Przedmioty
Kariera
Język polski
Biologia
Chemia
Geografia
Historia
Stechiometria
Budowa atomu a układ okresowy pierwiastków chemicznych
Węglowodory
Reakcje chemiczne w roztworach wodnych
Układ okresowy pierwiastków chemicznych
Pochodne węglowodorów
Świat substancji
Systematyka związków nieorganicznych
Gazy i ich mieszaniny
Efekty energetyczne i szybkość reakcji chemicznych
Kwasy
Sole
Roztwory
Reakcje utleniania-redukcji. elektrochemia
Łączenie się atomów
Pokaż wszystkie tematy
82
0
Małgorzata Kierys
2.08.2025
Matematyka
Równania i nierówności z wartością bezwzględną
3472
•
2 sie 2025
•
Małgorzata Kierys
@malgorzatakierys
Absolute Value Equations and Inequalities- A comprehensive guide to... Pokaż więcej
This page delves into solving inequalities involving absolute values and their geometric interpretations on the number line, with particular focus on practical applications and visual representations.
Definition: For any positive real number a and expression w, |w| < a is equivalent to -a < w < a.
Example: When solving |x-2| < 3, the solution is x ∈ (-1,5), which can be visualized on a number line.
Highlight: When dividing an inequality by a negative number, both the inequality sign and the direction change.
Vocabulary: Równania i nierówności z wartością bezwzględną poziom rozszerzony zadania (Advanced level absolute value equations and inequalities exercises) require understanding of both algebraic and geometric approaches.
Quote: "Remember that when dividing by -1, change both the sign of the inequality and reverse its direction."
This page introduces fundamental concepts of absolute value and its properties in mathematical equations. The content focuses on the definition and basic applications of absolute value in solving equations.
Definition: The absolute value of a number is its distance from zero on the number line, always resulting in a non-negative value.
Vocabulary: Wartość bezwzględna Wzory (Absolute Value Formulas) include |x| = x for x ≥ 0 and |x| = -x for x < 0.
Example: For any number a, |a| = a when a ≥ 0, and |a| = -a when a < 0. For instance, |-7| = 7.
Highlight: The distance between two numbers on a number line is calculated using the absolute value of their difference: |a-b| = |b-a|.
Quote: "The midpoint of a segment defined by two points on a number line is calculated as (a+b)/2."
Wartość bezwzględna to odległość liczby od zera na osi liczbowej. Kiedy mówimy o wartości bezwzględnej liczby, zawsze otrzymujemy wynik nieujemny - dla liczb dodatnich jest to sama liczba, a dla ujemnych jej przeciwna. Na przykład |7| = 7, a |-7| = 7, ponieważ obie te liczby są oddalone od zera o 7 jednostek na osi liczbowej.
Przy rozwiązywaniu równań z wartością bezwzględną warto pamiętać o kluczowej zasadzie: jeśli |w| = a (gdzie a > 0), to w = a lub w = -a. Na przykład, dla równania |x-2| = 5 szukamy wszystkich punktów na osi liczbowej, które są oddalone o 5 jednostek od liczby 2, czyli x = 7 lub x = -3. Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną często wymaga rozpatrzenia dwóch przypadków.
Główna różnica polega na zbiorze rozwiązań - równania z wartością bezwzględną zazwyczaj dają pojedyncze punkty, natomiast nierówności z wartością bezwzględną najczęściej przedziały. Na przykład |x-2| = 5 daje dwa konkretne rozwiązania (x = -3 lub x = 7), ale |x-2| < 3 daje przedział (-1,5), czyli wszystkie punkty oddalone od 2 o mniej niż 3 jednostki. Interpretacja geometryczna tych przypadków jest zupełnie inna.
Interpretację geometryczną wartości bezwzględnej stosujemy, gdy chcemy zrozumieć zagadnienie jako problem związany z odległością na osi liczbowej. Na przykład, wyrażenie |x-2| oznacza odległość między punktami, które na osi liczbowej odpowiadają liczbom x i 2. Jest to szczególnie przydatne przy rozwiązywaniu nierówności typu |x-a| < b, gdzie szukamy wszystkich punktów oddalonych od punktu a o mniej niż b jednostek.
Stwórz własną oś liczbową i zaznacz na niej punkty spełniające warunek, x-3, < 5. Sprawdź, czy te punkty rzeczywiście leżą w odległości mniejszej niż 5 od punktu o współrzędnej 3.
Zbadaj, jak interpretować geometrycznie wyrażenia, x-a, +
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
Małgorzata Kierys
@malgorzatakierys
Absolute Value Equations and Inequalities - A comprehensive guide to understanding mathematical concepts involving absolute values, their geometric interpretations, and solving related equations and inequalities.
• The document covers fundamental properties of Wartość bezwzględna zadania(absolute value problems) and their... Pokaż więcej
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
This page delves into solving inequalities involving absolute values and their geometric interpretations on the number line, with particular focus on practical applications and visual representations.
Definition: For any positive real number a and expression w, |w| < a is equivalent to -a < w < a.
Example: When solving |x-2| < 3, the solution is x ∈ (-1,5), which can be visualized on a number line.
Highlight: When dividing an inequality by a negative number, both the inequality sign and the direction change.
Vocabulary: Równania i nierówności z wartością bezwzględną poziom rozszerzony zadania (Advanced level absolute value equations and inequalities exercises) require understanding of both algebraic and geometric approaches.
Quote: "Remember that when dividing by -1, change both the sign of the inequality and reverse its direction."
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
This page introduces fundamental concepts of absolute value and its properties in mathematical equations. The content focuses on the definition and basic applications of absolute value in solving equations.
Definition: The absolute value of a number is its distance from zero on the number line, always resulting in a non-negative value.
Vocabulary: Wartość bezwzględna Wzory (Absolute Value Formulas) include |x| = x for x ≥ 0 and |x| = -x for x < 0.
Example: For any number a, |a| = a when a ≥ 0, and |a| = -a when a < 0. For instance, |-7| = 7.
Highlight: The distance between two numbers on a number line is calculated using the absolute value of their difference: |a-b| = |b-a|.
Quote: "The midpoint of a segment defined by two points on a number line is calculated as (a+b)/2."
Wartość bezwzględna to odległość liczby od zera na osi liczbowej. Kiedy mówimy o wartości bezwzględnej liczby, zawsze otrzymujemy wynik nieujemny - dla liczb dodatnich jest to sama liczba, a dla ujemnych jej przeciwna. Na przykład |7| = 7, a |-7| = 7, ponieważ obie te liczby są oddalone od zera o 7 jednostek na osi liczbowej.
Przy rozwiązywaniu równań z wartością bezwzględną warto pamiętać o kluczowej zasadzie: jeśli |w| = a (gdzie a > 0), to w = a lub w = -a. Na przykład, dla równania |x-2| = 5 szukamy wszystkich punktów na osi liczbowej, które są oddalone o 5 jednostek od liczby 2, czyli x = 7 lub x = -3. Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną często wymaga rozpatrzenia dwóch przypadków.
Główna różnica polega na zbiorze rozwiązań - równania z wartością bezwzględną zazwyczaj dają pojedyncze punkty, natomiast nierówności z wartością bezwzględną najczęściej przedziały. Na przykład |x-2| = 5 daje dwa konkretne rozwiązania (x = -3 lub x = 7), ale |x-2| < 3 daje przedział (-1,5), czyli wszystkie punkty oddalone od 2 o mniej niż 3 jednostki. Interpretacja geometryczna tych przypadków jest zupełnie inna.
Interpretację geometryczną wartości bezwzględnej stosujemy, gdy chcemy zrozumieć zagadnienie jako problem związany z odległością na osi liczbowej. Na przykład, wyrażenie |x-2| oznacza odległość między punktami, które na osi liczbowej odpowiadają liczbom x i 2. Jest to szczególnie przydatne przy rozwiązywaniu nierówności typu |x-a| < b, gdzie szukamy wszystkich punktów oddalonych od punktu a o mniej niż b jednostek.
Stwórz własną oś liczbową i zaznacz na niej punkty spełniające warunek, x-3, < 5. Sprawdź, czy te punkty rzeczywiście leżą w odległości mniejszej niż 5 od punktu o współrzędnej 3.
Zbadaj, jak interpretować geometrycznie wyrażenia, x-a, +
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
