Przedmioty

Przedmioty

Więcej

Szukaj

Knowunity Pro

AI Knowunity

Przedmioty

/

Matematyka

/

Planimetria

/

Trójkąty prostokątne

/

Twierdzenie pitagorasa do rozwiązywania zadań

Zbiór zadań z matematyki z rozwiązaniami - PDF dla klasy 3, matura i więcej!

Zobacz

Zbiór zadań z matematyki z rozwiązaniami - PDF dla klasy 3, matura i więcej!
user profile picture

🧿Marta 🧿

@matgrambyme

·

2742 Obserwujących

Obserwuj

Zweryfikowana notatka

Matematyka to fascynująca dziedzina nauki, która wymaga systematycznego podejścia do nauki i rozwiązywania zadań.

Zadania z matematyki z rozwiązaniami stanowią podstawę skutecznej nauki matematyki. Szczególnie ważne są przykładowe zadania z matematyki, które pozwalają uczniom zrozumieć różne koncepcje matematyczne w praktyce. Platforma zadania info wraz z zadania info odpowiedzi oferuje szeroki zakres materiałów edukacyjnych, od podstawowych zagadnień po zaawansowane tematy matematyczne.

Jednym z kluczowych zagadnień jest dzielenie wielomianu przez dwumian oraz dzielenie wielomianu przez dwumian liniowy Schemat Hornera. Te metody są niezbędne przy rozwiązywaniu bardziej złożonych problemów algebraicznych. Dzielenie wielomianów Horner to efektywna metoda, która znacznie upraszcza obliczenia. Warto również zwrócić uwagę na resztę z dzielenia wielomianu, która ma istotne znaczenie w wielu zadaniach.

W geometrii szczególnie ważne są zagadnienia związane z trójkątami. Pole trójkąta równobocznego oraz wzór na wysokość trójkąta równobocznego to podstawowe koncepcje, które każdy uczeń powinien opanować. Wzór na pole trójkąta prostokątnego jest równie istotny i często wykorzystywany w zadaniach maturalnych. Dla uczniów przygotowujących się do matury, zadania maturalne matematyka stanowią niezbędny element przygotowań, pozwalający na systematyczne utrwalanie wiedzy i doskonalenie umiejętności rozwiązywania różnorodnych problemów matematycznych.

7.09.2022

661

Materiały pobrane z serwisu zadania.info zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT)

Zobacz

Zaawansowane Zadania Matematyczne z Rozwiązaniami

Zadania z matematyki z rozwiązaniami stanowią kluczowy element w nauce matematyki na poziomie szkoły średniej. W tym kompleksowym zbiorze przedstawiamy szczegółowe rozwiązania zadań z różnych działów matematyki, ze szczególnym uwzględnieniem wyrażeń algebraicznych i geometrii.

Definicja: Wyrażenie algebraiczne to kombinacja liczb i zmiennych połączonych działaniami matematycznymi, np. ((√3− 1)² + (√3+ 1)²)³.

W pierwszym zadaniu analizujemy złożone wyrażenie algebraiczne zawierające pierwiastki i potęgi. Rozwiązanie wymaga systematycznego podejścia: najpierw upraszczamy wyrażenia w nawiasach, następnie dodajemy je, a na końcu podnosimy do trzeciej potęgi. To klasyczny przykład zadania maturalnego z matematyki.

Kolejne zadanie dotyczy granic funkcji - koncepcji fundamentalnej w analizie matematycznej. Przy badaniu granic kluczowe jest zrozumienie zachowania funkcji w nieskończoności oraz w punktach osobliwych.

Przykład: Przy obliczaniu granicy funkcji wymiernej należy zawsze sprawdzić:

  • Dziedzinę funkcji
  • Punkty, w których mianownik przyjmuje wartość zero
  • Zachowanie funkcji w nieskończoności
Materiały pobrane z serwisu zadania.info zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT)

Zobacz

Dzielenie Wielomianów i Metoda Hornera

Dzielenie wielomianu przez dwumian to jedna z podstawowych operacji w algebrze. W przedstawionym zadaniu mamy do czynienia z dzieleniem wielomianu 2x³ – x² - 6x + 5 przez dwumian x² - 4.

Wskazówka: Przy dzieleniu wielomianu przez dwumian liniowy warto stosować Schemat Hornera, który znacznie upraszcza obliczenia.

Proces dzielenia wielomianów wymaga systematycznego podejścia:

  1. Zapisujemy wielomian w formie uporządkowanej
  2. Wykonujemy kolejne kroki dzielenia
  3. Wyznaczamy resztę z dzielenia

W tym przypadku otrzymujemy wynik w postaci wielomianu 2x-1 oraz resztę ax + b, gdzie należy wyznaczyć wartości współczynników a i b.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT)

Zobacz

Wektory i Geometria Analityczna

W geometrii analitycznej często spotykamy zadania łączące algebrę z geometrią. Rozważamy tu problem z wektorami, gdzie należy znaleźć wartości parametrów p i q, aby wektory tworzyły trójkąt.

Definicja: Wektor to wielkość charakteryzowana przez kierunek, zwrot i długość. W układzie współrzędnych reprezentowany jest przez parę liczb [x,y].

Rozwiązanie wymaga:

  • Zapisania równań wektorowych
  • Przekształcenia ich do układu równań liniowych
  • Sprawdzenia warunków istnienia trójkąta
Materiały pobrane z serwisu zadania.info zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT)

Zobacz

Nierówności i Dowodzenie Twierdzeń

Ostatnie zadanie dotyczy dowodzenia nierówności dla liczb rzeczywistych większych od 1. Jest to przykład zadania z matematyki wymagającego logicznego rozumowania i znajomości własności nierówności.

Highlight: Przy dowodzeniu nierówności kluczowe jest:

  • Przekształcenie wyrażenia do dogodnej postaci
  • Wykorzystanie założeń o wartościach zmiennych
  • Wykazanie, że otrzymane wyrażenie spełnia zadane warunki

Tego typu zadania rozwijają umiejętność logicznego myślenia i są często spotykane na egzaminach maturalnych.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT)

Zobacz

Rozwiązywanie Zadań z Geometrii i Trygonometrii

Zadania z matematyki z rozwiązaniami wymagają systematycznego podejścia i dokładnego zrozumienia kluczowych pojęć. W pierwszym zadaniu analizujemy własności pola trójkąta równobocznego oraz jego podziału.

Definicja: Trójkąt równoboczny to figura geometryczna, w której wszystkie boki są równej długości, a wszystkie kąty mają po 60 stopni.

W trójkącie ABC punkty D i E zostały wybrane tak, że |CD| = |AE| = |AB|. Ta własność jest kluczowa dla dalszych obliczeń, ponieważ tworzy proporcjonalne podziały boków. Przy obliczaniu stosunku pól trójkątów APE i ABC wykorzystujemy własności trygonometryczne oraz twierdzenie o polach trójkątów podobnych.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT)

Zobacz

Analiza Zadań z Geometrii Analitycznej

W kolejnym zadaniu zajmujemy się geometrią analityczną, gdzie zadania maturalne matematyka często wymagają znajomości odległości punktu od prostej.

Przykład: Dla prostej o równaniu ax + by + c = 0 i punktu P(x₀,y₀), odległość punktu od prostej wyraża się wzorem: |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)

Rozwiązanie wymaga wykorzystania układu równań i przekształceń algebraicznych. Kluczowym elementem jest zrozumienie, że odległości punktu P od prostych k i l pozostają w stosunku 3:1.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT)

Zobacz

Ciągi i Szeregi Matematyczne

W zadaniu dotyczącym ciągów mamy do czynienia z przykładowymi zadaniami z matematyki wyższego poziomu.

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu zadań z ciągami należy zwrócić szczególną uwagę na warunki początkowe i zależności rekurencyjne.

Suma pierwszych czterech wyrazów ciągu oraz warunek logarytmiczny dla różnicy kolejnych wyrazów pozwalają nam wyznaczyć wszystkie potrzebne elementy. Rozwiązanie wymaga znajomości własności logarytmów i umiejętności przekształcania wyrażeń algebraicznych.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT)

Zobacz

Geometria Przestrzenna - Sześcian

Ostatnie zadanie dotyczy geometrii przestrzennej, gdzie zadania z matematyki klasa 3 często koncentrują się na bryłach przestrzennych.

Highlight: W sześcianie wszystkie krawędzie są równej długości, a wszystkie ściany są przystającymi kwadratami.

Kluczem do rozwiązania jest wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa w przestrzeni oraz własności przekątnych sześcianu. Odległość wierzchołka od przekątnej wymaga zastosowania geometrii trójwymiarowej i twierdzenia o rzucie prostokątnym.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT)

Zobacz

Rozwiązywanie Zadań z Geometrii Okręgu i Trójkątów

Zagadnienie geometryczne dotyczące okręgu i cięciw wymaga dokładnego zrozumienia związków między elementami okręgu a wpisanym w niego trójkątem. W tym zadaniu z matematyki z rozwiązaniami skupiamy się na analizie trójkąta ostrokątnego utworzonego przez trzy cięciwy okręgu o promieniu r.

Definicja: Cięciwa to odcinek łączący dwa punkty na okręgu. Długość cięciwy zależy od jej odległości od środka okręgu i można ją obliczyć za pomocą twierdzenia o cięciwach.

Rozwiązanie tego typu zadania maturalne matematyka wymaga wykorzystania kilku kluczowych zależności trygonometrycznych. Gdy znamy długości dwóch cięciw (1r i r√3), możemy wykorzystać związki między kątami środkowymi a odpowiadającymi im cięciwami do wyznaczenia długości trzeciej cięciwy.

W procesie rozwiązywania wykorzystujemy wzór na długość cięciwy: d = 2R·sin(α/2), gdzie R to promień okręgu, a α to kąt środkowy odpowiadający cięciwie. Dzięki temu możemy utworzyć układ równań trygonometrycznych, który prowadzi do wykazania, że trzecia cięciwa ma długość (1+3√5)r.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT)

Zobacz

Zastosowanie Trygonometrii w Geometrii Okręgu

W rozwiązywaniu przykładowych zadań z matematyki tego typu kluczowe jest zrozumienie związków między elementami trójkąta a okręgiem opisanym. Wykorzystujemy tutaj własności trójkątów ostrokątnych oraz związki między kątami środkowymi i wpisanymi.

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu zadań z geometrii okręgu warto pamiętać o podstawowych zależnościach: suma kątów w trójkącie wynosi 180°, a kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

W tym konkretnym zadaniu info wykorzystujemy również własności funkcji trygonometrycznych, w szczególności związki między sinusem i cosinusem tego samego kąta (sin²α + cos²α = 1). To pozwala nam przekształcić wyrażenia zawierające funkcje trygonometryczne i doprowadzić do żądanego wyniku.

Warto zauważyć, że tego typu zadania często pojawiają się na egzaminach maturalnych, dlatego stanowią ważny element w zbiorze zadań z matematyki. Umiejętność łączenia wiedzy z geometrii i trygonometrii jest kluczowa dla sukcesu w rozwiązywaniu podobnych problemów matematycznych.

Podobne notatki

Know pola figur thumbnail

138

4849

1/2

pola figur

wzory na pola figur

Know pola figur thumbnail

114

899

5

pola figur

notatka

Know Matura z matematyki poziom podstawowy 2023 - zadania 1-25 thumbnail

1198

10894

4/5

Matura z matematyki poziom podstawowy 2023 - zadania 1-25

Matura z matematyki, poziom podstawowy 2023, zadania zamknięte 1-25

Know Matura podstawowa maj 2021 matematyka thumbnail

154

2310

4/5

Matura podstawowa maj 2021 matematyka

Matura podstawowa z matematyki, 5 maja 2021 rok arkusz maturalny

Know geometria płaska matematyka thumbnail

282

8379

2/3

geometria płaska matematyka

geometria płaska, okręgi, koła, kąty, twierdzenie stycznej, siecznej, okrąg wpisany i opisany

Know matematyka matura 2020 thumbnail

59

1302

4/5

matematyka matura 2020

arkusz maturalny matematyka poziom podstawowy 2020

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

15 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

/

Matematyka

/

Planimetria

/

Trójkąty prostokątne

/

Twierdzenie pitagorasa do rozwiązywania zadań

Zbiór zadań z matematyki z rozwiązaniami - PDF dla klasy 3, matura i więcej!

user profile picture

🧿Marta 🧿

@matgrambyme

·

2742 Obserwujących

Obserwuj

Zweryfikowana notatka

Matematyka to fascynująca dziedzina nauki, która wymaga systematycznego podejścia do nauki i rozwiązywania zadań.

Zadania z matematyki z rozwiązaniami stanowią podstawę skutecznej nauki matematyki. Szczególnie ważne są przykładowe zadania z matematyki, które pozwalają uczniom zrozumieć różne koncepcje matematyczne w praktyce. Platforma zadania info wraz z zadania info odpowiedzi oferuje szeroki zakres materiałów edukacyjnych, od podstawowych zagadnień po zaawansowane tematy matematyczne.

Jednym z kluczowych zagadnień jest dzielenie wielomianu przez dwumian oraz dzielenie wielomianu przez dwumian liniowy Schemat Hornera. Te metody są niezbędne przy rozwiązywaniu bardziej złożonych problemów algebraicznych. Dzielenie wielomianów Horner to efektywna metoda, która znacznie upraszcza obliczenia. Warto również zwrócić uwagę na resztę z dzielenia wielomianu, która ma istotne znaczenie w wielu zadaniach.

W geometrii szczególnie ważne są zagadnienia związane z trójkątami. Pole trójkąta równobocznego oraz wzór na wysokość trójkąta równobocznego to podstawowe koncepcje, które każdy uczeń powinien opanować. Wzór na pole trójkąta prostokątnego jest równie istotny i często wykorzystywany w zadaniach maturalnych. Dla uczniów przygotowujących się do matury, zadania maturalne matematyka stanowią niezbędny element przygotowań, pozwalający na systematyczne utrwalanie wiedzy i doskonalenie umiejętności rozwiązywania różnorodnych problemów matematycznych.

7.09.2022

661

 

4/5

 

Matematyka

18

Materiały pobrane z serwisu zadania.info zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Zaawansowane Zadania Matematyczne z Rozwiązaniami

Zadania z matematyki z rozwiązaniami stanowią kluczowy element w nauce matematyki na poziomie szkoły średniej. W tym kompleksowym zbiorze przedstawiamy szczegółowe rozwiązania zadań z różnych działów matematyki, ze szczególnym uwzględnieniem wyrażeń algebraicznych i geometrii.

Definicja: Wyrażenie algebraiczne to kombinacja liczb i zmiennych połączonych działaniami matematycznymi, np. ((√3− 1)² + (√3+ 1)²)³.

W pierwszym zadaniu analizujemy złożone wyrażenie algebraiczne zawierające pierwiastki i potęgi. Rozwiązanie wymaga systematycznego podejścia: najpierw upraszczamy wyrażenia w nawiasach, następnie dodajemy je, a na końcu podnosimy do trzeciej potęgi. To klasyczny przykład zadania maturalnego z matematyki.

Kolejne zadanie dotyczy granic funkcji - koncepcji fundamentalnej w analizie matematycznej. Przy badaniu granic kluczowe jest zrozumienie zachowania funkcji w nieskończoności oraz w punktach osobliwych.

Przykład: Przy obliczaniu granicy funkcji wymiernej należy zawsze sprawdzić:

  • Dziedzinę funkcji
  • Punkty, w których mianownik przyjmuje wartość zero
  • Zachowanie funkcji w nieskończoności
Materiały pobrane z serwisu zadania.info zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Dzielenie Wielomianów i Metoda Hornera

Dzielenie wielomianu przez dwumian to jedna z podstawowych operacji w algebrze. W przedstawionym zadaniu mamy do czynienia z dzieleniem wielomianu 2x³ – x² - 6x + 5 przez dwumian x² - 4.

Wskazówka: Przy dzieleniu wielomianu przez dwumian liniowy warto stosować Schemat Hornera, który znacznie upraszcza obliczenia.

Proces dzielenia wielomianów wymaga systematycznego podejścia:

  1. Zapisujemy wielomian w formie uporządkowanej
  2. Wykonujemy kolejne kroki dzielenia
  3. Wyznaczamy resztę z dzielenia

W tym przypadku otrzymujemy wynik w postaci wielomianu 2x-1 oraz resztę ax + b, gdzie należy wyznaczyć wartości współczynników a i b.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wektory i Geometria Analityczna

W geometrii analitycznej często spotykamy zadania łączące algebrę z geometrią. Rozważamy tu problem z wektorami, gdzie należy znaleźć wartości parametrów p i q, aby wektory tworzyły trójkąt.

Definicja: Wektor to wielkość charakteryzowana przez kierunek, zwrot i długość. W układzie współrzędnych reprezentowany jest przez parę liczb [x,y].

Rozwiązanie wymaga:

  • Zapisania równań wektorowych
  • Przekształcenia ich do układu równań liniowych
  • Sprawdzenia warunków istnienia trójkąta
Materiały pobrane z serwisu zadania.info zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Nierówności i Dowodzenie Twierdzeń

Ostatnie zadanie dotyczy dowodzenia nierówności dla liczb rzeczywistych większych od 1. Jest to przykład zadania z matematyki wymagającego logicznego rozumowania i znajomości własności nierówności.

Highlight: Przy dowodzeniu nierówności kluczowe jest:

  • Przekształcenie wyrażenia do dogodnej postaci
  • Wykorzystanie założeń o wartościach zmiennych
  • Wykazanie, że otrzymane wyrażenie spełnia zadane warunki

Tego typu zadania rozwijają umiejętność logicznego myślenia i są często spotykane na egzaminach maturalnych.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Rozwiązywanie Zadań z Geometrii i Trygonometrii

Zadania z matematyki z rozwiązaniami wymagają systematycznego podejścia i dokładnego zrozumienia kluczowych pojęć. W pierwszym zadaniu analizujemy własności pola trójkąta równobocznego oraz jego podziału.

Definicja: Trójkąt równoboczny to figura geometryczna, w której wszystkie boki są równej długości, a wszystkie kąty mają po 60 stopni.

W trójkącie ABC punkty D i E zostały wybrane tak, że |CD| = |AE| = |AB|. Ta własność jest kluczowa dla dalszych obliczeń, ponieważ tworzy proporcjonalne podziały boków. Przy obliczaniu stosunku pól trójkątów APE i ABC wykorzystujemy własności trygonometryczne oraz twierdzenie o polach trójkątów podobnych.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Analiza Zadań z Geometrii Analitycznej

W kolejnym zadaniu zajmujemy się geometrią analityczną, gdzie zadania maturalne matematyka często wymagają znajomości odległości punktu od prostej.

Przykład: Dla prostej o równaniu ax + by + c = 0 i punktu P(x₀,y₀), odległość punktu od prostej wyraża się wzorem: |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)

Rozwiązanie wymaga wykorzystania układu równań i przekształceń algebraicznych. Kluczowym elementem jest zrozumienie, że odległości punktu P od prostych k i l pozostają w stosunku 3:1.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Ciągi i Szeregi Matematyczne

W zadaniu dotyczącym ciągów mamy do czynienia z przykładowymi zadaniami z matematyki wyższego poziomu.

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu zadań z ciągami należy zwrócić szczególną uwagę na warunki początkowe i zależności rekurencyjne.

Suma pierwszych czterech wyrazów ciągu oraz warunek logarytmiczny dla różnicy kolejnych wyrazów pozwalają nam wyznaczyć wszystkie potrzebne elementy. Rozwiązanie wymaga znajomości własności logarytmów i umiejętności przekształcania wyrażeń algebraicznych.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Geometria Przestrzenna - Sześcian

Ostatnie zadanie dotyczy geometrii przestrzennej, gdzie zadania z matematyki klasa 3 często koncentrują się na bryłach przestrzennych.

Highlight: W sześcianie wszystkie krawędzie są równej długości, a wszystkie ściany są przystającymi kwadratami.

Kluczem do rozwiązania jest wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa w przestrzeni oraz własności przekątnych sześcianu. Odległość wierzchołka od przekątnej wymaga zastosowania geometrii trójwymiarowej i twierdzenia o rzucie prostokątnym.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Rozwiązywanie Zadań z Geometrii Okręgu i Trójkątów

Zagadnienie geometryczne dotyczące okręgu i cięciw wymaga dokładnego zrozumienia związków między elementami okręgu a wpisanym w niego trójkątem. W tym zadaniu z matematyki z rozwiązaniami skupiamy się na analizie trójkąta ostrokątnego utworzonego przez trzy cięciwy okręgu o promieniu r.

Definicja: Cięciwa to odcinek łączący dwa punkty na okręgu. Długość cięciwy zależy od jej odległości od środka okręgu i można ją obliczyć za pomocą twierdzenia o cięciwach.

Rozwiązanie tego typu zadania maturalne matematyka wymaga wykorzystania kilku kluczowych zależności trygonometrycznych. Gdy znamy długości dwóch cięciw (1r i r√3), możemy wykorzystać związki między kątami środkowymi a odpowiadającymi im cięciwami do wyznaczenia długości trzeciej cięciwy.

W procesie rozwiązywania wykorzystujemy wzór na długość cięciwy: d = 2R·sin(α/2), gdzie R to promień okręgu, a α to kąt środkowy odpowiadający cięciwie. Dzięki temu możemy utworzyć układ równań trygonometrycznych, który prowadzi do wykazania, że trzecia cięciwa ma długość (1+3√5)r.

Materiały pobrane z serwisu zadania.info zadania.info - Największy INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Zastosowanie Trygonometrii w Geometrii Okręgu

W rozwiązywaniu przykładowych zadań z matematyki tego typu kluczowe jest zrozumienie związków między elementami trójkąta a okręgiem opisanym. Wykorzystujemy tutaj własności trójkątów ostrokątnych oraz związki między kątami środkowymi i wpisanymi.

Wskazówka: Przy rozwiązywaniu zadań z geometrii okręgu warto pamiętać o podstawowych zależnościach: suma kątów w trójkącie wynosi 180°, a kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

W tym konkretnym zadaniu info wykorzystujemy również własności funkcji trygonometrycznych, w szczególności związki między sinusem i cosinusem tego samego kąta (sin²α + cos²α = 1). To pozwala nam przekształcić wyrażenia zawierające funkcje trygonometryczne i doprowadzić do żądanego wyniku.

Warto zauważyć, że tego typu zadania często pojawiają się na egzaminach maturalnych, dlatego stanowią ważny element w zbiorze zadań z matematyki. Umiejętność łączenia wiedzy z geometrii i trygonometrii jest kluczowa dla sukcesu w rozwiązywaniu podobnych problemów matematycznych.

Podobne notatki

Matematyka - pola figur

wzory na pola figur

138

4849

4

Know pola figur thumbnail

Matematyka - pola figur

notatka

114

899

0

Know pola figur thumbnail

Matematyka - Matura z matematyki poziom podstawowy 2023 - zadania 1-25

Matura z matematyki, poziom podstawowy 2023, zadania zamknięte 1-25

1198

10894

1

Know Matura z matematyki poziom podstawowy 2023 - zadania 1-25 thumbnail

Matematyka - Matura podstawowa maj 2021 matematyka

Matura podstawowa z matematyki, 5 maja 2021 rok arkusz maturalny

154

2310

1

Know Matura podstawowa maj 2021 matematyka thumbnail

Matematyka - geometria płaska matematyka

geometria płaska, okręgi, koła, kąty, twierdzenie stycznej, siecznej, okrąg wpisany i opisany

282

8379

5

Know geometria płaska matematyka thumbnail

Matematyka - matematyka matura 2020

arkusz maturalny matematyka poziom podstawowy 2020

59

1302

0

Know matematyka matura 2020 thumbnail

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

15 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.