Otwórz aplikację

Przedmioty

Zbiór zadań z matematyki z rozwiązaniami - PDF dla klasy 3, matura i więcej!

22

0

user profile picture

🧿Marta 🧿

7.09.2022

Matematyka

matura rozszerzona matematyka

902

7 wrz 2022

12 strony

Zbiór zadań z matematyki z rozwiązaniami - PDF dla klasy 3, matura i więcej!

Matematyka to fascynująca dziedzina nauki, która wymaga systematycznego podejścia do... Pokaż więcej

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny
Quiz
Fiszki
Esej
Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Zaawansowane Zadania Matematyczne z Rozwiązaniami

Zadania z matematyki z rozwiązaniami stanowią kluczowy element w nauce matematyki na poziomie szkoły średniej. W tym kompleksowym zbiorze przedstawiamy szczegółowe rozwiązania zadań z różnych działów matematyki, ze szczególnym uwzględnieniem wyrażeń algebraicznych i geometrii.

Definicja: Wyrażenie algebraiczne to kombinacja liczb i zmiennych połączonych działaniami matematycznymi, np. ((√3− 1)² + (√3+ 1)²)³.

W pierwszym zadaniu analizujemy złożone wyrażenie algebraiczne zawierające pierwiastki i potęgi. Rozwiązanie wymaga systematycznego podejścia: najpierw upraszczamy wyrażenia w nawiasach, następnie dodajemy je, a na końcu podnosimy do trzeciej potęgi. To klasyczny przykład zadania maturalnego z matematyki.

Kolejne zadanie dotyczy granic funkcji - koncepcji fundamentalnej w analizie matematycznej. Przy badaniu granic kluczowe jest zrozumienie zachowania funkcji w nieskończoności oraz w punktach osobliwych.

Przykład: Przy obliczaniu granicy funkcji wymiernej należy zawsze sprawdzić:

  • Dziedzinę funkcji
  • Punkty, w których mianownik przyjmuje wartość zero
  • Zachowanie funkcji w nieskończoności
Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Dzielenie Wielomianów i Metoda Hornera

Dzielenie wielomianu przez dwumian to jedna z podstawowych operacji w algebrze. W przedstawionym zadaniu mamy do czynienia z dzieleniem wielomianu 2x³ – x² - 6x + 5 przez dwumian x² - 4.

Wskazówka: Przy dzieleniu wielomianu przez dwumian liniowy warto stosować Schemat Hornera, który znacznie upraszcza obliczenia.

Proces dzielenia wielomianów wymaga systematycznego podejścia:

  1. Zapisujemy wielomian w formie uporządkowanej
  2. Wykonujemy kolejne kroki dzielenia
  3. Wyznaczamy resztę z dzielenia

W tym przypadku otrzymujemy wynik w postaci wielomianu 2x-1 oraz resztę ax + b, gdzie należy wyznaczyć wartości współczynników a i b.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Wektory i Geometria Analityczna

W geometrii analitycznej często spotykamy zadania łączące algebrę z geometrią. Rozważamy tu problem z wektorami, gdzie należy znaleźć wartości parametrów p i q, aby wektory tworzyły trójkąt.

Definicja: Wektor to wielkość charakteryzowana przez kierunek, zwrot i długość. W układzie współrzędnych reprezentowany jest przez parę liczb [x,y].

Rozwiązanie wymaga:

  • Zapisania równań wektorowych
  • Przekształcenia ich do układu równań liniowych
  • Sprawdzenia warunków istnienia trójkąta
Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Nierówności i Dowodzenie Twierdzeń

Ostatnie zadanie dotyczy dowodzenia nierówności dla liczb rzeczywistych większych od 1. Jest to przykład zadania z matematyki wymagającego logicznego rozumowania i znajomości własności nierówności.

Highlight: Przy dowodzeniu nierówności kluczowe jest:

  • Przekształcenie wyrażenia do dogodnej postaci
  • Wykorzystanie założeń o wartościach zmiennych
  • Wykazanie, że otrzymane wyrażenie spełnia zadane warunki

Tego typu zadania rozwijają umiejętność logicznego myślenia i są często spotykane na egzaminach maturalnych.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Rozwiązywanie Zadań z Geometrii i Trygonometrii

Zadania z matematyki z rozwiązaniami wymagają systematycznego podejścia i dokładnego zrozumienia kluczowych pojęć. W pierwszym zadaniu analizujemy własności pola trójkąta równobocznego oraz jego podziału.

Definicja: Trójkąt równoboczny to figura geometryczna, w której wszystkie boki są równej długości, a wszystkie kąty mają po 60 stopni.

W trójkącie ABC punkty D i E zostały wybrane tak, że |CD| = |AE| = |AB|. Ta własność jest kluczowa dla dalszych obliczeń, ponieważ tworzy proporcjonalne podziały boków. Przy obliczaniu stosunku pól trójkątów APE i ABC wykorzystujemy własności trygonometryczne oraz twierdzenie o polach trójkątów podobnych.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Analiza Zadań z Geometrii Analitycznej

W kolejnym zadaniu zajmujemy się geometrią analityczną, gdzie zadania maturalne matematyka często wymagają znajomości odległości punktu od prostej.

Przykład: Dla prostej o równaniu ax + by + c = 0 i punktu P(x₀,y₀), odległość punktu od prostej wyraża się wzorem: |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)

Rozwiązanie wymaga wykorzystania układu równań i przekształceń algebraicznych. Kluczowym elementem jest zrozumienie, że odległości punktu P od prostych k i l pozostają w stosunku 3:1.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Ciągi i Szeregi Matematyczne

W zadaniu dotyczącym ciągów mamy do czynienia z przykładowymi zadaniami z matematyki wyższego poziomu.

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu zadań z ciągami należy zwrócić szczególną uwagę na warunki początkowe i zależności rekurencyjne.

Suma pierwszych czterech wyrazów ciągu oraz warunek logarytmiczny dla różnicy kolejnych wyrazów pozwalają nam wyznaczyć wszystkie potrzebne elementy. Rozwiązanie wymaga znajomości własności logarytmów i umiejętności przekształcania wyrażeń algebraicznych.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Geometria Przestrzenna - Sześcian

Ostatnie zadanie dotyczy geometrii przestrzennej, gdzie zadania z matematyki klasa 3 często koncentrują się na bryłach przestrzennych.

Highlight: W sześcianie wszystkie krawędzie są równej długości, a wszystkie ściany są przystającymi kwadratami.

Kluczem do rozwiązania jest wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa w przestrzeni oraz własności przekątnych sześcianu. Odległość wierzchołka od przekątnej wymaga zastosowania geometrii trójwymiarowej i twierdzenia o rzucie prostokątnym.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Rozwiązywanie Zadań z Geometrii Okręgu i Trójkątów

Zagadnienie geometryczne dotyczące okręgu i cięciw wymaga dokładnego zrozumienia związków między elementami okręgu a wpisanym w niego trójkątem. W tym zadaniu z matematyki z rozwiązaniami skupiamy się na analizie trójkąta ostrokątnego utworzonego przez trzy cięciwy okręgu o promieniu r.

Definicja: Cięciwa to odcinek łączący dwa punkty na okręgu. Długość cięciwy zależy od jej odległości od środka okręgu i można ją obliczyć za pomocą twierdzenia o cięciwach.

Rozwiązanie tego typu zadania maturalne matematyka wymaga wykorzystania kilku kluczowych zależności trygonometrycznych. Gdy znamy długości dwóch cięciw (1r i r√3), możemy wykorzystać związki między kątami środkowymi a odpowiadającymi im cięciwami do wyznaczenia długości trzeciej cięciwy.

W procesie rozwiązywania wykorzystujemy wzór na długość cięciwy: d = 2R·sin(α/2), gdzie R to promień okręgu, a α to kąt środkowy odpowiadający cięciwie. Dzięki temu możemy utworzyć układ równań trygonometrycznych, który prowadzi do wykazania, że trzecia cięciwa ma długość (1+3√5)r.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Zastosowanie Trygonometrii w Geometrii Okręgu

W rozwiązywaniu przykładowych zadań z matematyki tego typu kluczowe jest zrozumienie związków między elementami trójkąta a okręgiem opisanym. Wykorzystujemy tutaj własności trójkątów ostrokątnych oraz związki między kątami środkowymi i wpisanymi.

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu zadań z geometrii okręgu warto pamiętać o podstawowych zależnościach: suma kątów w trójkącie wynosi 180°, a kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

W tym konkretnym zadaniu info wykorzystujemy również własności funkcji trygonometrycznych, w szczególności związki między sinusem i cosinusem tego samego kąta (sin²α + cos²α = 1). To pozwala nam przekształcić wyrażenia zawierające funkcje trygonometryczne i doprowadzić do żądanego wyniku.

Warto zauważyć, że tego typu zadania często pojawiają się na egzaminach maturalnych, dlatego stanowią ważny element w zbiorze zadań z matematyki. Umiejętność łączenia wiedzy z geometrii i trygonometrii jest kluczowa dla sukcesu w rozwiązywaniu podobnych problemów matematycznych.



Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

 

Matematyka

902

7 wrz 2022

12 strony

Zbiór zadań z matematyki z rozwiązaniami - PDF dla klasy 3, matura i więcej!

Matematyka to fascynująca dziedzina nauki, która wymaga systematycznego podejścia do nauki i rozwiązywania zadań.

Zadania z matematyki z rozwiązaniami stanowią podstawę skutecznej nauki matematyki. Szczególnie ważne są przykładowe zadania z matematyki, które pozwalają uczniom zrozumieć różne koncepcje matematyczne w... Pokaż więcej

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Zaawansowane Zadania Matematyczne z Rozwiązaniami

Zadania z matematyki z rozwiązaniami stanowią kluczowy element w nauce matematyki na poziomie szkoły średniej. W tym kompleksowym zbiorze przedstawiamy szczegółowe rozwiązania zadań z różnych działów matematyki, ze szczególnym uwzględnieniem wyrażeń algebraicznych i geometrii.

Definicja: Wyrażenie algebraiczne to kombinacja liczb i zmiennych połączonych działaniami matematycznymi, np. ((√3− 1)² + (√3+ 1)²)³.

W pierwszym zadaniu analizujemy złożone wyrażenie algebraiczne zawierające pierwiastki i potęgi. Rozwiązanie wymaga systematycznego podejścia: najpierw upraszczamy wyrażenia w nawiasach, następnie dodajemy je, a na końcu podnosimy do trzeciej potęgi. To klasyczny przykład zadania maturalnego z matematyki.

Kolejne zadanie dotyczy granic funkcji - koncepcji fundamentalnej w analizie matematycznej. Przy badaniu granic kluczowe jest zrozumienie zachowania funkcji w nieskończoności oraz w punktach osobliwych.

Przykład: Przy obliczaniu granicy funkcji wymiernej należy zawsze sprawdzić:

  • Dziedzinę funkcji
  • Punkty, w których mianownik przyjmuje wartość zero
  • Zachowanie funkcji w nieskończoności
Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Dzielenie Wielomianów i Metoda Hornera

Dzielenie wielomianu przez dwumian to jedna z podstawowych operacji w algebrze. W przedstawionym zadaniu mamy do czynienia z dzieleniem wielomianu 2x³ – x² - 6x + 5 przez dwumian x² - 4.

Wskazówka: Przy dzieleniu wielomianu przez dwumian liniowy warto stosować Schemat Hornera, który znacznie upraszcza obliczenia.

Proces dzielenia wielomianów wymaga systematycznego podejścia:

  1. Zapisujemy wielomian w formie uporządkowanej
  2. Wykonujemy kolejne kroki dzielenia
  3. Wyznaczamy resztę z dzielenia

W tym przypadku otrzymujemy wynik w postaci wielomianu 2x-1 oraz resztę ax + b, gdzie należy wyznaczyć wartości współczynników a i b.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wektory i Geometria Analityczna

W geometrii analitycznej często spotykamy zadania łączące algebrę z geometrią. Rozważamy tu problem z wektorami, gdzie należy znaleźć wartości parametrów p i q, aby wektory tworzyły trójkąt.

Definicja: Wektor to wielkość charakteryzowana przez kierunek, zwrot i długość. W układzie współrzędnych reprezentowany jest przez parę liczb [x,y].

Rozwiązanie wymaga:

  • Zapisania równań wektorowych
  • Przekształcenia ich do układu równań liniowych
  • Sprawdzenia warunków istnienia trójkąta
Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Nierówności i Dowodzenie Twierdzeń

Ostatnie zadanie dotyczy dowodzenia nierówności dla liczb rzeczywistych większych od 1. Jest to przykład zadania z matematyki wymagającego logicznego rozumowania i znajomości własności nierówności.

Highlight: Przy dowodzeniu nierówności kluczowe jest:

  • Przekształcenie wyrażenia do dogodnej postaci
  • Wykorzystanie założeń o wartościach zmiennych
  • Wykazanie, że otrzymane wyrażenie spełnia zadane warunki

Tego typu zadania rozwijają umiejętność logicznego myślenia i są często spotykane na egzaminach maturalnych.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Rozwiązywanie Zadań z Geometrii i Trygonometrii

Zadania z matematyki z rozwiązaniami wymagają systematycznego podejścia i dokładnego zrozumienia kluczowych pojęć. W pierwszym zadaniu analizujemy własności pola trójkąta równobocznego oraz jego podziału.

Definicja: Trójkąt równoboczny to figura geometryczna, w której wszystkie boki są równej długości, a wszystkie kąty mają po 60 stopni.

W trójkącie ABC punkty D i E zostały wybrane tak, że |CD| = |AE| = |AB|. Ta własność jest kluczowa dla dalszych obliczeń, ponieważ tworzy proporcjonalne podziały boków. Przy obliczaniu stosunku pól trójkątów APE i ABC wykorzystujemy własności trygonometryczne oraz twierdzenie o polach trójkątów podobnych.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Analiza Zadań z Geometrii Analitycznej

W kolejnym zadaniu zajmujemy się geometrią analityczną, gdzie zadania maturalne matematyka często wymagają znajomości odległości punktu od prostej.

Przykład: Dla prostej o równaniu ax + by + c = 0 i punktu P(x₀,y₀), odległość punktu od prostej wyraża się wzorem: |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)

Rozwiązanie wymaga wykorzystania układu równań i przekształceń algebraicznych. Kluczowym elementem jest zrozumienie, że odległości punktu P od prostych k i l pozostają w stosunku 3:1.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Ciągi i Szeregi Matematyczne

W zadaniu dotyczącym ciągów mamy do czynienia z przykładowymi zadaniami z matematyki wyższego poziomu.

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu zadań z ciągami należy zwrócić szczególną uwagę na warunki początkowe i zależności rekurencyjne.

Suma pierwszych czterech wyrazów ciągu oraz warunek logarytmiczny dla różnicy kolejnych wyrazów pozwalają nam wyznaczyć wszystkie potrzebne elementy. Rozwiązanie wymaga znajomości własności logarytmów i umiejętności przekształcania wyrażeń algebraicznych.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Geometria Przestrzenna - Sześcian

Ostatnie zadanie dotyczy geometrii przestrzennej, gdzie zadania z matematyki klasa 3 często koncentrują się na bryłach przestrzennych.

Highlight: W sześcianie wszystkie krawędzie są równej długości, a wszystkie ściany są przystającymi kwadratami.

Kluczem do rozwiązania jest wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa w przestrzeni oraz własności przekątnych sześcianu. Odległość wierzchołka od przekątnej wymaga zastosowania geometrii trójwymiarowej i twierdzenia o rzucie prostokątnym.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Rozwiązywanie Zadań z Geometrii Okręgu i Trójkątów

Zagadnienie geometryczne dotyczące okręgu i cięciw wymaga dokładnego zrozumienia związków między elementami okręgu a wpisanym w niego trójkątem. W tym zadaniu z matematyki z rozwiązaniami skupiamy się na analizie trójkąta ostrokątnego utworzonego przez trzy cięciwy okręgu o promieniu r.

Definicja: Cięciwa to odcinek łączący dwa punkty na okręgu. Długość cięciwy zależy od jej odległości od środka okręgu i można ją obliczyć za pomocą twierdzenia o cięciwach.

Rozwiązanie tego typu zadania maturalne matematyka wymaga wykorzystania kilku kluczowych zależności trygonometrycznych. Gdy znamy długości dwóch cięciw (1r i r√3), możemy wykorzystać związki między kątami środkowymi a odpowiadającymi im cięciwami do wyznaczenia długości trzeciej cięciwy.

W procesie rozwiązywania wykorzystujemy wzór na długość cięciwy: d = 2R·sin(α/2), gdzie R to promień okręgu, a α to kąt środkowy odpowiadający cięciwie. Dzięki temu możemy utworzyć układ równań trygonometrycznych, który prowadzi do wykazania, że trzecia cięciwa ma długość (1+3√5)r.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info
zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Zastosowanie Trygonometrii w Geometrii Okręgu

W rozwiązywaniu przykładowych zadań z matematyki tego typu kluczowe jest zrozumienie związków między elementami trójkąta a okręgiem opisanym. Wykorzystujemy tutaj własności trójkątów ostrokątnych oraz związki między kątami środkowymi i wpisanymi.

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu zadań z geometrii okręgu warto pamiętać o podstawowych zależnościach: suma kątów w trójkącie wynosi 180°, a kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

W tym konkretnym zadaniu info wykorzystujemy również własności funkcji trygonometrycznych, w szczególności związki między sinusem i cosinusem tego samego kąta (sin²α + cos²α = 1). To pozwala nam przekształcić wyrażenia zawierające funkcje trygonometryczne i doprowadzić do żądanego wyniku.

Warto zauważyć, że tego typu zadania często pojawiają się na egzaminach maturalnych, dlatego stanowią ważny element w zbiorze zadań z matematyki. Umiejętność łączenia wiedzy z geometrii i trygonometrii jest kluczowa dla sukcesu w rozwiązywaniu podobnych problemów matematycznych.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS