Otwórz aplikację

Przedmioty

Zbiór zadań z matematyki z rozwiązaniami - PDF dla klasy 3, matura i więcej!

22

0

user profile picture

🧿Marta 🧿

17.09.2025

Matematyka

matura rozszerzona matematyka

913

17 wrz 2025

12 strony

Zbiór zadań z matematyki z rozwiązaniami - PDF dla klasy 3, matura i więcej!

Matematyka to fascynująca dziedzina nauki, która wymaga systematycznego podejścia do... Pokaż więcej

Page 1
Page 2
Page 3
Page 4
Page 5
Page 6
Page 7
Page 8
Page 9
Page 10
1 / 10
Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Zaawansowane Zadania Matematyczne z Rozwiązaniami

Zadania z matematyki z rozwiązaniami stanowią kluczowy element w nauce matematyki na poziomie szkoły średniej. W tym kompleksowym zbiorze przedstawiamy szczegółowe rozwiązania zadań z różnych działów matematyki, ze szczególnym uwzględnieniem wyrażeń algebraicznych i geometrii.

Definicja: Wyrażenie algebraiczne to kombinacja liczb i zmiennych połączonych działaniami matematycznymi, np. (31(√3− 1² + 3+1√3+ 1²)³.

W pierwszym zadaniu analizujemy złożone wyrażenie algebraiczne zawierające pierwiastki i potęgi. Rozwiązanie wymaga systematycznego podejścia: najpierw upraszczamy wyrażenia w nawiasach, następnie dodajemy je, a na końcu podnosimy do trzeciej potęgi. To klasyczny przykład zadania maturalnego z matematyki.

Kolejne zadanie dotyczy granic funkcji - koncepcji fundamentalnej w analizie matematycznej. Przy badaniu granic kluczowe jest zrozumienie zachowania funkcji w nieskończoności oraz w punktach osobliwych.

Przykład: Przy obliczaniu granicy funkcji wymiernej należy zawsze sprawdzić:

  • Dziedzinę funkcji
  • Punkty, w których mianownik przyjmuje wartość zero
  • Zachowanie funkcji w nieskończoności
Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Dzielenie Wielomianów i Metoda Hornera

Dzielenie wielomianu przez dwumian to jedna z podstawowych operacji w algebrze. W przedstawionym zadaniu mamy do czynienia z dzieleniem wielomianu 2x³ – x² - 6x + 5 przez dwumian x² - 4.

Wskazówka: Przy dzieleniu wielomianu przez dwumian liniowy warto stosować Schemat Hornera, który znacznie upraszcza obliczenia.

Proces dzielenia wielomianów wymaga systematycznego podejścia:

  1. Zapisujemy wielomian w formie uporządkowanej
  2. Wykonujemy kolejne kroki dzielenia
  3. Wyznaczamy resztę z dzielenia

W tym przypadku otrzymujemy wynik w postaci wielomianu 2x-1 oraz resztę ax + b, gdzie należy wyznaczyć wartości współczynników a i b.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Wektory i Geometria Analityczna

W geometrii analitycznej często spotykamy zadania łączące algebrę z geometrią. Rozważamy tu problem z wektorami, gdzie należy znaleźć wartości parametrów p i q, aby wektory tworzyły trójkąt.

Definicja: Wektor to wielkość charakteryzowana przez kierunek, zwrot i długość. W układzie współrzędnych reprezentowany jest przez parę liczb x,yx,y.

Rozwiązanie wymaga:

  • Zapisania równań wektorowych
  • Przekształcenia ich do układu równań liniowych
  • Sprawdzenia warunków istnienia trójkąta
Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Nierówności i Dowodzenie Twierdzeń

Ostatnie zadanie dotyczy dowodzenia nierówności dla liczb rzeczywistych większych od 1. Jest to przykład zadania z matematyki wymagającego logicznego rozumowania i znajomości własności nierówności.

Highlight: Przy dowodzeniu nierówności kluczowe jest:

  • Przekształcenie wyrażenia do dogodnej postaci
  • Wykorzystanie założeń o wartościach zmiennych
  • Wykazanie, że otrzymane wyrażenie spełnia zadane warunki

Tego typu zadania rozwijają umiejętność logicznego myślenia i są często spotykane na egzaminach maturalnych.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Rozwiązywanie Zadań z Geometrii i Trygonometrii

Zadania z matematyki z rozwiązaniami wymagają systematycznego podejścia i dokładnego zrozumienia kluczowych pojęć. W pierwszym zadaniu analizujemy własności pola trójkąta równobocznego oraz jego podziału.

Definicja: Trójkąt równoboczny to figura geometryczna, w której wszystkie boki są równej długości, a wszystkie kąty mają po 60 stopni.

W trójkącie ABC punkty D i E zostały wybrane tak, że |CD| = |AE| = |AB|. Ta własność jest kluczowa dla dalszych obliczeń, ponieważ tworzy proporcjonalne podziały boków. Przy obliczaniu stosunku pól trójkątów APE i ABC wykorzystujemy własności trygonometryczne oraz twierdzenie o polach trójkątów podobnych.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Analiza Zadań z Geometrii Analitycznej

W kolejnym zadaniu zajmujemy się geometrią analityczną, gdzie zadania maturalne matematyka często wymagają znajomości odległości punktu od prostej.

Przykład: Dla prostej o równaniu ax + by + c = 0 i punktu P(x₀,y₀), odległość punktu od prostej wyraża się wzorem: |ax₀ + by₀ + c| / √a2+b2a² + b²

Rozwiązanie wymaga wykorzystania układu równań i przekształceń algebraicznych. Kluczowym elementem jest zrozumienie, że odległości punktu P od prostych k i l pozostają w stosunku 3:1.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Ciągi i Szeregi Matematyczne

W zadaniu dotyczącym ciągów mamy do czynienia z przykładowymi zadaniami z matematyki wyższego poziomu.

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu zadań z ciągami należy zwrócić szczególną uwagę na warunki początkowe i zależności rekurencyjne.

Suma pierwszych czterech wyrazów ciągu oraz warunek logarytmiczny dla różnicy kolejnych wyrazów pozwalają nam wyznaczyć wszystkie potrzebne elementy. Rozwiązanie wymaga znajomości własności logarytmów i umiejętności przekształcania wyrażeń algebraicznych.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Geometria Przestrzenna - Sześcian

Ostatnie zadanie dotyczy geometrii przestrzennej, gdzie zadania z matematyki klasa 3 często koncentrują się na bryłach przestrzennych.

Highlight: W sześcianie wszystkie krawędzie są równej długości, a wszystkie ściany są przystającymi kwadratami.

Kluczem do rozwiązania jest wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa w przestrzeni oraz własności przekątnych sześcianu. Odległość wierzchołka od przekątnej wymaga zastosowania geometrii trójwymiarowej i twierdzenia o rzucie prostokątnym.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Rozwiązywanie Zadań z Geometrii Okręgu i Trójkątów

Zagadnienie geometryczne dotyczące okręgu i cięciw wymaga dokładnego zrozumienia związków między elementami okręgu a wpisanym w niego trójkątem. W tym zadaniu z matematyki z rozwiązaniami skupiamy się na analizie trójkąta ostrokątnego utworzonego przez trzy cięciwy okręgu o promieniu r.

Definicja: Cięciwa to odcinek łączący dwa punkty na okręgu. Długość cięciwy zależy od jej odległości od środka okręgu i można ją obliczyć za pomocą twierdzenia o cięciwach.

Rozwiązanie tego typu zadania maturalne matematyka wymaga wykorzystania kilku kluczowych zależności trygonometrycznych. Gdy znamy długości dwóch cięciw (1r i r√3), możemy wykorzystać związki między kątami środkowymi a odpowiadającymi im cięciwami do wyznaczenia długości trzeciej cięciwy.

W procesie rozwiązywania wykorzystujemy wzór na długość cięciwy: d = 2R·sinα/2α/2, gdzie R to promień okręgu, a α to kąt środkowy odpowiadający cięciwie. Dzięki temu możemy utworzyć układ równań trygonometrycznych, który prowadzi do wykazania, że trzecia cięciwa ma długość 1+351+3√5r.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Zastosowanie Trygonometrii w Geometrii Okręgu

W rozwiązywaniu przykładowych zadań z matematyki tego typu kluczowe jest zrozumienie związków między elementami trójkąta a okręgiem opisanym. Wykorzystujemy tutaj własności trójkątów ostrokątnych oraz związki między kątami środkowymi i wpisanymi.

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu zadań z geometrii okręgu warto pamiętać o podstawowych zależnościach: suma kątów w trójkącie wynosi 180°, a kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

W tym konkretnym zadaniu info wykorzystujemy również własności funkcji trygonometrycznych, w szczególności związki między sinusem i cosinusem tego samego kąta sin2α+cos2α=1sin²α + cos²α = 1. To pozwala nam przekształcić wyrażenia zawierające funkcje trygonometryczne i doprowadzić do żądanego wyniku.

Warto zauważyć, że tego typu zadania często pojawiają się na egzaminach maturalnych, dlatego stanowią ważny element w zbiorze zadań z matematyki. Umiejętność łączenia wiedzy z geometrii i trygonometrii jest kluczowa dla sukcesu w rozwiązywaniu podobnych problemów matematycznych.



Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

 

Matematyka

913

17 wrz 2025

12 strony

Zbiór zadań z matematyki z rozwiązaniami - PDF dla klasy 3, matura i więcej!

Matematyka to fascynująca dziedzina nauki, która wymaga systematycznego podejścia do nauki i rozwiązywania zadań.

Zadania z matematyki z rozwiązaniami stanowią podstawę skutecznej nauki matematyki. Szczególnie ważne są przykładowe zadania z matematyki, które pozwalają uczniom zrozumieć różne koncepcje matematyczne w... Pokaż więcej

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Zaawansowane Zadania Matematyczne z Rozwiązaniami

Zadania z matematyki z rozwiązaniami stanowią kluczowy element w nauce matematyki na poziomie szkoły średniej. W tym kompleksowym zbiorze przedstawiamy szczegółowe rozwiązania zadań z różnych działów matematyki, ze szczególnym uwzględnieniem wyrażeń algebraicznych i geometrii.

Definicja: Wyrażenie algebraiczne to kombinacja liczb i zmiennych połączonych działaniami matematycznymi, np. (31(√3− 1² + 3+1√3+ 1²)³.

W pierwszym zadaniu analizujemy złożone wyrażenie algebraiczne zawierające pierwiastki i potęgi. Rozwiązanie wymaga systematycznego podejścia: najpierw upraszczamy wyrażenia w nawiasach, następnie dodajemy je, a na końcu podnosimy do trzeciej potęgi. To klasyczny przykład zadania maturalnego z matematyki.

Kolejne zadanie dotyczy granic funkcji - koncepcji fundamentalnej w analizie matematycznej. Przy badaniu granic kluczowe jest zrozumienie zachowania funkcji w nieskończoności oraz w punktach osobliwych.

Przykład: Przy obliczaniu granicy funkcji wymiernej należy zawsze sprawdzić:

  • Dziedzinę funkcji
  • Punkty, w których mianownik przyjmuje wartość zero
  • Zachowanie funkcji w nieskończoności
Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Dzielenie Wielomianów i Metoda Hornera

Dzielenie wielomianu przez dwumian to jedna z podstawowych operacji w algebrze. W przedstawionym zadaniu mamy do czynienia z dzieleniem wielomianu 2x³ – x² - 6x + 5 przez dwumian x² - 4.

Wskazówka: Przy dzieleniu wielomianu przez dwumian liniowy warto stosować Schemat Hornera, który znacznie upraszcza obliczenia.

Proces dzielenia wielomianów wymaga systematycznego podejścia:

  1. Zapisujemy wielomian w formie uporządkowanej
  2. Wykonujemy kolejne kroki dzielenia
  3. Wyznaczamy resztę z dzielenia

W tym przypadku otrzymujemy wynik w postaci wielomianu 2x-1 oraz resztę ax + b, gdzie należy wyznaczyć wartości współczynników a i b.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wektory i Geometria Analityczna

W geometrii analitycznej często spotykamy zadania łączące algebrę z geometrią. Rozważamy tu problem z wektorami, gdzie należy znaleźć wartości parametrów p i q, aby wektory tworzyły trójkąt.

Definicja: Wektor to wielkość charakteryzowana przez kierunek, zwrot i długość. W układzie współrzędnych reprezentowany jest przez parę liczb x,yx,y.

Rozwiązanie wymaga:

  • Zapisania równań wektorowych
  • Przekształcenia ich do układu równań liniowych
  • Sprawdzenia warunków istnienia trójkąta
Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Nierówności i Dowodzenie Twierdzeń

Ostatnie zadanie dotyczy dowodzenia nierówności dla liczb rzeczywistych większych od 1. Jest to przykład zadania z matematyki wymagającego logicznego rozumowania i znajomości własności nierówności.

Highlight: Przy dowodzeniu nierówności kluczowe jest:

  • Przekształcenie wyrażenia do dogodnej postaci
  • Wykorzystanie założeń o wartościach zmiennych
  • Wykazanie, że otrzymane wyrażenie spełnia zadane warunki

Tego typu zadania rozwijają umiejętność logicznego myślenia i są często spotykane na egzaminach maturalnych.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Rozwiązywanie Zadań z Geometrii i Trygonometrii

Zadania z matematyki z rozwiązaniami wymagają systematycznego podejścia i dokładnego zrozumienia kluczowych pojęć. W pierwszym zadaniu analizujemy własności pola trójkąta równobocznego oraz jego podziału.

Definicja: Trójkąt równoboczny to figura geometryczna, w której wszystkie boki są równej długości, a wszystkie kąty mają po 60 stopni.

W trójkącie ABC punkty D i E zostały wybrane tak, że |CD| = |AE| = |AB|. Ta własność jest kluczowa dla dalszych obliczeń, ponieważ tworzy proporcjonalne podziały boków. Przy obliczaniu stosunku pól trójkątów APE i ABC wykorzystujemy własności trygonometryczne oraz twierdzenie o polach trójkątów podobnych.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Analiza Zadań z Geometrii Analitycznej

W kolejnym zadaniu zajmujemy się geometrią analityczną, gdzie zadania maturalne matematyka często wymagają znajomości odległości punktu od prostej.

Przykład: Dla prostej o równaniu ax + by + c = 0 i punktu P(x₀,y₀), odległość punktu od prostej wyraża się wzorem: |ax₀ + by₀ + c| / √a2+b2a² + b²

Rozwiązanie wymaga wykorzystania układu równań i przekształceń algebraicznych. Kluczowym elementem jest zrozumienie, że odległości punktu P od prostych k i l pozostają w stosunku 3:1.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Ciągi i Szeregi Matematyczne

W zadaniu dotyczącym ciągów mamy do czynienia z przykładowymi zadaniami z matematyki wyższego poziomu.

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu zadań z ciągami należy zwrócić szczególną uwagę na warunki początkowe i zależności rekurencyjne.

Suma pierwszych czterech wyrazów ciągu oraz warunek logarytmiczny dla różnicy kolejnych wyrazów pozwalają nam wyznaczyć wszystkie potrzebne elementy. Rozwiązanie wymaga znajomości własności logarytmów i umiejętności przekształcania wyrażeń algebraicznych.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Geometria Przestrzenna - Sześcian

Ostatnie zadanie dotyczy geometrii przestrzennej, gdzie zadania z matematyki klasa 3 często koncentrują się na bryłach przestrzennych.

Highlight: W sześcianie wszystkie krawędzie są równej długości, a wszystkie ściany są przystającymi kwadratami.

Kluczem do rozwiązania jest wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa w przestrzeni oraz własności przekątnych sześcianu. Odległość wierzchołka od przekątnej wymaga zastosowania geometrii trójwymiarowej i twierdzenia o rzucie prostokątnym.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Rozwiązywanie Zadań z Geometrii Okręgu i Trójkątów

Zagadnienie geometryczne dotyczące okręgu i cięciw wymaga dokładnego zrozumienia związków między elementami okręgu a wpisanym w niego trójkątem. W tym zadaniu z matematyki z rozwiązaniami skupiamy się na analizie trójkąta ostrokątnego utworzonego przez trzy cięciwy okręgu o promieniu r.

Definicja: Cięciwa to odcinek łączący dwa punkty na okręgu. Długość cięciwy zależy od jej odległości od środka okręgu i można ją obliczyć za pomocą twierdzenia o cięciwach.

Rozwiązanie tego typu zadania maturalne matematyka wymaga wykorzystania kilku kluczowych zależności trygonometrycznych. Gdy znamy długości dwóch cięciw (1r i r√3), możemy wykorzystać związki między kątami środkowymi a odpowiadającymi im cięciwami do wyznaczenia długości trzeciej cięciwy.

W procesie rozwiązywania wykorzystujemy wzór na długość cięciwy: d = 2R·sinα/2α/2, gdzie R to promień okręgu, a α to kąt środkowy odpowiadający cięciwie. Dzięki temu możemy utworzyć układ równań trygonometrycznych, który prowadzi do wykazania, że trzecia cięciwa ma długość 1+351+3√5r.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Zastosowanie Trygonometrii w Geometrii Okręgu

W rozwiązywaniu przykładowych zadań z matematyki tego typu kluczowe jest zrozumienie związków między elementami trójkąta a okręgiem opisanym. Wykorzystujemy tutaj własności trójkątów ostrokątnych oraz związki między kątami środkowymi i wpisanymi.

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu zadań z geometrii okręgu warto pamiętać o podstawowych zależnościach: suma kątów w trójkącie wynosi 180°, a kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

W tym konkretnym zadaniu info wykorzystujemy również własności funkcji trygonometrycznych, w szczególności związki między sinusem i cosinusem tego samego kąta sin2α+cos2α=1sin²α + cos²α = 1. To pozwala nam przekształcić wyrażenia zawierające funkcje trygonometryczne i doprowadzić do żądanego wyniku.

Warto zauważyć, że tego typu zadania często pojawiają się na egzaminach maturalnych, dlatego stanowią ważny element w zbiorze zadań z matematyki. Umiejętność łączenia wiedzy z geometrii i trygonometrii jest kluczowa dla sukcesu w rozwiązywaniu podobnych problemów matematycznych.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

22

App Logo

Knowunity ist besser in der App

Hol dir die App, um Zugang zu den smarten Tools mit interaktiven Karteikarten, Übungsaufgaben, Probeklausuren und Zusammenfassungen zu bekommen

Podobne notatki

Obliczanie Pola Czworokątów

Praktyczne zadania dotyczące obliczania pola czworokątów, w tym rombów i trapezów. Zawiera wzory na pole i obwód, przykłady oraz szczegółowe obliczenia. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.

MatematykaMatematyka
3

Matura Matematyka: Poziom Rozszerzony

Przygotuj się do matury z matematyki na poziomie rozszerzonym z arkuszem autorstwa Krzysztofa Pazdro. Zawiera zadania dotyczące równań, pól figur geometrycznych, funkcji oraz dowodów matematycznych. Idealne materiały do nauki i powtórki przed egzaminem.

MatematykaMatematyka
4

Matura Matematyka 2020

Kompletny arkusz maturalny z matematyki na poziomie podstawowym z 2020 roku. Zawiera zadania dotyczące wzorów matematycznych, geometrii, równań, nierówności oraz funkcji. Idealne materiały do nauki i przygotowania do egzaminu.

MatematykaMatematyka
4

Matura 2021: Matematyka

Arkusz maturalny z matematyki z dnia 5 maja 2021 roku. Zawiera zadania dotyczące układów równań, funkcji, geometrii, trójkątów równobocznych oraz nierówności. Idealne materiały do przygotowania się do egzaminu maturalnego.

MatematykaMatematyka
4

Wzory Figur Geometrycznych

Zbiór kluczowych wzorów dotyczących pól i obwodów figur geometrycznych, w tym kwadratów, prostokątów, trójkątów, rombów i trapezów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Symetria i Okręgi w Geometrii

Zgłębiaj zasady symetrii oraz właściwości okręgów w geometrii płaskiej. Obejmuje twierdzenia dotyczące trójkątów, okręgów opisanych i wpisanych, a także wzory na obwody i pole. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
2

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS