Cechy przystawania trójkątów i twierdzenia o trójkątach

Na tej stronie omówiono cechy przystawania trójkątów oraz ważne twierdzenia dotyczące trójkątów. Przedstawiono definicje wysokości i środkowej trójkąta.

Highlight: Cechy przystawania trójkątów w geometrii płaskiej to: bok-bok-bok (BBB), bok-kąt-bok (BKB) oraz kąt-bok-kąt (KBK).

Zaprezentowano twierdzenie o kącie zewnętrznym trójkąta, które mówi, że kąt zewnętrzny jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych nieprzyległych.

Example: W trójkącie ABC, jeśli kąt zewnętrzny przy wierzchołku A wynosi 130°, a kąt wewnętrzny przy wierzchołku B wynosi 50°, to kąt wewnętrzny przy wierzchołku C musi wynosić 80°.

Omówiono również twierdzenie o środkowych trójkąta oraz twierdzenie Pitagorasa.

Twierdzenie Talesa i okręgi

Strona ta koncentruje się na twierdzeniu Talesa oraz podstawowych pojęciach związanych z okręgami.

Highlight: Twierdzenie Talesa o proporcjach odcinków mówi, że jeśli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to stosunek odcinków na jednym ramieniu jest równy stosunkowi odpowiednich odcinków na drugim ramieniu.

Przedstawiono również definicje elementów okręgu, takich jak promień, średnica i cięciwa.

Vocabulary: Cięciwa - odcinek łączący dwa punkty na okręgu.

Omówiono twierdzenie o odcinku łączącym środki boków trójkąta oraz twierdzenia dotyczące prostopadłości promienia do cięciwy.

Styczna i sieczna okręgu

Ta strona skupia się na pojęciach stycznej i siecznej okręgu oraz związanych z nimi twierdzeniach.

Definition: Styczna do okręgu to prosta, która ma tylko jeden punkt wspólny z okręgiem.

Przedstawiono twierdzenie o odcinkach stycznych, które mówi, że odcinki dwóch stycznych poprowadzonych z punktu zewnętrznego do okręgu mają tę samą długość.

Omówiono również warunki, kiedy prosta jest sieczną, styczną lub rozłączną z okręgiem, w zależności od odległości środka okręgu od tej prostej.

Example: Jeśli odległość środka okręgu od prostej jest mniejsza niż promień, prosta jest sieczną okręgu.

Wzajemne położenie okręgów

Na tej stronie omówiono różne możliwe wzajemne położenia dwóch okręgów. Przedstawiono pięć głównych przypadków:

1. Okręgi rozłączne zewnętrznie
2. Okręgi styczne zewnętrznie
3. Okręgi przecinające się
4. Okręgi styczne wewnętrznie
5. Okręgi rozłączne wewnętrznie

Highlight: Okręgi współśrodkowe to szczególny przypadek, gdy środki obu okręgów pokrywają się.

Zaprezentowano również definicję kąta środkowego w okręgu.

Definition: Kąt środkowy w okręgu to kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku okręgu.

Kąty w okręgu

Strona ta poświęcona jest kątom w okręgu, w szczególności kątom wpisanym i środkowym.

Definition: Kąt wpisany w okrąg to kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, a ramiona przecinają okrąg.

Przedstawiono ważne twierdzenie o relacji między kątem wpisanym a środkowym:

Highlight: Jeśli kąt wpisany i środkowy są oparte na tym samym łuku, to kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego.

Omówiono również szczególne przypadki kątów wpisanych, takie jak kąt wpisany oparty na średnicy (który zawsze jest kątem prostym) oraz twierdzenie o równości kątów wpisanych opartych na tym samym łuku.

Twierdzenia o stycznych i siecznych

Ta strona przedstawia ważne twierdzenia dotyczące stycznych i siecznych okręgu.

Highlight: Twierdzenie o stycznej i siecznej mówi, że jeśli przez punkt zewnętrzny poprowadzimy styczną i sieczną do okręgu, to kwadrat długości odcinka stycznej jest równy iloczynowi długości całej siecznej i jej części zewnętrznej.

Omówiono również twierdzenie o siecznych, które dotyczy iloczynu długości odcinków siecznych poprowadzonych z punktu zewnętrznego.

Example: Jeśli dwie sieczne AB i CD przecinają się w punkcie P, to zachodzi równość: |PA| · |PB| = |PC| · |PD|

Przedstawiono także twierdzenie o cięciwach, które przecinają się wewnątrz okręgu.

Symetralne i dwusieczne trójkąta

Ostatnia strona poświęcona jest symetralnym i dwusiecznym trójkąta oraz okręgom opisanym i wpisanym w trójkąt.

Highlight: Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

Omówiono szczególne przypadki dla trójkątów równoramiennych, prostokątnych i równobocznych.

Example: W trójkącie równobocznym promień okręgu opisanego wynosi R = a√3/3, gdzie a to długość boku trójkąta.

Przedstawiono również twierdzenie o dwusiecznych trójkąta, które przecinają się w jednym punkcie będącym środkiem okręgu wpisanego w trójkąt.

Vocabulary: Okrąg wpisany w trójkąt - okrąg styczny do wszystkich boków trójkąta.

Strona kończy się twierdzeniem o podziale boku trójkąta przez dwusieczną kąta wewnętrznego.

Podstawowe pojęcia i twierdzenia geometrii płaskiej

Strona ta przedstawia kluczowe definicje i twierdzenia z geometrii płaskiej. Omówiono tu symetralną odcinka, dwusieczną kąta oraz twierdzenia dotyczące prostych równoległych.

Definicja: Symetralna odcinka to prosta prostopadła do odcinka, przechodząca przez jego środek.

Highlight: Twierdzenie o symetralnej odcinka mówi, że symetralna jest zbiorem punktów równoodległych od końców odcinka.

Przedstawiono również twierdzenie o dwusiecznej kąta oraz twierdzenie o prostych równoległych przeciętych trzecią prostą.

Vocabulary: Dwusieczna kąta - prosta dzieląca kąt na dwie równe części.

Strona zawiera także informacje o twierdzeniu o nierówności trójkąta, które mówi, że długość każdego boku trójkąta jest mniejsza od sumy długości pozostałych dwóch boków.