występują w punktach, w których:
- Punkt nie należy do dziedziny funkcji
- Granica funkcji w tym punkcie dąży do nieskończoności
Poziome - to linie y = k, do których funkcja zbliża się, gdy x dąży do +∞ lub -∞

💡 Wskazówka praktyczna: Aby znaleźć asymptotę poziomą, oblicz $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ i $\lim_{x\to-\infty} f(x)$ . Jeśli obie granice są równe jakiejś liczbie k, to y = k jest asymptotą poziomą.

Badanie asymptot funkcji

Badając asymptoty pionowe, zwracamy uwagę na:

Punkty, w których mianownik funkcji wymiernej wynosi 0
Obliczenie granic lewostronnej i prawostronnej w tych punktach

Jeśli granice dążą do nieskończoności, mamy do czynienia z asymptotą pionową.

Przykład: dla funkcji $f(x) = \frac{4x-5}{x^2}$ podejrzanym punktem jest x = 0. Obliczamy:

$\lim_{x\to 0^-} \frac{4x-5}{x^2} = -\infty$ oraz $\lim_{x\to 0^+} \frac{4x-5}{x^2} = -\infty$

Granice są równe, więc x = 0 jest asymptotą pionową.

Dla asymptot poziomych sprawdzamy zachowanie funkcji, gdy x dąży do nieskończoności. Dla funkcji wymiernych często wykorzystujemy dzielenie licznika i mianownika przez najwyższą potęgę x.

Przykład: dla funkcji $f(x) = \frac{2x^2-x-6}{3x^2+8x+4}$ obliczamy:

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2-x-6}{3x^2+8x+4} = \lim_{x \to \infty} \frac{2-\frac{1}{x}-\frac{6}{x^2}}{3+\frac{8}{x}+\frac{4}{x^2}} = \frac{2}{3}$

⚠️ Uwaga! Asymptoty mogą pomóc w szkicowaniu wykresu funkcji, pokazując jej zachowanie w obszarach, które trudno narysować bezpośrednio.

Dla pełnej analizy funkcji wymiernej badamy zarówno asymptoty pionowe, jak i poziome, co daje nam pełniejszy obraz zachowania funkcji.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Ułamki algebraiczne

990

Funkcja wykładnicza

1171

funkcje i ich własności

2429

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Matematyka

Granice funkcji i asymptoty

asymptota pozioma

Matematyka

•

869

•

24 lis 2025

•

3 strony

Ciągłość funkcji i rodzaje asymptot - przykłady i obliczenia

✨️Mamelia✨️

@mamelia

Ciągłość funkcji i asymptoty to ważne pojęcia w matematyce, które pozwalają zrozumieć zachowanie funkcji w określonych punktach i w nieskończoności. Opanowanie tych koncepcji jest kluczowe dla analizy matematycznej i rozwiązywania problemów z funkcjami.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Ciągłość funkcji

Funkcja jest ciągła w punkcie, gdy możemy ją narysować bez odrywania ręki od kartki. Warunek ciągłości funkcji w punkcie x₀ to:

$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$

Co to oznacza? Granica lewostronna, granica prawostronna i wartość funkcji w tym punkcie muszą być sobie równe. Jeśli choć jeden z tych warunków nie jest spełniony, funkcja nie jest ciągła.

⚠️ Zapamiętaj! Gdy funkcja nie jest ciągła w punkcie, mówimy, że ma w nim przerwę. Graficznie oznacza to, że musielibyśmy oderwać ołówek od kartki przy rysowaniu wykresu.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wyznaczanie parametrów dla ciągłości funkcji

Aby wyznaczyć parametry zapewniające ciągłość funkcji w całym przedziale, musimy:

Zidentyfikować punkty, w których wzór funkcji się zmienia
Zapisać i rozwiązać układ równań gwarantujący równość granic lewostronnych i prawostronnych

Przykład układu równań do rozwiązania: $\begin{cases} 5a+b=-24 \ -3a+b=-8 \end{cases}$

Po odjęciu stronami i rozwiązaniu układu otrzymujemy wartości parametrów, np. a = -2 i b = 14, które zapewniają ciągłość funkcji.

Asymptoty funkcji

Asymptota to linia, do której wykres funkcji zbliża się, ale nigdy jej nie osiąga. Wyróżniamy asymptoty:

Pionowe - występują w punktach, w których:
- Punkt nie należy do dziedziny funkcji
- Granica funkcji w tym punkcie dąży do nieskończoności
Poziome - to linie y = k, do których funkcja zbliża się, gdy x dąży do +∞ lub -∞

💡 Wskazówka praktyczna: Aby znaleźć asymptotę poziomą, oblicz $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ i $\lim_{x\to-\infty} f(x)$ . Jeśli obie granice są równe jakiejś liczbie k, to y = k jest asymptotą poziomą.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Badanie asymptot funkcji

Badając asymptoty pionowe, zwracamy uwagę na:

Punkty, w których mianownik funkcji wymiernej wynosi 0
Obliczenie granic lewostronnej i prawostronnej w tych punktach

Jeśli granice dążą do nieskończoności, mamy do czynienia z asymptotą pionową.

Przykład: dla funkcji $f(x) = \frac{4x-5}{x^2}$ podejrzanym punktem jest x = 0. Obliczamy:

$\lim_{x\to 0^-} \frac{4x-5}{x^2} = -\infty$ oraz $\lim_{x\to 0^+} \frac{4x-5}{x^2} = -\infty$

Granice są równe, więc x = 0 jest asymptotą pionową.

Dla asymptot poziomych sprawdzamy zachowanie funkcji, gdy x dąży do nieskończoności. Dla funkcji wymiernych często wykorzystujemy dzielenie licznika i mianownika przez najwyższą potęgę x.

Przykład: dla funkcji $f(x) = \frac{2x^2-x-6}{3x^2+8x+4}$ obliczamy:

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2-x-6}{3x^2+8x+4} = \lim_{x \to \infty} \frac{2-\frac{1}{x}-\frac{6}{x^2}}{3+\frac{8}{x}+\frac{4}{x^2}} = \frac{2}{3}$

⚠️ Uwaga! Asymptoty mogą pomóc w szkicowaniu wykresu funkcji, pokazując jej zachowanie w obszarach, które trudno narysować bezpośrednio.

Dla pełnej analizy funkcji wymiernej badamy zarówno asymptoty pionowe, jak i poziome, co daje nam pełniejszy obraz zachowania funkcji.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Równania i Nierówności Wymierne

Przewodnik po równaniach i nierównościach wymiernych, funkcjach homograficznych oraz średnich arytmetycznych i geometrycznych. Zawiera kluczowe zasady dotyczące rozwiązywania nierówności oraz operacji na ułamkach, idealny dla uczniów klasy III szkoły średniej.

Matematyka

Transformacje Funkcji Wykładniczej

Zrozumienie transformacji funkcji wykładniczej, w tym jej dziedziny oraz kluczowych pojęć. Materiał obejmuje szczegółowe omówienie funkcji malejącej oraz nierówności wykładniczych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Własności Funkcji Matematycznych

Zrozumienie funkcji matematycznych: ich definicje, właściwości, monotoniczność oraz różnice między funkcjami parzystymi i nieparzystymi. Idealne dla uczniów na poziomie rozszerzonym. Obejmuje grafy, dziedziny oraz zbiory wartości.

Matematyka

Właściwości Funkcji Wykładniczej

Zrozumienie właściwości funkcji wykładniczej, w tym monotoniczności, asymptot oraz symetrii. Materiał przeznaczony dla uczniów na poziomie podstawowym, zawierający kluczowe informacje o funkcji f(x) = ax dla a > 0.

Matematyka

Właściwości funkcji wykładniczej

Zrozumienie funkcji wykładniczej: definicja, wykres, właściwości oraz przykłady obliczeń. Dowiedz się, jak funkcja wykładnicza zachowuje się w zależności od wartości a oraz jak obliczyć wartości funkcji dla różnych argumentów. Idealne dla uczniów liceum przygotowujących się do egzaminów.

Matematyka

Wykresy Funkcji Trygonometrycznych

Zrozumienie wykresów funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens i cotangens. Odkryj ich okresowość, właściwości oraz transformacje. Idealne materiały do nauki dla studentów matematyki.

Matematyka

Podobne notatki

Ułamki algebraiczne

990

Funkcja wykładnicza

1171

funkcje i ich własności

2429

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS