Jak Przesuwać i Symetryzować Wykresy: Proste Wzory i Przykłady

zuzka

15.07.2025

Matematyka

Przekształcenia wykresów funkcji

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Przekształcenia wykresów

Y = f(–x)

1722

•

15 lip 2025

•

4 strony

Jak Przesuwać i Symetryzować Wykresy: Proste Wzory i Przykłady

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

zuzka

@zuzkak

Przekształcenia geometryczne i operacje na wektorach są kluczowymi tematami w... Pokaż więcej

PRZEKSZTAŁCENIA WYKRESÓN
FUNKCJI
uporządkowana para punktów
grot
-wektor AB
Wektor
3
-wektor
xerovy
(punkt)
początek wektora
Popua sip
jego

Operacje na wektorach i przesunięcie równoległe

Ta część dokumentu skupia się na bardziej zaawansowanych operacjach na wektorach oraz wprowadza pojęcie przesunięcia równoległego, które jest kluczowe dla zrozumienia przekształceń wykresów funkcji.

Definicja: Przesunięcie równoległe o wektor u to przekształcenie geometryczne, w którym każdemu punktowi A przyporządkowujemy taki punkt A₁, dla którego AA₁ = u.

Dokument wyjaśnia, jak przesunięcie równoległe wpływa na wykresy funkcji, zarówno wzdłuż osi Ox, jak i Oy.

Example: Jeżeli wykres funkcji y=f $x$ przesuniemy równolegle o wektor $p,0$ , to otrzymamy wykres funkcji y=f $x-p$ .

Highlight: Przesunięcie równoległe zachowuje kształt i wielkość figury.

Przedstawiono również szczegółowe informacje na temat przesunięcia wzdłuż obu osi oraz ich wpływu na równanie funkcji. To kluczowe zagadnienie dla zrozumienia przekształceń wykresów funkcji i ich praktycznego zastosowania.

Symetria osiowa i środkowa

Ta część dokumentu koncentruje się na symetrii osiowej i środkowej, które są istotnymi elementami przekształceń wykresów funkcji.

Definicja: Symetria osiowa względem prostej l to przekształcenie geometryczne, w którym każdemu punktowi A przyporządkowujemy taki punkt A₁, że prosta AA₁ jest prostopadła do l, a środkiem odcinka AA₁ jest punkt należący do prostej l.

Dokument szczegółowo omawia symetrię osiową względem osi Ox i Oy, przedstawiając jej wpływ na równania funkcji.

Example: Obrazem funkcji y=f $x$ w symetrii względem osi Ox jest funkcja y=-f $x$ .

Następnie wprowadzone zostaje pojęcie symetrii środkowej:

Definicja: Symetria środkowa względem punktu O to przekształcenie geometryczne, w którym obrazem każdego punktu A jest taki punkt A₁, dla którego punkt O jest środkiem odcinka AA₁.

Highlight: Zarówno symetria osiowa, jak i środkowa zachowują kształt i wielkość figury.

Te przekształcenia są kluczowe dla zrozumienia przekształceń wykresów funkcji i ich zastosowania w analizie matematycznej.

Wykresy funkcji z wartością bezwzględną

Ostatnia część dokumentu skupia się na przekształceniach wykresów funkcji z wartością bezwzględną, co jest zaawansowanym tematem w analizie matematycznej.

Definicja: Wykres funkcji y = |f $x$ | powstaje przez pozostawienie bez zmian części wykresu nad osią Ox lub na niej, oraz przekształcenie części poniżej osi Ox przez symetrię osiową względem osi Ox.

Dokument przedstawia również przekształcenie funkcji y = f $|x|$ :

Example: Aby uzyskać wykres funkcji y = f $|x|$ , należy część wykresu funkcji y = f $x$ odpowiadającą argumentom nieujemnym pozostawić bez zmiany, a następnie odbić ją symetrycznie względem osi Oy.

Highlight: Funkcje y = f $x$ i y = |f $x$ | mają takie same dziedziny.

Te zaawansowane przekształcenia wykresów funkcji są kluczowe dla zrozumienia zachowania funkcji z wartością bezwzględną i ich zastosowania w różnych dziedzinach matematyki i nauk ścisłych.

Wektory i ich właściwości

Przekształcenia wykresów funkcji rozpoczynają się od zrozumienia wektorów. Wektory są kluczowym elementem w matematyce i fizyce, reprezentującym wielkości mające zarówno wartość, jak i kierunek.

Definicja: Wektor to uporządkowana para punktów, składająca się z początku i końca, reprezentowana przez strzałkę.

Dokument przedstawia różne sposoby dodawania i odejmowania wektorów, co jest fundamentalne dla zrozumienia przekształceń wykresów funkcji.

Highlight: Wektory są równe, gdy mają taką samą długość, kierunek i zwrot.

Wprowadzono również pojęcie wektora swobodnego i przedstawiono kilka ważnych twierdzeń dotyczących operacji na wektorach.

Example: Długość wektora AB można obliczyć za pomocą wzoru: |AB| = √ $(x₂-x₁$ ² + $y₂-y₁$ ²)

Dokument podkreśla znaczenie współrzędnych wektora w układzie współrzędnych, co jest kluczowe dla zrozumienia przekształceń wykresów funkcji w przestrzeni dwuwymiarowej.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Pojęcie funkcji

3149

Przesunięcie wykresu funkcji

784

PRZESUNIĘCIA O WEKTOR

1215

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Przekształcenia wykresów

Y = f(–x)

Matematyka

•

1722

•

15 lip 2025

•

4 strony

Jak Przesuwać i Symetryzować Wykresy: Proste Wzory i Przykłady

zuzka

@zuzkak

Przekształcenia geometryczne i operacje na wektorach są kluczowymi tematami w matematyce, szczególnie ważnymi dla zrozumienia funkcji i ich wykresów. Przesunięcie równoległe wektory funkcji to podstawowe przekształcenie, które pozwala na manipulację wykresami funkcji. Symetria osiowa przekształcenia geometryczneumożliwiają tworzenie lustrzanych odbić... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Operacje na wektorach i przesunięcie równoległe

Definicja: Przesunięcie równoległe o wektor u to przekształcenie geometryczne, w którym każdemu punktowi A przyporządkowujemy taki punkt A₁, dla którego AA₁ = u.

Dokument wyjaśnia, jak przesunięcie równoległe wpływa na wykresy funkcji, zarówno wzdłuż osi Ox, jak i Oy.

Example: Jeżeli wykres funkcji y=f $x$ przesuniemy równolegle o wektor $p,0$ , to otrzymamy wykres funkcji y=f $x-p$ .

Highlight: Przesunięcie równoległe zachowuje kształt i wielkość figury.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Symetria osiowa i środkowa

Ta część dokumentu koncentruje się na symetrii osiowej i środkowej, które są istotnymi elementami przekształceń wykresów funkcji.

Definicja: Symetria osiowa względem prostej l to przekształcenie geometryczne, w którym każdemu punktowi A przyporządkowujemy taki punkt A₁, że prosta AA₁ jest prostopadła do l, a środkiem odcinka AA₁ jest punkt należący do prostej l.

Dokument szczegółowo omawia symetrię osiową względem osi Ox i Oy, przedstawiając jej wpływ na równania funkcji.

Example: Obrazem funkcji y=f $x$ w symetrii względem osi Ox jest funkcja y=-f $x$ .

Następnie wprowadzone zostaje pojęcie symetrii środkowej:

Definicja: Symetria środkowa względem punktu O to przekształcenie geometryczne, w którym obrazem każdego punktu A jest taki punkt A₁, dla którego punkt O jest środkiem odcinka AA₁.

Highlight: Zarówno symetria osiowa, jak i środkowa zachowują kształt i wielkość figury.

Te przekształcenia są kluczowe dla zrozumienia przekształceń wykresów funkcji i ich zastosowania w analizie matematycznej.

Wykresy funkcji z wartością bezwzględną

Ostatnia część dokumentu skupia się na przekształceniach wykresów funkcji z wartością bezwzględną, co jest zaawansowanym tematem w analizie matematycznej.

Definicja: Wykres funkcji y = |f $x$ | powstaje przez pozostawienie bez zmian części wykresu nad osią Ox lub na niej, oraz przekształcenie części poniżej osi Ox przez symetrię osiową względem osi Ox.

Dokument przedstawia również przekształcenie funkcji y = f $|x|$ :

Example: Aby uzyskać wykres funkcji y = f $|x|$ , należy część wykresu funkcji y = f $x$ odpowiadającą argumentom nieujemnym pozostawić bez zmiany, a następnie odbić ją symetrycznie względem osi Oy.

Highlight: Funkcje y = f $x$ i y = |f $x$ | mają takie same dziedziny.

Te zaawansowane przekształcenia wykresów funkcji są kluczowe dla zrozumienia zachowania funkcji z wartością bezwzględną i ich zastosowania w różnych dziedzinach matematyki i nauk ścisłych.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wektory i ich właściwości

Definicja: Wektor to uporządkowana para punktów, składająca się z początku i końca, reprezentowana przez strzałkę.

Dokument przedstawia różne sposoby dodawania i odejmowania wektorów, co jest fundamentalne dla zrozumienia przekształceń wykresów funkcji.

Highlight: Wektory są równe, gdy mają taką samą długość, kierunek i zwrot.

Wprowadzono również pojęcie wektora swobodnego i przedstawiono kilka ważnych twierdzeń dotyczących operacji na wektorach.

Example: Długość wektora AB można obliczyć za pomocą wzoru: |AB| = √ $(x₂-x₁$ ² + $y₂-y₁$ ²)

Dokument podkreśla znaczenie współrzędnych wektora w układzie współrzędnych, co jest kluczowe dla zrozumienia przekształceń wykresów funkcji w przestrzeni dwuwymiarowej.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Pojęcie funkcji

3149

Przesunięcie wykresu funkcji

784

PRZESUNIĘCIA O WEKTOR

1215

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS