Jak wyznaczyć współrzędne i równania symetralnych odcinków oraz równania okręgu dla dzieci

Kacper Górny

6.09.2025

Matematyka

Geometria analityczna

Przedmioty

Matematyka

Planimetria

Twierdzenie talesa

Stosowanie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia talesa do ustalania równoległości prostych

1086

•

6 wrz 2025

•

2 strony

Jak wyznaczyć współrzędne i równania symetralnych odcinków oraz równania okręgu dla dzieci

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Kacper Górny

@kacpergrny_fil3

Vector operations and geometric equations are fundamental concepts in mathematics.... Pokaż więcej

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

WZÓR NA WSPÓŁRZĘDNE WEKTORA
AB-[%-%Y-%
=
DŁUGOŚĆ ODCINKA
|AB| = √(<g-KA)*+ (Y» - )*'*
WSPÓŁRZĘDNE ŚRODKA ODCINKA
XA+XB YA+YB
SAB = (Katke, Y

Symmetry Line and Circle Equations

This page focuses on deriving the equation of a symmetry line for a line segment and introduces circle equations in a coordinate system.

To find the equation of a symmetry line for a line segment, follow these steps:

Determine the midpoint of the segment
Calculate the slope of the original segment
Find the slope of the symmetry line
Use the midpoint and slope to derive the symmetry line equation

Vocabulary: The symetralna odcinka (symmetry line of a segment) is a perpendicular line that passes through the midpoint of the segment.

The page presents two important principles:

Parallelism Principle: k || L ⇔ A₁B₂ - A₂B₁ = 0
Perpendicularity Principle: k ⊥ L ⇔ A₁A₂ + B₁B₂ = 0

These principles are crucial for analyzing relationships between lines in a coordinate system.

Definition: The równanie okręgu (circle equation) is presented in two forms:

Canonical form: $x - a$ ² + $y - b$ ² = r²

General form: x² + y² - 2ax - 2by + c = 0

Highlight: The radius of a circle can be calculated using the formula r² = a² + b² - c, where r > 0.

The page concludes with a system of equations representing two lines: L₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0 L₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0

This system is useful for finding intersection points of lines and solving various geometric problems in the coordinate system.

Vector Coordinates and Line Equations

This page introduces fundamental concepts related to współrzędne wektora (vector coordinates) and line equations in a coordinate system.

The formula for vector coordinates is presented as AB = $x₂ - x₁, y₂ - y₁$ . This allows for calculating the horizontal and vertical components of a vector between two points.

Definition: The długość wektora wzór $vector length formula$ is given by |AB| = √ $(x₂ - x₁$ ² + $y₂ - y₁$ ²), which calculates the straight-line distance between two points.

For finding the midpoint of a line segment, the formula $x₁ + x₂$ /2, $y₁ + y₂$ /2 is provided. This is useful for various geometric calculations.

The page also covers the slope formula, expressed as a = $y₂ - y₁$ / $x₂ - x₁$ = tan α. This is crucial for understanding the inclination of lines in the coordinate system.

Example: For parallel lines, y = a₁x + b₁ || y = a₂x + b₂, the condition a₁ = a₂ must be satisfied.

Highlight: Perpendicular lines have a special relationship between their slopes: a₁a₂ = -1 $or a₂ = -1/a₁$ .

The page concludes with examples of perpendicular lines, such as y = √3x + 3 ⊥ y = -2x - 6 and y = -7x + 1 ⊥ y = 1/7x - √3, demonstrating the application of the perpendicularity condition.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Twierdzenie Talesa

2603

Okrąg w układzie współrzędnych

1579

Narodziny świata

2018

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Planimetria

Twierdzenie talesa

Stosowanie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia talesa do ustalania równoległości prostych

Matematyka

•

1086

•

6 wrz 2025

•

2 strony

Jak wyznaczyć współrzędne i równania symetralnych odcinków oraz równania okręgu dla dzieci

Kacper Górny

@kacpergrny_fil3

Vector operations and geometric equations are fundamental concepts in mathematics. This guide covers współrzędne wektora (vector coordinates), długość wektora wzór(vector length formula), and equations for lines and circles in a coordinate system. Key topics include calculating vector coordinates, finding... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Symmetry Line and Circle Equations

This page focuses on deriving the equation of a symmetry line for a line segment and introduces circle equations in a coordinate system.

To find the equation of a symmetry line for a line segment, follow these steps:

Determine the midpoint of the segment
Calculate the slope of the original segment
Find the slope of the symmetry line
Use the midpoint and slope to derive the symmetry line equation

Vocabulary: The symetralna odcinka (symmetry line of a segment) is a perpendicular line that passes through the midpoint of the segment.

The page presents two important principles:

Parallelism Principle: k || L ⇔ A₁B₂ - A₂B₁ = 0
Perpendicularity Principle: k ⊥ L ⇔ A₁A₂ + B₁B₂ = 0

These principles are crucial for analyzing relationships between lines in a coordinate system.

Definition: The równanie okręgu (circle equation) is presented in two forms:

Canonical form: $x - a$ ² + $y - b$ ² = r²

General form: x² + y² - 2ax - 2by + c = 0

Highlight: The radius of a circle can be calculated using the formula r² = a² + b² - c, where r > 0.

The page concludes with a system of equations representing two lines: L₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0 L₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0

This system is useful for finding intersection points of lines and solving various geometric problems in the coordinate system.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Vector Coordinates and Line Equations

This page introduces fundamental concepts related to współrzędne wektora (vector coordinates) and line equations in a coordinate system.

The formula for vector coordinates is presented as AB = $x₂ - x₁, y₂ - y₁$ . This allows for calculating the horizontal and vertical components of a vector between two points.

Definition: The długość wektora wzór $vector length formula$ is given by |AB| = √ $(x₂ - x₁$ ² + $y₂ - y₁$ ²), which calculates the straight-line distance between two points.

For finding the midpoint of a line segment, the formula $x₁ + x₂$ /2, $y₁ + y₂$ /2 is provided. This is useful for various geometric calculations.

The page also covers the slope formula, expressed as a = $y₂ - y₁$ / $x₂ - x₁$ = tan α. This is crucial for understanding the inclination of lines in the coordinate system.

Example: For parallel lines, y = a₁x + b₁ || y = a₂x + b₂, the condition a₁ = a₂ must be satisfied.

Highlight: Perpendicular lines have a special relationship between their slopes: a₁a₂ = -1 $or a₂ = -1/a₁$ .

The page concludes with examples of perpendicular lines, such as y = √3x + 3 ⊥ y = -2x - 6 and y = -7x + 1 ⊥ y = 1/7x - √3, demonstrating the application of the perpendicularity condition.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Twierdzenie Talesa

2603

Okrąg w układzie współrzędnych

1579

Narodziny świata

2018

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS