Przedmioty

Matematyka

Planimetria

Twierdzenie talesa

Stosowanie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia talesa do ustalania równoległości prostych

Niesamowite Twierdzenia: Symetralna Odcinka i Talesa

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Zobacz

Niesamowite Twierdzenia: Symetralna Odcinka i Talesa

May

@milkymay_notes

6 Obserwujących

Obserwuj

Powtórzenie kluczowych pojęć z geometrii płaskiej, obejmujące symetralną odcinka, dwusieczną kąta, twierdzenia o prostych równoległych, cechy przystawania trójkątów oraz twierdzenia dotyczące okręgów i kątów.

Omówiono podstawowe definicje i twierdzenia z geometrii płaskiej
Przedstawiono cechy przystawania trójkątów i twierdzenia o trójkątach
Zaprezentowano twierdzenia dotyczące okręgów, stycznych i siecznych
Wyjaśniono pojęcia związane z kątami wpisanymi i środkowymi w okręgu
Omówiono symetralne i dwusieczne trójkąta oraz okręgi opisane i wpisane

21.05.2023

2340

POWTÓRZENIE
Symetralna odcinka-dzieli go na pół i jest do niego prostopadła.
twierdzenie o sym odc. sym. odc. to abiór punktów równoodległyc

Zobacz

Twierdzenie Talesa i okręgi

Strona ta koncentruje się na twierdzeniu Talesa oraz podstawowych pojęciach związanych z okręgami.

Highlight: Twierdzenie Talesa o proporcjach odcinków mówi, że jeśli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to stosunek odcinków na jednym ramieniu jest równy stosunkowi odpowiednich odcinków na drugim ramieniu.

Przedstawiono również definicje elementów okręgu, takich jak promień, średnica i cięciwa.

Vocabulary: Cięciwa - odcinek łączący dwa punkty na okręgu.

Omówiono twierdzenie o odcinku łączącym środki boków trójkąta oraz twierdzenia dotyczące prostopadłości promienia do cięciwy.

Zobacz

Podstawowe pojęcia i twierdzenia geometrii płaskiej

Strona ta przedstawia kluczowe definicje i twierdzenia z geometrii płaskiej. Omówiono tu symetralną odcinka, dwusieczną kąta oraz twierdzenia dotyczące prostych równoległych.

Definicja: Symetralna odcinka to prosta prostopadła do odcinka, przechodząca przez jego środek.

Highlight: Twierdzenie o symetralnej odcinka mówi, że symetralna jest zbiorem punktów równoodległych od końców odcinka.

Przedstawiono również twierdzenie o dwusiecznej kąta oraz twierdzenie o prostych równoległych przeciętych trzecią prostą.

Vocabulary: Dwusieczna kąta - prosta dzieląca kąt na dwie równe części.

Strona zawiera także informacje o twierdzeniu o nierówności trójkąta, które mówi, że długość każdego boku trójkąta jest mniejsza od sumy długości pozostałych dwóch boków.

Zobacz

Kąty w okręgu

Strona ta poświęcona jest kątom w okręgu, w szczególności kątom wpisanym i środkowym.

Definition: Kąt wpisany w okrąg to kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, a ramiona przecinają okrąg.

Przedstawiono ważne twierdzenie o relacji między kątem wpisanym a środkowym:

Highlight: Jeśli kąt wpisany i środkowy są oparte na tym samym łuku, to kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego.

Omówiono również szczególne przypadki kątów wpisanych, takie jak kąt wpisany oparty na średnicy (który zawsze jest kątem prostym) oraz twierdzenie o równości kątów wpisanych opartych na tym samym łuku.

Zobacz

Twierdzenia o stycznych i siecznych

Ta strona przedstawia ważne twierdzenia dotyczące stycznych i siecznych okręgu.

Highlight: Twierdzenie o stycznej i siecznej mówi, że jeśli przez punkt zewnętrzny poprowadzimy styczną i sieczną do okręgu, to kwadrat długości odcinka stycznej jest równy iloczynowi długości całej siecznej i jej części zewnętrznej.

Omówiono również twierdzenie o siecznych, które dotyczy iloczynu długości odcinków siecznych poprowadzonych z punktu zewnętrznego.

Example: Jeśli dwie sieczne AB i CD przecinają się w punkcie P, to zachodzi równość: |PA| · |PB| = |PC| · |PD|

Przedstawiono także twierdzenie o cięciwach, które przecinają się wewnątrz okręgu.

Zobacz

Cechy przystawania trójkątów i twierdzenia o trójkątach

Na tej stronie omówiono cechy przystawania trójkątów oraz ważne twierdzenia dotyczące trójkątów. Przedstawiono definicje wysokości i środkowej trójkąta.

Highlight: Cechy przystawania trójkątów w geometrii płaskiej to: bok-bok-bok (BBB), bok-kąt-bok (BKB) oraz kąt-bok-kąt (KBK).

Zaprezentowano twierdzenie o kącie zewnętrznym trójkąta, które mówi, że kąt zewnętrzny jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych nieprzyległych.

Example: W trójkącie ABC, jeśli kąt zewnętrzny przy wierzchołku A wynosi 130°, a kąt wewnętrzny przy wierzchołku B wynosi 50°, to kąt wewnętrzny przy wierzchołku C musi wynosić 80°.

Omówiono również twierdzenie o środkowych trójkąta oraz twierdzenie Pitagorasa.

Zobacz

Styczna i sieczna okręgu

Ta strona skupia się na pojęciach stycznej i siecznej okręgu oraz związanych z nimi twierdzeniach.

Definition: Styczna do okręgu to prosta, która ma tylko jeden punkt wspólny z okręgiem.

Przedstawiono twierdzenie o odcinkach stycznych, które mówi, że odcinki dwóch stycznych poprowadzonych z punktu zewnętrznego do okręgu mają tę samą długość.

Omówiono również warunki, kiedy prosta jest sieczną, styczną lub rozłączną z okręgiem, w zależności od odległości środka okręgu od tej prostej.

Example: Jeśli odległość środka okręgu od prostej jest mniejsza niż promień, prosta jest sieczną okręgu.

Zobacz

Symetralne i dwusieczne trójkąta

Ostatnia strona poświęcona jest symetralnym i dwusiecznym trójkąta oraz okręgom opisanym i wpisanym w trójkąt.

Highlight: Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

Omówiono szczególne przypadki dla trójkątów równoramiennych, prostokątnych i równobocznych.

Example: W trójkącie równobocznym promień okręgu opisanego wynosi R = a√3/3, gdzie a to długość boku trójkąta.

Przedstawiono również twierdzenie o dwusiecznych trójkąta, które przecinają się w jednym punkcie będącym środkiem okręgu wpisanego w trójkąt.

Vocabulary: Okrąg wpisany w trójkąt - okrąg styczny do wszystkich boków trójkąta.

Strona kończy się twierdzeniem o podziale boku trójkąta przez dwusieczną kąta wewnętrznego.

Zobacz

Wzajemne położenie okręgów

Na tej stronie omówiono różne możliwe wzajemne położenia dwóch okręgów. Przedstawiono pięć głównych przypadków:

Okręgi rozłączne zewnętrznie
Okręgi styczne zewnętrznie
Okręgi przecinające się
Okręgi styczne wewnętrznie
Okręgi rozłączne wewnętrznie

Highlight: Okręgi współśrodkowe to szczególny przypadek, gdy środki obu okręgów pokrywają się.

Zaprezentowano również definicję kąta środkowego w okręgu.

Definition: Kąt środkowy w okręgu to kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku okręgu.

Podobne notatki

1567

Narodziny świata

168

cechy przystawania trójkątów

definicje przykłady bkb bbb kbk

Know Podobisństwo trójkątów, okrąg opisany i wpisany w trójkąt thumbnail

1529

2/3

Podobisństwo trójkątów, okrąg opisany i wpisany w trójkąt

tematy: podobisństwo trójkątów, okrąg opisany i wpisany w trójkąt, twierdzenie sinusów i cosinusów oraz twierdzenie talesa

Know Okrąg w układzie współrzędnych thumbnail

1288

1/2

Okrąg w układzie współrzędnych

Równanie okręgu, przykładowe zadania

171

3974

1/2

Twierdzenie Talesa

opracowanie i przyklad

2181

1/2

Twierdzenie Talesa

Wzory i zasada twierdzenia Talesa

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

Matematyka

Planimetria

Twierdzenie talesa

Stosowanie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia talesa do ustalania równoległości prostych

Niesamowite Twierdzenia: Symetralna Odcinka i Talesa

May

@milkymay_notes

6 Obserwujących

Obserwuj

Omówiono podstawowe definicje i twierdzenia z geometrii płaskiej
Przedstawiono cechy przystawania trójkątów i twierdzenia o trójkątach
Zaprezentowano twierdzenia dotyczące okręgów, stycznych i siecznych
Wyjaśniono pojęcia związane z kątami wpisanymi i środkowymi w okręgu
Omówiono symetralne i dwusieczne trójkąta oraz okręgi opisane i wpisane

21.05.2023

2340

Matematyka

Darmowe notatki od najlepszych studentów - odblokuj teraz!

Darmowe notatki do każdego przedmiotu, stworzone przez najlepszych studentów

Uzyskaj lepsze oceny dzięki inteligentnemu wsparciu AI

Ucz się mądrzej, stresuj się mniej - zawsze i wszędzie

Zarejestruj się za poprzez email

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Twierdzenie Talesa i okręgi

Strona ta koncentruje się na twierdzeniu Talesa oraz podstawowych pojęciach związanych z okręgami.

Highlight: Twierdzenie Talesa o proporcjach odcinków mówi, że jeśli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to stosunek odcinków na jednym ramieniu jest równy stosunkowi odpowiednich odcinków na drugim ramieniu.

Przedstawiono również definicje elementów okręgu, takich jak promień, średnica i cięciwa.

Vocabulary: Cięciwa - odcinek łączący dwa punkty na okręgu.

Omówiono twierdzenie o odcinku łączącym środki boków trójkąta oraz twierdzenia dotyczące prostopadłości promienia do cięciwy.

Darmowe notatki od najlepszych studentów - odblokuj teraz!

Darmowe notatki do każdego przedmiotu, stworzone przez najlepszych studentów

Uzyskaj lepsze oceny dzięki inteligentnemu wsparciu AI

Ucz się mądrzej, stresuj się mniej - zawsze i wszędzie

Zarejestruj się za poprzez email

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawowe pojęcia i twierdzenia geometrii płaskiej

Strona ta przedstawia kluczowe definicje i twierdzenia z geometrii płaskiej. Omówiono tu symetralną odcinka, dwusieczną kąta oraz twierdzenia dotyczące prostych równoległych.

Definicja: Symetralna odcinka to prosta prostopadła do odcinka, przechodząca przez jego środek.

Highlight: Twierdzenie o symetralnej odcinka mówi, że symetralna jest zbiorem punktów równoodległych od końców odcinka.

Przedstawiono również twierdzenie o dwusiecznej kąta oraz twierdzenie o prostych równoległych przeciętych trzecią prostą.

Vocabulary: Dwusieczna kąta - prosta dzieląca kąt na dwie równe części.

Strona zawiera także informacje o twierdzeniu o nierówności trójkąta, które mówi, że długość każdego boku trójkąta jest mniejsza od sumy długości pozostałych dwóch boków.

Darmowe notatki od najlepszych studentów - odblokuj teraz!

Darmowe notatki do każdego przedmiotu, stworzone przez najlepszych studentów

Uzyskaj lepsze oceny dzięki inteligentnemu wsparciu AI

Ucz się mądrzej, stresuj się mniej - zawsze i wszędzie

Zarejestruj się za poprzez email

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Kąty w okręgu

Strona ta poświęcona jest kątom w okręgu, w szczególności kątom wpisanym i środkowym.

Definition: Kąt wpisany w okrąg to kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, a ramiona przecinają okrąg.

Przedstawiono ważne twierdzenie o relacji między kątem wpisanym a środkowym:

Highlight: Jeśli kąt wpisany i środkowy są oparte na tym samym łuku, to kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego.

Darmowe notatki od najlepszych studentów - odblokuj teraz!

Darmowe notatki do każdego przedmiotu, stworzone przez najlepszych studentów

Uzyskaj lepsze oceny dzięki inteligentnemu wsparciu AI

Ucz się mądrzej, stresuj się mniej - zawsze i wszędzie

Zarejestruj się za poprzez email

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Twierdzenia o stycznych i siecznych

Ta strona przedstawia ważne twierdzenia dotyczące stycznych i siecznych okręgu.

Highlight: Twierdzenie o stycznej i siecznej mówi, że jeśli przez punkt zewnętrzny poprowadzimy styczną i sieczną do okręgu, to kwadrat długości odcinka stycznej jest równy iloczynowi długości całej siecznej i jej części zewnętrznej.

Omówiono również twierdzenie o siecznych, które dotyczy iloczynu długości odcinków siecznych poprowadzonych z punktu zewnętrznego.

Example: Jeśli dwie sieczne AB i CD przecinają się w punkcie P, to zachodzi równość: |PA| · |PB| = |PC| · |PD|

Przedstawiono także twierdzenie o cięciwach, które przecinają się wewnątrz okręgu.

Darmowe notatki od najlepszych studentów - odblokuj teraz!

Darmowe notatki do każdego przedmiotu, stworzone przez najlepszych studentów

Uzyskaj lepsze oceny dzięki inteligentnemu wsparciu AI

Ucz się mądrzej, stresuj się mniej - zawsze i wszędzie

Zarejestruj się za poprzez email

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Cechy przystawania trójkątów i twierdzenia o trójkątach

Na tej stronie omówiono cechy przystawania trójkątów oraz ważne twierdzenia dotyczące trójkątów. Przedstawiono definicje wysokości i środkowej trójkąta.

Highlight: Cechy przystawania trójkątów w geometrii płaskiej to: bok-bok-bok (BBB), bok-kąt-bok (BKB) oraz kąt-bok-kąt (KBK).

Zaprezentowano twierdzenie o kącie zewnętrznym trójkąta, które mówi, że kąt zewnętrzny jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych nieprzyległych.

Example: W trójkącie ABC, jeśli kąt zewnętrzny przy wierzchołku A wynosi 130°, a kąt wewnętrzny przy wierzchołku B wynosi 50°, to kąt wewnętrzny przy wierzchołku C musi wynosić 80°.

Omówiono również twierdzenie o środkowych trójkąta oraz twierdzenie Pitagorasa.

Darmowe notatki od najlepszych studentów - odblokuj teraz!

Darmowe notatki do każdego przedmiotu, stworzone przez najlepszych studentów

Uzyskaj lepsze oceny dzięki inteligentnemu wsparciu AI

Ucz się mądrzej, stresuj się mniej - zawsze i wszędzie

Zarejestruj się za poprzez email

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Styczna i sieczna okręgu

Ta strona skupia się na pojęciach stycznej i siecznej okręgu oraz związanych z nimi twierdzeniach.

Definition: Styczna do okręgu to prosta, która ma tylko jeden punkt wspólny z okręgiem.

Przedstawiono twierdzenie o odcinkach stycznych, które mówi, że odcinki dwóch stycznych poprowadzonych z punktu zewnętrznego do okręgu mają tę samą długość.

Omówiono również warunki, kiedy prosta jest sieczną, styczną lub rozłączną z okręgiem, w zależności od odległości środka okręgu od tej prostej.

Example: Jeśli odległość środka okręgu od prostej jest mniejsza niż promień, prosta jest sieczną okręgu.

Darmowe notatki od najlepszych studentów - odblokuj teraz!

Darmowe notatki do każdego przedmiotu, stworzone przez najlepszych studentów

Uzyskaj lepsze oceny dzięki inteligentnemu wsparciu AI

Ucz się mądrzej, stresuj się mniej - zawsze i wszędzie

Zarejestruj się za poprzez email

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Symetralne i dwusieczne trójkąta

Ostatnia strona poświęcona jest symetralnym i dwusiecznym trójkąta oraz okręgom opisanym i wpisanym w trójkąt.

Highlight: Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

Omówiono szczególne przypadki dla trójkątów równoramiennych, prostokątnych i równobocznych.

Example: W trójkącie równobocznym promień okręgu opisanego wynosi R = a√3/3, gdzie a to długość boku trójkąta.

Przedstawiono również twierdzenie o dwusiecznych trójkąta, które przecinają się w jednym punkcie będącym środkiem okręgu wpisanego w trójkąt.

Vocabulary: Okrąg wpisany w trójkąt - okrąg styczny do wszystkich boków trójkąta.

Strona kończy się twierdzeniem o podziale boku trójkąta przez dwusieczną kąta wewnętrznego.

Darmowe notatki od najlepszych studentów - odblokuj teraz!

Darmowe notatki do każdego przedmiotu, stworzone przez najlepszych studentów

Uzyskaj lepsze oceny dzięki inteligentnemu wsparciu AI

Ucz się mądrzej, stresuj się mniej - zawsze i wszędzie

Zarejestruj się za poprzez email

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wzajemne położenie okręgów

Na tej stronie omówiono różne możliwe wzajemne położenia dwóch okręgów. Przedstawiono pięć głównych przypadków:

Okręgi rozłączne zewnętrznie
Okręgi styczne zewnętrznie
Okręgi przecinające się
Okręgi styczne wewnętrznie
Okręgi rozłączne wewnętrznie

Highlight: Okręgi współśrodkowe to szczególny przypadek, gdy środki obu okręgów pokrywają się.

Zaprezentowano również definicję kąta środkowego w okręgu.

Definition: Kąt środkowy w okręgu to kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku okręgu.

Podobne notatki

Język polski - Narodziny świata

Narodziny świata

1567

Matematyka - cechy przystawania trójkątów

definicje przykłady bkb bbb kbk

168

Matematyka - Podobisństwo trójkątów, okrąg opisany i wpisany w trójkąt

tematy: podobisństwo trójkątów, okrąg opisany i wpisany w trójkąt, twierdzenie sinusów i cosinusów oraz twierdzenie talesa

1529

Matematyka - Okrąg w układzie współrzędnych

Równanie okręgu, przykładowe zadania

1288

Matematyka - Twierdzenie Talesa

opracowanie i przyklad

171

3974

Matematyka - Twierdzenie Talesa

Wzory i zasada twierdzenia Talesa

2181

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS