Alternatywny zapis:

z men w stosunku 2:1 Cecny przystawania trójkątów • BBB-aTugości trzech Doków w jednym trójnącie muszą być odpowiednio równe drugościom trzech DOKÓW W drugim trójkącie • BKB- awa Doki i ngł pomiędzy nimi w jednym trójnącie muszą być odpowiednio równe dwóm Dokom i kątowi pomiędzy nimi w drugim trójkącie • KBK - bon i awa przylegre do niego katy w jednym trójnącie muszą być odpowiednio równe DOKOWI i dwóm przyległym do mego kgłom w drugim trójkącie Twierdzenie odwrotne do twierdzenia pitagorasa - jeżeli arugości bonów a,bic trójkąta sperniają za- Tozenie a²+ b² = c² to ten trójkąt jest prostokątny Twierdzenie Talesa jezeli ramienia kata AOA, lub ich przedłużenia przełniemy dwiema prosłymi równole · grymi AA,i BB, to stosunen aTugości odcinków na ramieniu OA jest równy stosunkowi drugosci odpo- wiednich odcinków na ramieniu OA, 2 przуктаа 1 przykrad A₂ Wniosek LOA 1. 10A,1 = |AB| |A₂B₁| = oraz |OA|_ 10A,1 8 |OB| |OB₁| Odcinen Taczący środki Doków trójkąta - jeżeli w trójkącie połączymy środki dwóch boków, to powstały odcinek jest równolegry do boku trzeciego i jego arugość jest równa Potowie arugosci boku trzeciego Cecny podobieństwa trójkątów • BBB- drugosci boków trójkąta ABC muszą być proporcjonaine do odpowiednich arugosci ponów trójką - +a A₁B₁C₁ w proporcji LABI. |BC| IACI JA₁ Bil I B₁C₁ |A₂C₁1 = |A, Bil IB.G₂1 • BKB-arugosci dwoch boków trójnąta ABC muszą być proporcjonaine do odpowiednich arugosci dwocn oraz katy pomiędzy tymi bokami muszą być rowne. • KKK - dwa ngły trojkąta ABC muszą być odpowiednio rowne dwom kotom trójkąta A, B, C, Doków trójkąta A₁ B₁ C₁ w proporcji | ABI | BCI okrag Onrag- onregiem o środku i promieniu r (r³0), nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny. Których odiegrosć od punniu O jest równa r. Tani okrąg oznaczamy symbolem o (Oir). Promień okręgu- odcinen Tączący środen okręgu z dowolnym punktem tego okręgu Onrag o promieniu r ma atugość równą 2 Tr Średnica okręgu- prosta przechodząca przez środek okręgu. Jest awa razy aru - ższa niż promień tun onvegu- część onvęgu wyznaczona przez dwa punkty okręgu wlaz z tymi punk +ami okręgu wzajemne położenie prostej i okręgu Prosta styczna Ma tylko jeden punkt wspoiny z okręgiem. Punkt wspólny prostej i Okręgu nazywamy punktem stycznosci. Prosta jest styczna ao okręgu tylno gay: I gdy promień onvegu poprowadzony oo punktu styczności jest prostopadły do prostej gdy odlegrosć srodką onręgu od tej prostej (d) jest równa promieniowi tego onregu (r) 2 punktu, z którego odiegrość oa środka okręgu jest większa niż płomień możemy poprowadzić dwie styczne. Odcinki tych stycznych mają tą samą arugość O |AP|=|BP| Prosta sieczna Ma dwa punkty wspóine z prostą. Prosta jest sieczna okvęgu gdy: ● gdy odległość środna okręgu od tej prostej jest mniejsza od promienia tego okrę Cięciwa onvegu odcinek rączący dwa dowolne punkty okręgu. Cięciwa przecnodząca przez środek Okręgu jest śreamcą tego Okręgu Twierdzenie jeżeli promień okręgu przechodzi przez środlen cięciwy, to jest prostopadły do tej cięciwy. Twierdzenie jeśli promień okręgu jest prostopadły do cięciwy, 10 dzieli ją na 2. równe części. Drugość odcinka Tączącego środen okręgu ze środkiem cięciwy tego okręgu nazywamy odległością środka Okręgu od cięciny Prosta rozrączna (zewnętrzna) Nie ma punktów wspoinych z prostą. Prosta jest rozłączna gay: gay odległość środka okvęgu od tej prostej jest większa od promienia tego okręgu promień Średnica Cięciwa TUK d=r ि der dar wzajemne położenie dwoch okręgów Rozrączne zewnętrzne Nazywamy je tak tylko gdy kora wyznaczone przez te okręgi nie mają punktów wspólnych. Okręgi są rozrączne tylko gdy zachodzi nierówność : 10₁0₂1 > 8₁ +8₂ Siyczne zewnętrzne Nazywamy je tak tylko gdy kora wyznaczone przez te okręgi mają jeden punkt wspólny. Okręgi są słyczne rozłączne tylko gdy zachodzi nierównosć: | 0₁ + 0₂ | = 79+%₂ Okręgi przecinają się Nazywamy je tak tylko gdy kora wyznaczone przez te okręgi mają tylko dwa punkty wspóine. Okręgi przecinają sie gay zachodzi nierówność ³ | 5₁ -1₂ 14 10₂ 0₂| < r₁+52 Styczne wewnętrzne Nazywamy je tan gdy mają tylko jeden punkt wspóiny i jeden z okręgów za. wiera sie w kole wyznaczonym przez drugi okrag. Okręgi są, słyczne zewnę- trznie gay zachodzi nierówność: 10₁0₂| = |×₁=v₂ | Rozrączne zewnętrznie Nazywamy je tan gdy nie mają punktów wspólnych i jeden okrąg zawiera sie w kole wyznaczonym przez drugí okrag. Okręgi są rozłączne zewnętrznie gay zachodzi nierówność: 10₁0₂|2|1₁-T₂ | . Kqts тчи Okręgi wspór środkowe Nazywamy je tan gdy mają one wspólny środek. Okręgi są współśrodkowe gdy zacnodzi równanie : 0₁ = 0₂ Onregi pokrywają się gdy so, wspór środkowe i mają równe okręgi koła i katy KOTO Horem o Środku w punkcie 0 i promiemu v (r³0) nazywamy zbiór wszystkien punktów płaszczyzny, od Kłórycn odiegrosć od punktu O jest mniejsza iub równa r. Takie Koto oznaczamy symbolem k (0,r) kąt środkowy wypukty = Kąt środnowy • ngt, którego wierzchotek znajduje się w środku kota, Częścią wspoiną kąta środkowego i KOTa jest Tuk. Mówi się, że dany kgi Opiera się na tym Tuku. Miara kąta środnowego jest wprost propo - rejonaina do arugOscí Tuku, na którym oparty jest ten kąt ( tyle vazy lie kąt środkowy jest mniejszy od kąta pernego, lle razy odpowiadający mu Tuk jest krótszy od onregu ). し 2 Tr 10 e 91 • Jesii d jest miarą kąta środkowego kota o promieniu r ovaz ↳ jest drugoscią Tuku, na którym ten kgr jest oparty to prawaziwa jest równość : d 360 TUK (₁ C кар, 0 (7) nąt środkowy WHIESTY √3) ツ | @ 9 | O | O ka+ wpisany: ng+ wypunty, wyznaczony przez dwie cięciwy o wspoinym końcu, będącym wierzchołkiem kąta. 110 B Ka+ dopisany do okręgu • Kąt wypunty, wyznaczony przez słyczną do okręgu w punkcie A oraz półprosią zawierającą cięciwę o końcu wpunkcie A Twierdzenie : Jeżeli kąt wpisany i kąt środkowy są oparte na tym samym Tuku, to kąt środkowy jest dwa razy większy oа kąta wpisanego. De 01 B=2α Twierdzenie: kąt wpisany oparty na pół okręgu jest kątem prostym Twierdzenie: Katy wpisane, oparte na tym samym poku są równe Twierdzenie: Kat dopisany i wpisany, oparte na tym samym Tuku, są rowne ·|PA|· |PB| |PC|· |PA| twierdzenie o stycznej i sicznej Twierdzenie o stycznej i sięcznej - jeżeni przez punkt P, którego odległość od środka danego okręgu jest większa niż promień, poprowadzimy słyczną do okvęgu w punkcie A i sieczną przecinającą okrąg w punktacn B i C to Czyli |PA| = IPBI-IPC/ Twierdzenie o siecznych - jeśli awie proste przecinają okrąg w punk- +ach A.B.C.D oraz przecinają się w punkcie P, którego odległość od środka danego okręgu jest większa niż promień, to PAI IPB| = |PC|-|PD| Twierdzenie o cięciach - jeśli cięciwy AB i CD okręgu przecinają się w punkcie P. to PAI IPBI-IPC1-1PDI O 180% (2 B : d=B d=B wybrane konstrukcje geometryczne Rozwiązywanie zadania konstrukcyjnego ! analiza zadania szkicujemy rysunek i zaznaczamy elementy dane i szukane. Następnie określamy jak dojść z danyen do szukanyen konstrukcja i jej opis - kontynuacja szukanej figury, używając wyłącznie cyrnia i linijki 1 oraz opisujemy wykonywane czynnosci ● dowód poprawnosci konstrukcji wykazujemy, że uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania dyskusja istnienia i liczby rozwiązań ustalamy warunki, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwie - razamy nie istnieje rozwiązań tego zadania symetralne hoków trojkąta Twierdzenie symetraine Doków dowolnego trojkąta przecinają się w jed nym punkcie. Lezy on w rownej odległości od wierzchołków tego trójkąta. Wynika z tego, że przez te wierzchołki da sie poprowadzić okrąg o środku S i promie- niu ĮSA 1. Taki Okrąg nazywamy okręgiem wpisanym w trójkącie, a trójkąt trójkątem wpisanym w okrąg Rodzaje trójkątów wpisanych w okrag. Trojnąt ostrokgtny. Środen Sokręgu leży wewnątrz trojkąta. Trojng+ równoramienny. A Trojkąt prostokątny S Środek Sokręgu leży na boku trójkąta R-promien okręgu opisanego na trójkącie r.- wysokość opuszczo na na podstawę Trójnąt vozwarłonginy S Šroden okręgu 6 leży poza trojkątem Symetraina podstawy zawiera wysokość poprowadzoną na po. astawę. Srodek okręgu opisane. go trójkącie leży na prostej za. wierającej wysokość poprowa- dzoną na podstawę. R 2+y rysunek Trójkąt równoboczny R R-promien okręgu opisanego na trójkącie r. wysokosc 2 R = = 1/3 h Trojkąt prostokątny R-promien okręgu opisanego na trójkącie c- przeciwprostokątna R = 1/2 c R-promien Okręgu opisanego w trójkąt r- wysokość opuszczo na na podstawę okrag wpisany w trójkąt Twierdzenie w dowolnym trójnącie dwusieczne przecinają się w Jednym punkcie. Wynika z tego że w środnu tego trójnąła mozna po- prowadzić onrag o środnu w punkcie O. Słyczny do boków tego trójkąta Okrag, htóry jest słyczny do wszystkich boków trojngta nazywamy onre. giem wpisanym w trojng+ 0 trojnacie powiemy ze jest to trojngt opisany na on regu. Okręgi wpisane w wybrane trójkąty Trojna+ równoramienny Trójkąt równoboczny Symetraine bonów zawierają wysokości. Środek Okręgu jest punntem przecięcia wysoko- sci w tym trojkącie R-promien okręgu wpisanego w trójkąt r-wysokosć r = 3 h Sroden Okręgu jest środkiem przeciwprostokątnej trójkąta Dwusieczna nota pomiędzy ra. mionami zawiera wysoność two- jnąta. Środen onręgu leży na wysokości opuszczonej na po. astawę. Dwusieczne nałów zawierają wysokości. Środek onręgu jest punk+em przecięcia wysoнošci w tym trójkącie a.r a Trojnąt prostokątny b a-r D-r 8 JADI ·LACI ・IDBI. ICBI b-r R-promien okręgu wpisanego w trójkąt ab-przyprostokątne · c przeciwprostokątna r = a+b-c 2. Podziar boku przez dwusieczną kąta wewnętrznego trójkąta - W kazdym. takım trójkącie ABC, gdy odcinek CD jest odcinkiem dwusiecznej kąta wewnę- +rznego tego trójkąta prawdziwa jest równość: Punkty styczności onvęgu z bo- Kami tego trójkąta dzielą te boki na dane odcinki