Przedmioty

Kariera

Knowunity Pro

Otwórz aplikację

Przedmioty

Liczby i Działania dla Klasa 4-8: Szalone Liczby i Cechy Podzielności

215

6

Matematyka

Przedmioty

Matematyka

Liczby rzeczywiste

Liczby naturalne

5875

•

6 lip 2025

•

1 strona

Liczby i Działania dla Klasa 4-8: Szalone Liczby i Cechy Podzielności

user profile picture

Natalia Strzępek

@nataliastrzpek_jxmb

Liczby i działania matematyczne to podstawowe zagadnienia w matematyce. Cechy... Pokaż więcej

• naturalne • całkowite пр. 1; 2; 16 np. -3; -6 np. ; 34 O wymierne 0 niewymierna np. π; √t • liczba 0 i 1 nie są ani pierwsza ani złożona 0

Liczby i działania - kompleksowe omówienie

Strona ta zawiera kluczowe informacje dotyczące liczb i działań, które są fundamentalne dla zrozumienia matematyki na poziomie szkoły podstawowej i średniej. Materiał ten jest szczególnie istotny dla uczniów przygotowujących się do sprawdzianów z matematyki w klasach 7 i 8.

Rozpoczynamy od klasyfikacji liczb, wyróżniając liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne.

Przykład: Liczby naturalne to np. 1, 2, 16; liczby całkowite to np. -3, -6, 0, 34; liczby wymierne to np. 1/2, 0,5; liczby niewymierne to np. π, √2.

Highlight: Warto zapamiętać, że liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone.

Następnie omówiono cechy podzielności liczb, które są kluczowe dla efektywnego rozwiązywania zadań matematycznych:

  • Podzielność przez 2: liczby parzyste konˊczącesięna0,2,4,6,8kończące się na 0, 2, 4, 6, 8
  • Podzielność przez 3: suma cyfr podzielna przez 3
  • Podzielność przez 4: dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4
  • Podzielność przez 5: cyfra jedności to 0 lub 5
  • Podzielność przez 6: liczba podzielna jednocześnie przez 2 i 3
  • Podzielność przez 9: suma cyfr podzielna przez 9

Vocabulary: Rozwinięcie dziesiętne - sposób zapisu liczby w systemie dziesiętnym, np. 1/3 = 0,33, 1/4 = 0,25, 1/6 = 0,166.

W dalszej części omówiono operacje na potęgach, prezentując kluczowe wzory:

  • Mnożenie potęg o tej samej podstawie: a^m * a^n = a^m+nm+n
  • Dzielenie potęg o tej samej podstawie: a^m : a^n = a^m−nm-n
  • Potęga potęgi: ama^m^n = a^m∗nm*n
  • Potęga iloczynu: a∗ba * b^m = a^m * b^m
  • Potęga ilorazu: a:ba : b^m = a^m : b^m

Definition: Funkcja to zależność, która każdemu elementowi x ze zbioru X przyporządkowuje jeden element y ze zbioru Y. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji.

Omówiono również wzory skróconego mnożenia, które są niezwykle przydatne w algebrze:

  • a+ba + b² = a² + 2ab + b²
  • a−ba - b² = a² - 2ab + b²
  • a+ba + ba−ba - b = a² - b²

Na koniec przedstawiono podstawowe operacje na pierwiastkach, w tym dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie oraz włączanie i wyłączanie czynników spod pierwiastka.

Example: √72 = √36∗236*2 = 6√2

Materiał ten stanowi solidną podstawę do dalszej nauki matematyki, szczególnie dla uczniów przygotowujących się do sprawdzianów z liczb i działań w klasie 8.



Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Liczby rzeczywiste

Liczby naturalne

 

Matematyka

•

5875

•

6 lip 2025

•

1 strona

Liczby i Działania dla Klasa 4-8: Szalone Liczby i Cechy Podzielności

user profile picture

Natalia Strzępek

@nataliastrzpek_jxmb

Liczby i działania matematyczne to podstawowe zagadnienia w matematyce. Cechy podzielności liczb naturalnych są kluczowe dla zrozumienia arytmetyki. Dokument omawia różne typy liczb, cechy podzielności, rozwinięcia dziesiętne, działania na potęgach i pierwiastkach oraz podstawy funkcji matematycznych.

• Przedstawiono klasyfikację liczb:... Pokaż więcej

• naturalne • całkowite пр. 1; 2; 16 np. -3; -6 np. ; 34 O wymierne 0 niewymierna np. π; √t • liczba 0 i 1 nie są ani pierwsza ani złożona 0

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Liczby i działania - kompleksowe omówienie

Strona ta zawiera kluczowe informacje dotyczące liczb i działań, które są fundamentalne dla zrozumienia matematyki na poziomie szkoły podstawowej i średniej. Materiał ten jest szczególnie istotny dla uczniów przygotowujących się do sprawdzianów z matematyki w klasach 7 i 8.

Rozpoczynamy od klasyfikacji liczb, wyróżniając liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne.

Przykład: Liczby naturalne to np. 1, 2, 16; liczby całkowite to np. -3, -6, 0, 34; liczby wymierne to np. 1/2, 0,5; liczby niewymierne to np. π, √2.

Highlight: Warto zapamiętać, że liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone.

Następnie omówiono cechy podzielności liczb, które są kluczowe dla efektywnego rozwiązywania zadań matematycznych:

  • Podzielność przez 2: liczby parzyste konˊczącesięna0,2,4,6,8kończące się na 0, 2, 4, 6, 8
  • Podzielność przez 3: suma cyfr podzielna przez 3
  • Podzielność przez 4: dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4
  • Podzielność przez 5: cyfra jedności to 0 lub 5
  • Podzielność przez 6: liczba podzielna jednocześnie przez 2 i 3
  • Podzielność przez 9: suma cyfr podzielna przez 9

Vocabulary: Rozwinięcie dziesiętne - sposób zapisu liczby w systemie dziesiętnym, np. 1/3 = 0,33, 1/4 = 0,25, 1/6 = 0,166.

W dalszej części omówiono operacje na potęgach, prezentując kluczowe wzory:

  • Mnożenie potęg o tej samej podstawie: a^m * a^n = a^m+nm+n
  • Dzielenie potęg o tej samej podstawie: a^m : a^n = a^m−nm-n
  • Potęga potęgi: ama^m^n = a^m∗nm*n
  • Potęga iloczynu: a∗ba * b^m = a^m * b^m
  • Potęga ilorazu: a:ba : b^m = a^m : b^m

Definition: Funkcja to zależność, która każdemu elementowi x ze zbioru X przyporządkowuje jeden element y ze zbioru Y. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji.

Omówiono również wzory skróconego mnożenia, które są niezwykle przydatne w algebrze:

  • a+ba + b² = a² + 2ab + b²
  • a−ba - b² = a² - 2ab + b²
  • a+ba + ba−ba - b = a² - b²

Na koniec przedstawiono podstawowe operacje na pierwiastkach, w tym dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie oraz włączanie i wyłączanie czynników spod pierwiastka.

Example: √72 = √36∗236*2 = 6√2

Materiał ten stanowi solidną podstawę do dalszej nauki matematyki, szczególnie dla uczniów przygotowujących się do sprawdzianów z liczb i działań w klasie 8.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS